2.1 Algunas formas de entender la comunicación

Hablar de una clase de matemáticas donde ésta tenga sentido para los alumnos, es pensar en un flujo continuo de comunicación, cualquiera que sea su forma, desde la más tradicional hasta la más innovadora y, por tanto, la comunicación es cada vez más del interés de la didáctica de las matemáticas (^{Ponte, Boavida, Graça & Abrantes, 1997}).

La importancia de una buena comunicación en el salón de clase de matemática la destaca el National Councils Teacher of Mathematics, NTCM (2000), en sus lineamientos curriculares y la coloca como fundamental para el éxito del aprendizaje de los alumnos, ya que una buena comunicación facilita que los alumnos construyan sus propios significados. En este sentido, el NTCM, expresa:

(…) Los estudiantes deben participar en conversaciones en las que las ideas matemáticas se exploren desde múltiples perspectivas. Ellos deberían participar en discusiones donde se espera que justifiquen soluciones, especialmente ante el desacuerdo. Esto les permitirá obtener mejores aprendizajes, comprender y desarrollar la capacidad de adquirir y reconocer los estilos matemáticos convencionales de diálogo y argumentación. Con el ascenso de grados los argumentos de los alumnos deberían ser cada vez más completos e intervenir directamente en el conocimiento compartido en clase. El papel del maestro es apoyar y estimular la comunicación en el aula mediante la construcción de una comunidad donde los estudiantes se sienten libres de expresar sus ideas. (pp. 60-61)

Para explicar la comunicación, ^{Vilalba (2006)}, parte del supuesto que cualquier actividad humana entre dos o más personas, tiene siempre un carácter comunicativo. Así, comunicar es “(...) la acción de poner algo en común, o sea, el proceso que posibilita la comprensión mutua y el establecimiento de relaciones de interferencia entre individuos y grupos, mediados e influenciados por diversos factores”. Si comunicar es poner algo en común, ese proceso envuelve la formación, la presentación y la negociación de significados, que son base de todas las prácticas sociales; y los significados son las respuestas a esa situación de negociación que lo convierte en conocimiento. Para ^{Meneses (1999)}, comunicar es principalmente una forma de interacción social entre individuos y significa compartir y no simplemente informar.

Según ^{Vilalba (2006)}, la esencia de la comunicación entre individuos está en la formación de sentido o de significados colectivos y esto solo es posible gracias: “(...) a las relaciones creadas a partir de (del reconocimiento de) una dualidad fundamental (dualidades fundamentales) yo-otro, individuo-grupo, subjetividad-objetividad, interior de un sistema-exterior de un sistema, llamada alteridad” (p. 10). Así, para este autor, un sujeto comunicador es un individuo interesado en interactuar en un determinado ambiente y participar del proceso permanente de formación de sentido, resultado de ese movimiento constante de construcción y destrucción de límites entre los componentes de esas diferentes dualidades. En el caso de la clase de matemáticas, es la confrontación de conjeturas, la negociación y la argumentación la que lleva a la institucionalización de los conceptos matemáticos.

Una concepción no unidireccional de comunicación se entiende como un proceso complejo en el que: “(...) quien recibe, interpreta y comprende el significado de un discurso (algo que se comunica) adopta simultáneamente para con éste una actitud de respuesta activa” (^{Bakhtin, 2000}). Para que suceda este tipo de comunicación es necesario entender el espacio de comunicación -en este caso el salón de clase de matemáticas- como un foro de discusión y no un espacio rígido de traslado de información. En esta concepción de comunicación, para el alumno la clase es más que “recibir información” y para el profesor es más que “proporcionarla”; es la posibilidad de que en ese espacio se llegue a los conceptos a través de la discusión de interpretaciones, de negociaciones, de argumentaciones y de justificaciones (^{Jiménez, 2011}; ^{Jiménez, Suárez & Galindo, 2010}).

La comunicación también se asocia al modo como los interlocutores participantes en la clase y en situaciones concretas atribuyen significados compartidos a través del lenguaje en acción, para que puedan confrontar sus ideas e interpretaciones con la de sus colegas de grupo, que puede ser a través del lenguaje escrito, gestual, pero principalmente oral (^{Gonçalves & Fernandes, 2010}).

A una situación en la que se pretende comunicar algo, ^{Goñi y Planas (2011)}, la llaman un acto comunicativo; donde la información, la interactividad y el contexto son sus elementos básicos, y a la sucesión de actos comunicativos con una finalidad específica, la llaman proceso comunicativo. Para estos autores, este proceso entre sujetos es interactivo y tiene como finalidad compartir significados. Así, la comunicación busca algo más que informar, busca sobre todo compartir significados, otorgando sentido a lo que se comunica.

Respecto a la investigación cognitivista tradicional sobre la dinámica de las aulas, ^{Sfard (2002)}, la identifica con la metáfora “aprender - como - adquirir” y la enfrenta con otra metáfora “aprender-como -participar”. La primera está fundamentada en teorías que conceptúan aprender como “almacenar información”, sea por percepción pasiva o por construcción activa, dando una versión personalizada de la apropiación de los conceptos y procedimientos. Al contrario, en la metáfora “aprender-como -participar”, basada en las teorías socioculturales, el aprendizaje se ve como un proceso en el cual el aprendiz se hace partícipe de actividades específicas, con nexos comunicativos, y la cognición es el resultado de esas relaciones.

La misma autora, ^{Sfard (2002)}, presenta otra forma de ver la cognición y tiene que ver con la comunicación. A través de una metáfora asocia la expresión “pensar matemática” con, “pensar-como-comunicarse”. Así, al entender la cognición como una forma de comunicación, para que el sujeto conozca debe establecer un nexo comunicativo con el tejido de las relaciones sociales; es decir, es la razón, pero al mismo tiempo es el resultado de esas relaciones. El sujeto se propone entender a los otros seres humanos, considerando todas las acciones y hechos, dirigidos hacia la cohesión de las fuerzas sociales.

Según ^{Sfard (2008)}, el aprendizaje se manifiesta a través de una acción participativa de los alumnos y el profesor, alrededor de un tema; así, frente al aprendizaje la autora plantea pasar de la metáfora de la adquisición hacia la metáfora de la participación. El aprendizaje del estudiante se manifiesta cuando éste se convierte en miembro de una comunidad matemática. El aprendizaje como participación se establece si la clase se transforma en una comunidad de práctica, como la entiende ^{Wenger (1998)}, lo que implica comunicarse en el lenguaje de esa comunidad y actuar según lo hacen sus miembros.

Para ^{Ponte et al. (2007)}, la comunicación en general, y la comunicación matemática en particular, se pueden entender según diferentes perspectivas:

(...) la comunicación como organización y trasmisión de informaciones, o la comunicación como un proceso de interacción social. Cada una de estas perspectivas de la comunicación está asociada a una perspectiva de las matemáticas y del proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas. (p. 41)

2.2 La matemática como discurso: el discurso matemático

A pesar que ingenuamente se pensaba que la comunicación se daba de hecho, hace un tiempo los programadores de los currículos y los investigadores comenzaron a preocuparse por buscar mejores opciones de “comunicar” las nociones matemáticas a los alumnos, y de esta forma se intenta percibir de qué manera la comunicación influye en el aprendizaje (^{Gonçalves & Fernandes, 2010}).

Por un tiempo se hicieron estudios en el salón de clase centrados más en el lenguaje allí usado que en la propia forma de comunicación (^{Meneses, 1999}; ^{Baroody, 1993}); pero ese foco cambió, a tratar de entender la comunicación como discurso; esto es, como lenguaje en acción. Así, los nuevos estudios se centraron en analizar los procesos comunicativos entre los alumnos y el profesor a través de la negociación de significados (^{Sierpinska, 1998}).

El discurso: “(…) se refiere a las realizaciones escritas u orales de la lengua, en el caso concreto, aquellas que profesores y alumnos realizan en el espacio del salón de clase” (^{Meneses, 1999}, p. 4). El discurso como el uso de un sistema lingüístico en contextos propios, se refiere al modo como los interlocutores comparten y atribuyen significados en situaciones concretas y contextualizadas. De esta forma, en este contexto ya descrito, puede asumirse que hay una buena comunicación cuando los integrantes que se comunican se involucran en el discurso llamado matemáticas.

^{Sfard (2002)}, propone basar la investigación sobre el pensamiento matemático bajo la metáfora pensar, como comunicarse. Según esta investigadora, aceptar esta metáfora exige ver el aprendizaje de las matemáticas como “la iniciación en un determinado tipo de discurso; el discurso matemático”; esto es, la iniciación en una forma especial de comunicación conocida como matemáticas. Según Sfard, el discurso matemático es especial por dos razones: por la confianza excepcional en los símbolos como herramienta mediadora de comunicación y por las meta-reglas que regulan ese tipo de comunicación, las cuales generalmente son tácitas para quienes participan en ese discurso. En cuanto las herramientas mediadoras de comunicación se determinan por el objeto del discurso -como por ejemplo, notaciones numéricas o gráficas, como mediación del lenguaje-; las meta-reglas son las normas que hacen posible la comunicación y que la determinan, y las cuales tienen naturaleza implícita; sobre las que, según Sfard, hasta ahora no se ha puesto suficiente atención.

Para Sfard (2002), las meta-reglas discursivas deben tenerse en cuenta como expresiones de las regularidades observadas en las actividades de comunicación, y en concordancia con ellas los participantes emprenden las acciones que creen apropiadas en ese contexto; en el caso del discurso matemático, las meta-reglas incluyen aquellas típicas, como definir o demostrar. Según la misma autora, esas meta-reglas generalmente son implícitas y hacen parte del currículo oculto; sin embargo, es imprescindible hacerlas explícitas e introducir otras que conduzcan a (re)significar principios comunicativos y educativos, tanto en los alumnos como en los profesores (Jiménez & Sánchez, 2019).

2.3 Lógicas de la comunicación desde el diseño de mensajes

Stamp, Vangelists y Knapp (1994), citados en ^{Forrest (2008)}, ven la comunicación verbal como un tipo estratégico de interacción social donde los comunicadores crean y modifican sus interpretaciones individuales, por la influencia de ese contexto social. Aglutinando posiciones de diversos autores, ^{Forrest (2008)}, afirma que la comunicación puede tener tres lógicas distintas en el diseño de mensajes teóricos: expresiva, convencional, y retórica; y dependiendo de qué lógica un individuo emplea para comunicarse, se dice y se escucha su mensaje de forma muy diferente. Cada una de estas lógicas responde a creencias que determinan el propósito del individuo en el mensaje, en la elección del contexto del mensaje, en la gestión de la interacción y la evaluación de dicha interacción.

^{Forrest (2008}), quien emplea la lógica de diseño expresivo, supone que la comunicación verbal es el medio para expresar lo que piensa. Ante un evento comunicativo responde verbalmente, transmitiendo una reacción que cree clara y consciente; (…) quien usa esta lógica cree que los oyentes entienden el mensaje si habla abierta, directa y claramente. La comunicación se organiza en torno a reacciones inmediatas, es bastante literal, con poca distinción entre lo que es objetiva y subjetivamente relevante” (p. 24). En esta lógica, si algún oyente interroga o desafía al comunicador, “(…) este volverá a repetir su mensaje, incluyendo alguna adición de lo mencionado anteriormente” (Ídem). En la lógica de diseño expresivo de comunicación, cuando un alumno pregunta en la clase de matemáticas, el maestro responde desde su saber y experiencia, y así “(…) este maestro tenderá a repetir lo que dijo antes, tratando de ser más claro y organizado” (Ídem).

Para quien usa la lógica del diseño de mensaje convencional, comunicarse es participar en un juego con reglas determinadas; dice cosas que cree, son apropiadas, coherentes y significativas para la situación; escucha y evalúa la respuesta de los otros, continúa la comunicación a partir de la inferencia que hace sobre esas respuestas: “(…) el individuo juzga la comunicación exitosa cuando logra la respuesta por él esperada, siempre que todos estén de acuerdo con las reglas y normas de comunicación” (^{Forrest, 2008}). Para este autor, el profesor de matemáticas que sigue la lógica de diseño convencional de comunicación se centraría en el uso de normas convencionales y prácticas de las matemáticas; aunque puede escuchar las respuestas de los alumnos, se mueve en la dirección que considera, y así puede no tener en cuenta ni las respuestas, ni las preguntas de sus alumnos.

Según O´Keefe (1988), citado por ^{Forrest (2008)}, la lógica de diseño de mensajes retóricos se basa en la creencia que comunicar es crear y negociar situaciones sociales y los significados previstos de su mensaje no son fijos, son parte de la realidad social que se crea con los demás. A diferencia de las lógicas expresiva y convencional, donde los mensajes son respuestas inmediatas, o respuestas convencionales a determinadas situaciones y donde no hay espacio para la negociación de significados, sino que prima un principio jerárquico; en la lógica de diseño de mensaje retórico están explícitamente diseñados para el logro de un objetivo determinado, donde las interpretaciones compartidas son recursos hacia la trasformación de una situación en la búsqueda del objetivo deseado y donde la participación se da bajo el principio de negociación de la situación, como mediador de la comunicación. Aquí, “La comunicación exitosa es vista como una negociación fluida y coherente entre todos los participantes hacia un objetivo común deseado” (^{Forrest, 2008}). Según este autor, una comunicación exitosa en el aula es aquella donde el maestro es facilitador de la interlocución y negociación de lo que interpretan los alumnos; los alienta al diálogo y estimula la negociación para la comprensión matemática; la comunicación es un proceso dinámico de negociación, donde las ideas de los estudiantes, la situación específica y los objetivos del profesor, todos se tienen en cuenta. Ante preguntas o interpelaciones el profesor no responde con declaraciones prescritas, es más reflexivo en sus interacciones con los estudiantes; además que en lugar de ver personas y situaciones como dadas en un sistema convencional de reglas, o ver un significado como fijo en los mensajes por su forma y contexto, el significado es producto de la negociación. El papel del maestro en este tipo de comunicación es crear el ambiente y las oportunidades para que los estudiantes hablen, discutan, negocien y compartan sus ideas.

Desde la perspectiva de la lógica de diseño de mensajes retóricos, el énfasis no está solo en que el maestro sea claro y organizado en la presentación de las matemáticas, ni en asegurar una respuesta deseada de los estudiantes. El cambio de enfoque está en permitir que tenga lugar una comunicación dinámica donde las negociaciones y el consenso de todas las partes sea el resultado deseado; esta idea es consistente con la lógica de diseño retórico del mensaje (^{Forrest, 2008}).

3.1 Categorías de comunicación en clase de matemáticas

^{Brendefur y Frykholm (2000)}, establecen cuatro categorías de comunicación en el salón de clase de matemáticas: unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva. En la unidireccional la comunicación está centrada en el profesor, que hace ver la matemática como un cuerpo estático de conocimiento. En la contributiva la interacción entre los alumnos y entre estos y el profesor se da para ayudar a encontrar los resultados y las soluciones a los problemas; la interacción es de naturaleza informal y correctiva. La categoría de comunicación reflexiva parte de la contributiva, los alumnos comparten con sus colegas y con el profesor sus estrategias y soluciones, las cuales son objeto explícito de discusión. En la categoría de comunicación instructiva, además de la interacción entre los alumnos y entre estos y el profesor, como en la categoría reflexiva, el profesor continuamente anima a los alumnos a la reflexión para modificar alguna idea poco acertada, que ellos pueden tener de un concepto o interpretación matemática, lo cual permite que el profesor entienda mejor los procesos de pensamiento matemático de sus estudiantes, sus fortalezas y sus limitaciones (^{Steffe & D´Ambrosio, 1995}). Para ^{Brendefur y Frykholm (2000)}, la comunicación en el salón de clase llega a ser instructiva cuando el profesor incorpora las ideas y conjeturas matemáticas de los alumnos; esto es, en la clase se hace más que compartir información, los alumnos se introducen en el discurso llamado matemáticas.

3.2 Algunos patrones y modelos de comunicación en el salón de clase de matemáticas

En su análisis sobre la comunicación en clase de matemáticas, ^{Voigt (1995)}, identifica patrones de comunicación, y los define como los resultantes de las regularidades que se constituyen en las diversas formas de interacción comunicativa de los alumnos y el profesor en el espacio de la clase. Este autor identifica dos patrones de comunicación en clase de matemáticas que llama: de extracción y de discusión. En el de extracción el profesor propone una tarea y espera que sus alumnos encuentren la respuesta, guiándolos a la solución; esto es, espera que los alumnos extraigan pequeñas dosis de conocimiento. En el patrón de discusión los alumnos resuelven un problema, el profesor hace preguntas, observaciones y reformulaciones hasta llegar a una solución válida. En el patrón de discusión los alumnos resuelven el problema presentado, hay espacio para la socialización de soluciones y para la discusión y argumentación de lo realizado. En el patrón de extracción, la solución a un problema es el fin, en cuanto que en el patrón de discusión la solución es el punto de partida.

^{Wood (2003)} establece dos modelos de clase de matemáticas, que en este texto se asimilan a dos formas de comunicación: convencional y de reporte de estrategias. En el convencional, también llamado de comunicación esencial, el profesor generalmente coloca una pregunta o problema, pide que algún alumno responda, evalúa la respuesta o proceso como correcto o incorrecto y de ser incorrecta pregunta a otro alumno; no hay espacio para analizar por qué la respuesta es incorrecta, o en qué etapa del proceso se falló. Wood afirma que aquí hay apenas una comunicación escasa y trivial, porque sigue el típico esquema alumno-respuesta-evaluación y es una comunicación centrada en el profesor y en la esencia de la lección y donde los estudiantes son requeridos solo para llenar un cierto vacío; esto es, dar la respuesta; o al contrario, cuando el alumno no responde, el profesor llena ese vacío con la respuesta que él tenía en mente.

En el modelo de reporte de estrategias, ^{Wood (2003)}, identifica que hay espacio para detallar las soluciones, las experiencias, los hechos y los procesos de resolución del problema o de la búsqueda de la respuesta, animados por una razón crítica. En este espacio de comunicación hay una responsabilidad compartida, hay reconocimiento, comprensión, aplicación y construcción colectiva. Aquí la evaluación se ve como un proceso donde se pregunta y se responde con argumentos, a diferencia del modelo convencional, donde solo se pregunta, se responde, y luego se califica.

3.3 Otras formas de ver la comunicación en clase

Algunos investigadores, al considerar la comunicación como esencial en la clase de matemáticas, hablan de: ambientes de aprendizaje, modelos instruccionales y otros. ^{Bauersfeld (1995)}, citado por ^{Godino y Linares (2000)}, identifica tres ambientes de aprendizaje, que llama: individualista, interaccionista y colectivista. En el ambiente individualista el sujeto -estudiante- es el único actor responsable por su aprendizaje y los significados se generan en su mente, individualmente. En el ambiente colectivista el aprendizaje consiste en la enculturación de estructuras sociales preexistentes y los significados son atributos de la mente colectiva de una sociedad históricamente constituida, y se producen con el lenguaje como mediador. En el ambiente interaccionista los significados se constituyen en las interacciones de los individuos, como manifestación de la cultura.

Genovard y Gotzens (1990), citado por Godino (s.f), desde la psicología, hablan de modelos instruccionales de enseñanza, y los clasifican en tres: el interaccionista cognitivo, el interaccionista social y el interaccionista contextual. En el interaccionista cognitivo la instrucción es básicamente un intercambio de información entre el profesor y sus alumnos en la cual la interacción se da entre los contenidos y las habilidades cognitivas del alumno; y el aprendizaje se manifiesta en la asimilación, modificación y acomodación en estructuras mentales. En el interaccionista social, basado en las propuestas de ^{Vygotsky (1988)}, se destaca el papel de los sujetos facilitadores (expertos) que intervienen en el proceso de instrucción de los aprendices (novatos); aquí la mediación se hace a través del lenguaje, como componente de la cultura. En el interaccionista contextual, se destaca el papel central de la interacción entre los sujetos, como la base de la enseñanza, pero donde el contexto es tenido en cuenta.

^{Sierpinska y Lerman (1996)}, a pesar de no mencionar patrones o tipos de comunicación, identifican tres espacios de comunicación en el salón de clase de matemáticas, relacionados a tres escuelas y teorías: el constructivismo, el enfoque sociohistórico y el interaccionismo. Para diferenciarlas usan metáforas. Para el constructivismo proponen la metáfora “los alumnos hablan, el profesor escucha” y el aprendizaje es sinónimo de procesos de asimilación y modificación de estructuras cognitivas del alumno. En el enfoque sociohistórico, “los profesores hablan, los alumnos escuchan” y el aprendizaje es una enculturación; y en el interaccionismo, la metáfora es “profesores y alumnos en diálogo”, y tanto los procesos individuales, como los procesos sociales generan el sentido y el significado.

^{Cobb, Perlwitz y Underwoor-Gregg (1998)}, identifican dos ambientes de aula: tradicional y micro-cultura del salón de clase. En el ambiente tradicional el profesor encarna la autoridad de la matemática y de la escuela, y actúa en consecuencia. Otros investigadores también mencionan ambientes de aprendizaje con las mismas características (^{Brendefur & Frykholm, 2000}; ^{Skovsmose & Valero, 2012}). En el ambiente micro-cultura del salón de clase el profesor y los alumnos crean esa micro-cultura a través de la interacción; ambiente que también es identificado por ^{Gómez (1998)}, y por ^{Bishop (1999)}. Este ambiente es propicio para la indagación y la investigación matemática, en una comunidad que aprende. En este último ambiente del salón de clase hay dos niveles en el trabajo adelantado, uno de exploración de interpretaciones, respuestas y conjeturas; y otro de análisis, juicio, debate y evaluación de las mismas (^{Cobb, Perlwitz & Underwood-Gregg; 1998}).

3.4 La pregunta mediada por la comunicación

^{Meneses (2004)}, identifica cinco patrones de interacción cuando el profesor pregunta en la clase de matemáticas, así: “(…) de recitación, de embudo, de extracción, de focalización y de discusión”. El patrón de recitación se ajusta al mismo modelo convencional de comunicación (^{Wood, 2003}), ya descrito anteriormente, donde la clase sigue el esquema pregunta - respuesta - evaluación. El profesor pregunta, elige a un alumno para dar la respuesta, el profesor la evalúa como correcta o incorrecta; de ser incorrecta pregunta a otro alumno o él da la respuesta, y pasa luego a la cuestión siguiente. En el patrón del embudo el profesor coloca una pregunta y, si los alumnos presentan dificultades para responderla, formula nuevas preguntas más sencillas, en un proceso de refinamiento, buscando que los alumnos lleguen a la respuesta.

El patrón de extracción sigue las mismas etapas del anterior, pero al final el profesor y los alumnos evalúan todo el proceso. El patrón de focalización sigue las mismas etapas del de extracción, pero el profesor, al hacer preguntas más simples que ayudarían en la solución, centra sus cuestiones en aspectos más críticos y delega en sus estudiantes la responsabilidad de comunicar sus resultados. En el patrón de discusión, la novedad es el trabajo en grupo; un alumno presenta la solución encontrada por el grupo, a lo cual el profesor interroga con el objeto de hacer más clara la respuesta del grupo, hasta que esta sea aceptada por todos los alumnos. Es de destacar que en este patrón se discuten las respuestas e interpretaciones.