CALCULUS OF DERIVATIVES IN SOME TOPOLOGICAL GROUPS
HÉCTOR ANDRÉS GRANADA
Matemático, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, hagranadad@unal.edu.co
SIMEÓN CASANOVA TRUJILLO
Matemáticas, M.Sc, Profesor, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, scasanovat@unal.edu.co
Recibido para revisar septiembre 10 de 2007, aceptado Marzo 28 de 2008, versión final Julio 30 de 2008
ABSTRACT: This article shows how to calculate derivatives in topological groups trough examples. In each of them one should solve ordinary or partial differential equations.
KEYWORDS: Topological group, homomorphism, differentiability in topological groups.
1. INTRODUCCIÓN
La derivada de Carathéodory para funciones 
(
denota el conjunto de los números reales) le permitió a Acosta y Delgado generalizar esta a funciones 
y mostrar su equivalencia con la derivada de Fréchet [1]. Con base en este último trabajo, Acosta generalizó la derivada de Carathéodory a grupos topológicos [2]. Tenemos así una forma de hacer cálculo diferencial en grupos topológicos. Sin embargo, en [2] no se muestra explícitamente un ejemplo en el que se calculen derivadas en grupos topológicos. En [3] se
calculan derivadas para una función 
, donde 
es un grupo que describiremos más adelante. En este artículo se retomará el trabajo hecho en [3] y se calcularán derivadas para funciones 
y 
.
También se hará el cálculo de derivadas para un tipo particular de funciones 
siendo 
el grupo aditivo de las matrices de tamaño 
.
En general, el cálculo de derivadas en grupos topológicos conduce a la solución de ecuaciones diferenciales.
]]> 2. PRELIMINARES
En esta sección se presenta la definición de derivada en grupos topológicos dada en [2]. Para llegar a ella, se hace necesario los siguientes comentarios:
1. El espacio
corresponde al conjunto de todos los homomorfismos continuos de en 
dotado de la topología compacto-abierta. Esta topología se describe como sigue:
Sean y grupos topológicos Hausdorff. Si
es un subconjunto compactode y 
es un subconjunto abierto de, se denota por 
el conjuntode todas las funciones continuas
tales que 
.
La topología compacto-abierta es la que tiene como sub-base la colección 
donde es localmente compacto.
2. Un grupo es divisible si para todo 
y 
(
denota el conjunto de los números naturales), la ecuación 
(en notación multiplicativa) tiene solución.
Definición 2.1. Sean y grupos topológicos Hausdorff. Una aplicación 
es diferenciable en 
, si existe 
continua en 
y tal que
Si esta igualdad se da y 
es única, la derivada de 
en es , y escribimos 
.
En la definición anterior, la igualdad debe ser válida en alguna vecindad del punto .
En [3] se dan condiciones suficientes para la unicidad de la derivada:
Sean y grupos topológicos Hausdorff, localmente compacto y divisible. Supóngase además que para todo 
, 
. Si es diferenciable en , entonces 
es única.
Se ve de la definición de derivada, que es un homomorfismo. Por lo tanto, para hacer cálculo diferencial en grupos topológicos, se debe empezar por calcular homomorfismos.
3. CÁLCULO DE HOMOMORFISMOS
En esta sección se hará el cálculo de ciertos homomorfismos, para usarlos en la próxima sección con el fin de calcular derivadas.
3.1 Consideremos el conjunto
dotado de la ley de composición interna
]]>
La dupla 
es un grupo (no abeliano), donde el módulo es la pareja ordenada 
y el
inverso de 
es 
. Si se considera en la topología inducida por la usual U de
, se tiene que la tripla 
U
es un grupo topológico.
3.1.1 Homomorfismos de G en
Sea 
un homomorfismo. Entonces,
Se tiene además la condición inicial
.
Como 
entonces de 
obtenemos que
Haciendo 
, 
y usando la condición inicial en 
, se llega a:
Tomando el límite cuando 
se tiene:
de donde
Derivando en esta última igualdad respecto a la variable 
se obtiene:
Ahora, en (2) se hace 
y obtenemos
Tomando el límite cuando obtenemos:
De 
y 
se llega a:
Para que esta última igualdad sea válida debe ser que 
, de donde
Así, 
y en particular 
. De 
se tiene que
Luego, 
, o sea que 
. Remplazando en se llega a que los homomorfismos quedan caracterizados como:
3.1.2 Homomorfismos de en G.
Sea 
un homomorfismo. En primer lugar,
.
Ahora, como 
es homomorfismo entonces
Por un lado se tiene que
y por otro lado
Como 
se tienen además las condiciones iniciales
.
De (7) y las condiciones iniciales obtenemos
Tomando el límite cuando 
se llega a que 
, de donde 
. De esta igualdad se sigue que 
y usando las condiciones iniciales se tiene que 
, así que
Ahora, de 
y 
junto con las condiciones iniciales, se tiene que:
Tomando el límite cuando se obtiene 
, de donde 
. De esta igualdad se sigue que 
y usando las condiciones iniciales se llega a que 
. Por lo tanto,
De (9) y (10) concluimos que los homomorfismos quedan caracterizados como:
3.1.3 Homomorfismos de G en G. Sea 
Un homomorfismo. En primer lugar,
Como es homomorfismo, entonces
Por un lado
Remplazando 
y 
en 
se obtienen las siguientes relaciones funcionales:
También, como es homomorfismo se sigue que 
, de donde se tienen las condiciones iniciales
.
En (14) se hace 
y se obtiene
Usando las condiciones iniciales, se llega a:
en esta última igualdad obtenemos la ecuación diferencial parcial 
de donde
En esta igualdad derivamos respecto a 
y se tiene:
Usando nuevamente la relación 
, hacemos 
y se obtiene:
Tomando el límite cuando en esta última igualdad se llega a:
De 
y 
se tiene que 
y para que esta igualdad tenga sentido, debe ser que 
y de ahí que 
. Ahora, de 
se tiene que
de donde 
. Luego, , es decir, 
. De esta forma, de 
se sigue que
Para encontrar la función 
, en 
se hace y razonando como antes se obtiene
En conclusión, de 
y 
se tiene que los homomorfismos quedan caracterizados como:
También en este ejemplo, se tiene que los homomorfismos de en se obtienen realizando la composición de los homomorfismos de en con los de en .
4. CÁLCULO DE DERIVADAS
4.1 Una vez hecho el cálculo de los homomorfismos 
, 
y pasamos a calcular derivadas. El grupo es localmente compacto y satisface las condiciones para que haya unicidad de la derivada (comentario 3 de los preliminares).
4.1.1 Derivada para funciones
Veamos en primer lugar qué funciones son diferenciables. Por la caracterización de los homomorfismos se tiene:
Haciendo 
en esta igualdad se obtiene:
debe ser continua en 
se tiene entonces que 
Se exige entonces que exista la derivada parcial de con respecto a , evaluada en .
De esta manera, la derivada de en , evaluada en 
es :
4.1.2 Derivada para funciones 
En primer lugar se debe ver qué funciones son diferenciables, es decir, para qué funciones existe 
continua en y tal que
Tenemos que 
, siendo 
y 
funciones de en con 
. Por un lado se tiene que
en , tenemos: 
De (22) y (23) se obtienen las siguientes relaciones:
Al despejar 
en 
se llega a:
Como debe ser continua , entonces
Se debe exigir entonces que 
sea diferenciable en .
Ahora, de la ecuación 
se tiene:
o bien,
es decir,
Como debe ser continua en , entonces si en la anterior igualdad se toma el límite cuando 
se tiene que:
Se debe exigir entonces que sea diferenciable en .
De (26) y (27) se tiene que la derivada de en , evaluada en 
es:
son diferenciables. Tenemos que 
y por lo tanto,
De otro lado, teniendo en cuenta la caracterización de los homomorfismos de en , se tiene que
Igualando 
y 
se obtienen las siguientes ecuaciones:
De 
se llega a:
Haciendo 
y teniendo en cuenta que debe ser continua en , entonces al tomar en la última igualdad, se obtiene que
Ahora, de 
se sigue que:
o bien,
Como debe ser continua en , entonces haciendo y tomando en la última igualdad, se tiene que:
De esta manera, la derivada de en , evaluada en 
es
Donde 
y
4.2 En esta sección se considerará el grupo topológico aditivo 
de las matrices cuadradas de tamaño 
con entradas reales, el cual es localmente compacto, divisible y satisface las condiciones para la unicidad de derivada. En efecto, la divisibilidad se sigue del siguiente hecho: como estamos considerando 
como grupo aditivo la divisibilidad significa que dado 
y 
natural, existe 
tal que 
, lo cual en nuestro caso se tiene. Vale además que 
para todo . La compacidad local de se sigue al ver como 
.
Definimos 
como:
Se mostrará que esta función es diferenciable en cada 
. En [4] se demuestra que los homomorfismos de en quedan caracterizados como:
Donde
, se tiene que el homomorfismo 
es continuo con la topología inducida por la de . Definamos 
como:
Con relación a esta definición, tenemos que efectivamente 
y que considerando en 
la topología compacto abierta, la aplicación es continua en . Además,
Donde
Se tiene así que
Por lo tanto, es diferenciable en y
Donde
5. AGRADECIMIENTOS
Los autores expresan sus agradecimientos a los jurados del artículo por sus acertados comentarios, los cuales permitieron mejorar su presentación.
REFERENCIAS
[1] ACOSTA G. ERNESTO, DELGADO CÉSAR. Fréchet vs. Carathédory. American Mathematical Monthly, April 1994. [ Links ]
[2] ACOSTA G. ERNESTO. Differentiability in Topological Groups. Soochow Journal of Mathematics, Volume 22, No.1, pp 39-48. January 1996. [ Links ]
[3] CASANOVA T. SIMEÓN. Teorema del Valor Medio en Grupos Topológicos. Tesis de Maestría en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, 1997. [ Links ]
[4] GRANADA D. HÉCTOR. Diferenciación en grupos metrizables. Tesis de grado en Matemáticas. U.Nal. de Colombia, Sede Manizales. Marzo de 2005. [ Links ] ]]>