Emergencia de los significados parciales de Grupo

En el estudio fenomenológico, histórico, epistemológico sobre la emergencia de los significados parciales de Grupo, se identificaron los siguientes cinco periodos, caracterizados por problemas específicos, con los respectivos sistemas de prácticas y configuraciones epistémicas de objetos matemáticos primarios (^{Sepúlveda, 2015}; ²⁰¹⁸), ver tablas 1 a 4.

Período cero (edad antigua: del 3500 a.C. al siglo V d.C. - Edad media: siglo V al siglo XV), se relaciona con la problemática de resolver ecuaciones algebraicas de grado 1, 2 y 3. Como no existía una representación algebraica, se establece un significado pre-algebraico de Grupo, que corresponde a las raíces de la ecuación algebraica de grado uno y dos y las permutaciones de estas, ver Tabla 1.

El período uno: se considera también un significado algebraico de Grupo, que en la edad media corresponde a los conjuntos de permutaciones de las raíces de las ecuaciones, las raíces 𝑛 de la unidad y funciones definidas en estos conjuntos. En la edad moderna (S XV - S XVIII), el significado de grupo corresponde a: conjuntos de permutaciones de las raíces de las ecuaciones algebraicas de grado 2, 3 y 4; conjunto de los enteros módulo n, las funciones aplicadas sobre las raíces de las ecuaciones algebraicas y polinomios simétricos relacionados con las permutaciones de éstas raíces, ver Tabla 2.

En el periodo dos, edad contemporánea (1789-actualidad), los significados de grupo siguen siendo algebraicos, como el conjunto de permutaciones, caso particular S4 de permutaciones con cuatro elementos. Se continúa el trabajo con funciones definidas sobre los conjuntos de raíces de ecuaciones algebraicas, raíces n de la unidad y polinomios simétricos. Así mismo, Lagrange trabajó un método para la solución de las ecuaciones de grado tres y cuatro, utilizando la relación entre los coeficientes de las ecuaciones y las raíces de las mismas, por tanto, creyó poder extender su método a la ecuación de grado cinco, sin lógralo. Por su parte, Paolo Ruffini presentó una demostración sobre la irresolubilidad por radicales de la ecuación general de grado quinto, pero sus argumentos no fueron convincentes para los matemáticos de la época. Finalmente, entre 1824 y 1826, Abel estableció la demostración de la irresolubilidad por radicales de la ecuación general de grado quinto (^{Sepúlveda, 2015}; ²⁰¹⁷; ²⁰¹⁸), ver Tabla 3.

En el periodo tres, ubicado también en la edad contemporánea, los significados son conjuntos de permutaciones, conjuntos alternantes An de las permutaciones pares, grupo de Galois del polinomio, grupos simples y grupos solubles, ver Tabla 4.

El periodo cuatro se ubica en la edad contemporánea: el significado de Grupo se considera como ‘abstracto’ y corresponde a la definición de Cayley: “Un grupo es un conjunto, con una operación binaria, tal que la operación cumple los axiomas de clausura, asociatividad, existencia de un elemento neutro, y existencia de un elemento inverso para cada elemento del conjunto, (^{Castellet & Llerena, 2000}, p.63). Este significado es de referencia, y se incorpora en los currículos en el contexto Colombiano. Otros significados, son: Grupo de los cuaterniones con la suma, grupos de matrices invertibles con la multiplicación, grupos de permutaciones con la compuesta; grupos de transformaciones, fundamentales para clasificar las geometrías por Félix Klein; grupos continuos de transformaciones o grupos de Lie, aplicados a la geometría y a las ecuaciones diferenciales parciales, desarrollados por Sophus Lie; Grupo cristalográfico, Grupo puntual y grupos abelianos finitos. A partir de este período, emergen aplicaciones en contextos matemáticos y extra-matemáticos, ver Tabla 5.

En la Figura 1, se presentan las relaciones entre las configuraciones epistémicas en la emergencia del objeto Grupo, que dieron origen a áreas de la matemática, como: la Geometría, Teoría de números, Teoría de Ecuaciones Algebraicas y Teoría de la Simetría Continua.

Figura 1 Significado Global del objeto Grupo (^{Sepúlveda, 2018}). 

Significados del objeto Grupo pretendidos en los libros de texto de álgebra abstracta

En esta sección se establece el significado institucional o de referencia de los libros: ^{Gallian (2006}), ^{Herstein (1986}), ^{Lezama (2013}) y Caicedo (2004), que se utilizan en cursos de Teoría de Grupos en programas de formación profesional en matemática, como resultado del análisis semiótico fundamentado en el EOS (^{Sepúlveda, 2015}), y de las síntesis de la tablas 1 a 5. Este análisis es importante porque el texto es un recurso potente para el profesor, al momento de organizar el proceso de enseñanza y aprendizaje (Remillard, 2000). En este sentido, se da respuesta a las preguntas: ¿Cuáles son los objetos matemáticos vinculados con el objeto Grupo?, ¿Cómo se introduce su estudio?, ¿Se tiene en cuenta su desarrollo histórico, desde los distintos significados hasta llegar a la construcción del objeto?, ¿Cuál es la representatividad de los significados parciales respecto al significado Global, de la estructura Grupo?

Al respecto, en el libro de ^{Gallian (2006}), el capítulo “preliminares” presenta una introducción de Grupo como un conjunto particular sobre el que se define una operación que cumple las propiedades algebraicas (asociatividad, existencia de módulo, existencia de inverso), que se identifican con el objeto primario proposiciones, para inferir el significado de Grupo en aritmética modular Z _n (CE1.8).

En el capítulo uno parte 3, presenta los grupos diedrales a partir del conjunto “simetrías del cuadrado” en el contexto de los movimientos de un polígono regular; e incluye el significado de grupo de permutaciones (CE1.7 y CE1.9). Los objetos matemáticos primarios identificados, son: las propiedades de la operación composición definida sobre el conjunto de las funciones de simetrías del cuadrado 𝐷 4 ; los argumentos sobre D₄, por ejemplo en este grupo no se cumple la propiedad conmutativa (CE1.9, CE4.1); los conceptos de rotación, traslación y reflexión en el grupo diedral de orden 2n (CE1.9) y las propiedades de estos grupos de ser cíclicos (CE4.1); las situaciones extra-matemáticas de las simetrías de una molécula piramidal (CE4.6) relacionadas con D₄ y el grupo determinado por la estructura interna de un cristal (CE4.5). Finalmente, presenta situaciones- problemas intra-matemáticas y extra-matemáticas (CE1.9 y CE4.1). En el capítulo dos, Grupos, presenta el significado abstracto de este objeto (CE4.1).

En el capítulo tres, Grupos finitos y Subgrupos, propone dos pruebas para determinar cuándo un subconjunto de un grupo es subgrupo (CE4.1), y presenta el objeto como un conjunto de permutaciones a partir de “las simetrías de los polígonos regulares”, que corresponde históricamente a uno de los primeros significados (CE1.9 y CE4.1).

El capítulo cuatro explica las propiedades de los grupos cíclicos (CE4.1); en el capítulo cinco define grupos de permutaciones y sus notaciones, presenta problemas de aplicación en contextos como las simetrías de los polígonos regulares D _n (CE1.2, CE1.6, CE1.7, CE4.1) y establece relaciones de homomorfismos e isomorfismos entre casos particulares de Grupos (CD1-Configuración didáctica emergente).

Por su parte, en libro de ^{Herstein (1986}), en el capítulo uno propone y resuelve situaciones-problemas orientadas a verificar las propiedades de una operación definida en un conjunto dado (CE4.1), organizadas en las siguientes lecciones: 1) Teoría de Conjuntos, define operaciones entre conjuntos y propiedades de estas, define los conceptos de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, propone situaciones-problemáticas contextualizadas (fáciles, de nivel medio y duros) relacionadas con las propiedades de las funciones; 2) Permutaciones, define este conjunto como las funciones biyectivas definidas de un conjunto finito S en el mismo y lo nota como A(S) (CE1.9), el cual con la operación compuesta cumple los axiomas de grupo, argumenta que A(S) es el “Grupo de simetrías de grado n” por el cardinal de S y lo representa como S _n ; 3) Los enteros, expone las propiedades del principio del buen orden, el algoritmo de Euclides, define los conceptos y propiedades de divisibilidad, máximo común divisor, primo relativo, número primo (CE1.8); 4) Inducción matemática, presenta la proposición de este principio y propone situaciones problemas; y 5) Números complejos, presenta los grupos formados por este conjunto con la operaciones suma y con la operación producto (CE1.7, CE4.1).

El capítulo dos, Grupos, inicia con la argumentación que A(S) es grupo, lo que permite inferir que el significado atribuido a grupo corresponde a un conjunto de permutaciones, además presenta su significado abstracto (CE4.1). Los objetos matemáticos identificados son: 1) conceptos y propiedades de A(S) (CE4.1); 2) Situaciones-problemas, relacionadas con verificar la estructura de grupo en los conjuntos numéricos de los enteros con la adición, los racionales con la adición, los racionales sin el cero con la multiplicación ordinaria, los reales positivos con el producto ordinario (CE4.1), el subconjunto de los complejos de las raíces de la unidad con la multiplicación (CE3.1); el conjunto de funciones reales T(a,b) con la composición (CE4.2, CE4.1); verificar que algunos conjuntos numéricos con ciertas operaciones no alcanzan la estructura de grupo, como los enteros con el producto, los reales con la operación a * b = a³b y los enteros positivos con el producto usual (CE1.8); y otras situaciones propias de la matemática (CE1.7, CE1.8 y CE4.1); 3) Argumentos de tipo histórico, como “el tiempo que le tomó al hombre en reconocer que las cuatro propiedades algebraicas son fundamentales en la matemática” y otros relacionados sobre conjuntos numéricos y sus operaciones usuales; 4) Propiedades deducidas de los axiomas de grupo.

En el capítulo tres, define los conceptos de grupos finitos y subgrupos, presenta pruebas para determinar cuándo un subconjunto de un Grupo es el mismo Grupo (CE4.1 y CE4.2).

En el libro de ^{Lezama (2013}), en el Capítulo uno, Grupos y subgrupos presenta los siguientes conceptos o propiedades, siguiendo este orden: 1) Operación binaria interna en un conjunto G, incluye las situaciones-problema para contextualizar este concepto con las funciones de suma en los números naturales (CE1.8, CE4.1),∆ en los números naturales (CD2 emergente), intersección en el conjunto partes de un conjunto (CD1, CE4.1) y * en el conjunto de los números naturales (CD2, CE1.8, CE4.1); 2) Propiedad asociativa, utilizada para demostrar algunas propiedades de la potenciación en G; 3) Semigrupo, presenta las situaciones-problema de verificar esta estructura en los naturales con la adición (CE4.1), y en las funciones del conjunto X en sí mismo Apl(X) con la compuesta, de donde se introduce el significado de grupo como un conjunto de permutaciones (CE1.2, CE1.6, CE1.6, CE1.9 y CE4.1); 4) Propiedad Conmutativa; 5) Elemento identidad, situación-problema de establecer si los naturales con la adición es un semigrupo (CD3), muestra la proposición de la unicidad del elemento identidad, define “Monoide” como un semigrupo con elemento identidad; 6) Elemento inverso, presenta la propiedad de existencia de inversos y la proposición de la unicidad de este elemento (CE4.1).

De lo anterior, se infiere que ^{Lezama (2013}), introduce el objeto Grupo a partir de las propiedades de la operación definida en el conjunto desde la estructura de semigrupo, monoide y finalmente el significado abstracto (CE4.1).

En el libro de Caicedo (2004), se evidencia lo siguiente: En el capítulo uno, Grupos, presenta el concepto de “ley de composición interna” en un conjunto E (CE4.1); presenta situaciones-problemas que dado un conjunto numérico y una operación definida sobre este (naturales con la suma, naturales con el producto, enteros con la suma, enteros con el producto, reales positivos con el producto), verificar si la operación es binaria y cumple los axiomas de grupo (CE1.8, CE4.1); presenta el conjunto de funciones biyectivas definidas de un conjunto S no vacío en sí mismo, notado B(S) y define sobre estas funciones la operación composición argumentando las propiedades de clausura, asociativa, elemento identidad y existencia de inversos sin enunciarlas formalmente (CE1.2, CE1.6, CE1.7, CE1.9 y CE4.1).

Respecto a los objetos primarios, se identifican los siguientes: en la lección uno, las proposiciones que cumplen las operaciones definidas sobre conjuntos numéricos mencionados anteriormente, (CE1.8 y CE4.1); en la lección dos, los conceptos o definiciones de Grupo y Grupo Abeliano (CE4.1), las siguientes situaciones-problema de verificar si el conjunto con la operación definida sobre este es una estructura de grupo: funciones biyectivas con la composición (CE1.2, CE1.6, CE1.7, CE1.9 y CE4.1), partes de un conjunto con la diferencia simétrica (CD1), números reales sin el cero con el producto usual, números complejos sin el cero con el producto usual de complejos, números enteros con la adición usual, el intervalo abierto I = (-1,1) con el producto usual (CE1.8), las raíces cuartas de la unidad G = {-1,1,i,-i} con el producto usual de números complejos (CE3.1 y CE3.2), rectas con pendiente no nula (L={(a,b) ∈ R2, α es la pendiente distinta de cero y b es el corte con el eje y}) con la compuesta de funciones (CE4.2, CE4.3), el conjunto L con el producto entre parejas; en la lección tres, presenta propiedades de la unicidad del elemento neutro y del inverso, verificar las propiedades cancelativas a izquierda, a derecha y en general los axiomas de grupo (CE4.1). Al final del capítulo presenta 13 situaciones-problema para contextualizar los objetos matemáticos dados en cada una de las lecciones.

Del análisis del texto de Caicedo (2004), se infiere que introduce el objeto Grupo desde los significados abstractos (CE4.1) y como conjunto de permutaciones (CE1.2, CE1.6, CE1.7, CE1.9).

En la Tabla 6, se resume la relación entre las situaciones-problemas y las prácticas matemáticas llevadas a cabo para su solución, que fueron analizados en los cuatro textos. De esta se concluye que los libros no abordan la configuración epistémica CE0 y por tanto no se estudian los grupos de Galois; además, el orden de los libros con la cantidad de significados parciales de la estructura grupo, corresponden a: ^{Herstein (1986}), ^{Gallian (2006}), Caicedo (2004) y ^{Lezama (2013}).

Tabla 6 Prácticas y configuraciones epistémicas presentes en los libros de Texto.