¹Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile. Email: ruben.hidalgo@usm.cl

]]> Abstract

A Schottky group of rank g is a purely loxodromic Kleinian group, with non-empty region of discontinuity, isomorphic to the free group of rank g.
A virtual Schottky group is a Kleinian group K containing a Schottky group Γ as a finite index subgroup. In this case, let g be the rank of Γ. The group K is an elementary Kleinian group if and only if g ∈ {0,1}. Moreover, for each g ∈ {0,1} and for every integer n ≥ 2, it is possible to find K and Γ as above for which the index of Γ in K is n. If g ≥ 2, then the index of Γ in K is at most 12(g-1).
If K contains a Schottky subgroup of rank g ≥ 2 and index 12(g-1), then K is called a maximal virtual Schottky group. We provide explicit examples of maximal virtual Schottky groups and corresponding explicit Schottky normal subgroups of rank g ≥ 2 of lowest rank and index 12(g-1). Every maximal Schottky extension Schottky group is quasiconformally conjugate to one of these explicit examples.
Schottky space of rank g, denoted by S_g, is a finite dimensional complex manifold that parametrizes quasiconformal deformations of Schottky groups of rank g. If g ≥ 2, then S_g has dimension 3(g-1). Each virtual Schottky group, containing a Schottky group of rank g as a finite index subgroup, produces a sublocus in S_g, called a Schottky strata. The maximal virtual Schottky groups produce the maximal Schottky strata. As a consequence of the results, we see that the maximal Schottky strata is the disjoint union of properly embedded quasiconformal deformation spaces of maximal virtual Schottky groups.

Key words: Schottky groups, Kleinian groups, Automorphisms, Riemann surfaces.

Un grupo de Schottky de rango g es un grupo Kleiniano puramente loxodrómico, con región de discontinuidad no vacía, e isomorfo al grupo libre de rango g.
Un grupo de Schottky virtual es un grupo Kleiniano K que contiene un grupo de Schottky Γ como subgrupo de índice finito. En tal caso, sea g el rango de Γ. El grupo K es un grupo Kleiniano elemental si y sólo si g ∈ {0,1}. Más aún, para cada g ∈ {0,1} y para cada entero n ≥ 2, es posible construir Γ and K de manera que Γ tenga índice n en K. Si g ≥ 2, entonces el índice de Γ en K es a lo más 12(g-1). ]]> Si K contiene un subgrupo de Schottky de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1), entonces K es llamado un grupo de Schottky virtual maximal. Proveemos ejemplos explícitos de grupos de Schottky virtuales maximales y correspondientes subgrupos de Schottky normales de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1). Todo grupo de Schottky virtual maximal es cuasiconformemente conjugado a uno de estos ejemplos.
El espacio de Schottky de rango g, denotado por S_g, es una variedad compleja finito dimensional que parametriza las deformaciones cuasiconformes de grupos de Schottky de rango g. Si g ≥ 2, entonces S_g tiene dimensión 3(g-1). Cada grupo de Schottky virtual, conteniendo un grupo de Schottky de rango g como subgrupo de índice finito, produce un subconjunto en S_g, llamado un estrato de Schottky. Los grupos de Schottky virtuales maximales producen el estrato de Schottky maximal. Como consecuencia de los resultados obtenidos, se obtiene que el estrato de Schottky maximal es la unión disjunta de incrustaciones de espacios de deformación cuasiconforme de grupos de Schottky virtuales maximales.

Palabras clave: Grupos de Schottky, grupos Kleinianos, automorfismos, superficies de Riemann.

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References

[1] I. Agol, `Tameness of Hyperbolic 3-Manifolds´, arXiv:math.GT/0405568, 2004.         [ Links ]

[2] L. Ahlfors, `On Quasiconformal Mappings´, J. Analyse Math. 3, (1953), 1-58.         [ Links ]

[3] L. Ahlfors, Lectures on Quasiconformal Mappings, D. Van Nostrand, Princeton, United States, 1966.         [ Links ]

[4] L. Ahlfors and L. Bers, `Riemann's Mapping Theorem for Variable Metrics´, Ann. of Math. 2, 72 (1960), 385-404.         [ Links ]

[5] L. Bers, `Uniformization by Beltrami Equations´, Comm. Pure Appl. Math. 14, (1961), 215-228.         [ Links ]

[6] L. Bers, Spaces of Kleinian Groups, Vol. 155 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Maryland, United States, (1970), chapter Several Complex Variables, p. 9-34.         [ Links ]

[7] D. Calegari and D. Gabai, `Shrinkwrapping and the Taming of Hyperbolic 3-Manifolds´, J. Amer. Math. Soc. 19, 2 (2006), 385-446.         [ Links ]

[8] V. Chuckrow, `On Schottky Groups with Applications to Kleinian Groups´, Ann. of Math. 88, (1968), 47-61.         [ Links ]

[9] C. Earle, `The Group of Biholomorphic Self-Mappings of Schottky Space´, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I, Math. 16, 2 (1991), 399-410.         [ Links ]

[10] R. A. Hidalgo, Maximal Schottky Extension Groups, To appear in Geometriae Dedicata, 0000.         [ Links ]

[11] R. A. Hidalgo, `On the 12(g-1) Bound´, C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 18, (1996), 39-42.         [ Links ]

[12] R. A. Hidalgo, `Automorphisms Groups of Schottky Type´, Ann. Acad. Scie. Fenn. 30, (2005), 183-204.         [ Links ]

[13] I. Kra and B. Maskit, `The deformation space of a kleinian group´, Amer. J. Math. 103, (1981), 1065-1102.         [ Links ]

[14] A. Marden, `The Geometry of Finitely Generated Kleinian Groups´, Ann. of Math. 99, (1974), 383-462.         [ Links ]

[15] B. Maskit, `A Theorem on Planar Covering Surfaces with Applications to 3-Manifolds´, Ann. of Math. 2, 81 (1965), 341-355.         [ Links ]

[16] B. Maskit, `A Characterization of Schottky Groups´, J. Analyse Math. 19, (1967), 227-230.         [ Links ]

[17] B. Maskit, `On the Classification of Kleinian Groups II-Signatures´, Acta Mathematica 138, (1976), 17-42.         [ Links ]

[18] B. Maskit, Kleinian Groups, Springer-Verlag, 1987.         [ Links ]

[19] K. Matsuzaki and M. Taniguchi, Hyperbolic Manifolds and Kleinina Groups, Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. United States, 1998.         [ Links ]

[20] S. Nag, The Complex Analytic Theory of Teichmüller Spaces, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, United States, 1988.         [ Links ]

[21] B. Zimmermann, `Über Homöomorphismen n-Dimensionaler Henkelkörper und Endliche Erweiterungen von Schottky-Gruppen (On Homeomorphisms of N-Dimensional Handlebodies and on Finite Extensions of Schottky Groups)´, Comment. Math. Helv. 56, 3 (1981), 474-486.         [ Links ]

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