Otros autores (pocos: Petitot, Rota, Badiou, Maddy; no son muchos más) tienen trabajos en filosofía de la matemática que también examinan el quehacer matemático contemporáneo. El ensayo de Zalamea está firmemente anclado en algunas de las preguntas más profundas de Rota y en algunos de los planteamientos y trabajos más osados de Petitot o Badiou. Sin embargo, creo no exagerar al decir que FSMC da un salto cuántico con respecto a los demás autores en esa línea. Ninguno de ellos se atreve, como lo hace FSMC, a mirar prácticamente toda la matemática contemporánea en un ensayo (aunque Rota tuvo contacto directo con los avances de muchas áreas de la matemática en su trabajo editorial y propone claramente el programa de examen fenomenológico serio del quehacer de los matemáticos, no intenta llevar a cabo un análisis sistemático de la obra de varios autores del periodo 1950-2000 como lo hace Zalamea), y mucho menos anclar en esos mismos desarrollos el sistema filosófico propuesto.

Cuatro tesis enmarcan el ensayo de manera transversal: el antirreduccionismo de la matemática contemporánea a un área única (teoría de conjuntos, lógica matemática, etc.), la existencia de nuevas problemáticas filosóficas surgidas de la matemática contemporánea, la síntesis, y no el análisis, como manera de capturar la dinámica de las tensiones dialécticas en la actividad matemática y el restablecimiento de un vaivén pendular entre creatividad matemática y reflexión crítica. Son tesis muy ambiciosas –cada una de ellas podría dar lugar a ensayos, investigaciones y muchos trabajos–. Zalamea responde a las cuatro tesis simultánea, sintética y originalmente. Esbozaré en las secciones siguientes cómo lo hace.

Tres partes claramente diferenciadas estructuran el corpus central del ensayo: El entorno general de las matemáticas contemporáneas, Estudios de caso y Esbozos de síntesis. Zalamea inicia un proyecto ambicioso de construcción de todo un sistema filosófico (no analítico) de la matemática, que oscila entre filosofía, matemática y, de nuevo, filosofía. Esta oscilación ocurre a varios niveles dentro del libro, desde el nivel "macro" de la alternación de los capítulos, hasta el "microscópico": ir y volver en muchas frases, entre alguna afirmación filosófica fuerte y sus ejemplos tomados de trabajos de Gromov, de Zilber, de Shelah o de Serre.

1. Eidos, quid y arjé: mirada directa a la matemática contemporánea

Aunque esta es la segunda parte del ensayo de Zalamea, inicio el comentario aquí. Se trata de la materia prima del ensayo, el material "crudo" (dentro del contexto del ensayo), material de contenido muy sofisticado desde un punto de vista matemático, pero a la vez punto de arranque para la construcción de Zalamea. Recordemos que el origen de la palabra teoría, theorein, está emparentado con la raíz del verbo mirar. Una teoría es, en su momento original, una mirada directa –una acción que (sabemos culposamente desde hace décadas) puede incluso afectar el "objeto mirado"–. Aunque esa mirada directa debería ser un punto de partida obvio, una de las peculiaridades de buena parte de la filosofía de la matemática ha fallado justamente en ese punto inicial: no se ha lanzado a mirar de frente la matemática contemporánea. En la segunda parte de FSMC, Zalamea se sumerge en mares donde pocos aún se atreven a ir a buscar materia para filosofar.

Es posible que haya razones intrínsecas por las cuales esa mirada directa, en el caso de la matemática contemporánea, sea sumamente difícil. Otras disciplinas sofisticadas (física contemporánea, biología molecular, química teórica) han sido más afortunadas que la matemática contemporánea y han contado con enfoques filosóficos que por lo menos se han atrevido a mirar de frente buena parte de los desarrollos recientes. En matemática no ha sido casi nunca el caso –casi nadie se ha atrevido a mirar el impacto en el resto de la cultura de los trabajos de un Grothendieck o un Shelah–. Esto nos da una primera medida de lo arriesgado de la apuesta de Zalamea. Aun si solamente constara de esa segunda parte –si solamente estuviera esa lectura abismal, transversal, de la obra de trece matemáticos contemporáneos (Grothendieck, Shelah, Serre, Langlands, Lawvere, Atiyah, Lax, Connes, Kontsevich, Freyd, Simpson, Zilber, Gromov)–, el ensayo ya sería un trabajo monumental de síntesis de ideas muy complejas, de intento de poner en perspectiva y en contexto trabajos técnicamente complicadísimos de leer. Zalamea realiza extracción alquímica de sustancias preciosas de la obra de esos trece autores, dividiéndolos en las tres categorías eidos (idea), quid (lo que es) y arjé (principio), y asociando sus trabajos a movimientos "ascendentes", "descendentes" y de invariantes conceptuales. De estos trece autores sólo puedo comentar de manera muy directa la síntesis de Zalamea de la obra de Shelah y Zilber; y es realmente notorio poder explicar razonablemente el contenido de miles de páginas de artículos, cierta esencia de ideas difíciles de captar, abismales y brutales.

¿Logra explicar Zalamea el trabajo de esos trece autores de manera completa, coherente, precisa, honesta? La respuesta a esta pregunta (difícil a priori, pues tocaría conocer la obra de varios de esos autores muy bien para poder juzgar de manera completa) es un sí resonante, en las partes que yo mismo puedo juzgar. Digo de entrada que mi propia amplitud (o carencia de esta) me permite juzgar con alto grado de seguridad los análisis de Zalamea de la obra limitada a Shelah y Zilber; con menor grado de seguridad, la obra de varios de los demás; con seguridad nula, la obra de uno o dos de ellos. En lo que puedo ver (habiendo declarado mi propia perspectiva borrosa), debo decir que la descripción en crudo (materia prima filosófica de materia matemática muy elaborada) de las partes que puedo juzgar es muy completa, correcta y está explicada muy cuidadosamente. Zalamea entabló un intenso y difícil trabajo de conversación con varias personas que conocen bien partes del trabajo de los trece autores. La descripción –necesariamente incompleta– captura aspectos esenciales del trabajo de los autores.

Un comentario personal sobre la escogencia de los autores: algunos tenían que estar, independientemente de preferencias personales. Es el caso de Grothendieck y Shelah, de Connes, Serre y Gromov. La ausencia de cualquiera de estos hubiera dado al traste con la intención inicial de Zalamea de entrar a mirar los trabajos hechos en el periodo que le concierne. Zalamea logra algo muy difícil al incluirlos y explicarlos; sin embargo, es importante decir aquí que los cuatro objetivos iniciales lo obligaban a esto. Hay por otro lado algunas inclusiones que sorprenden a primera vista. ¿Lawvere? ¿Freyd? Inicialmente, puede parecer extraño ver los nombres de esos especialistas, famosos en sus respectivas áreas, al lado de los mencionados antes. El texto pasa más rápidamente por los trabajos de Freyd o de Simpson que por los de Grothendieck o Shelah, lo cual es natural, pero dentro de la coherencia interna del ensayo que va emergiendo, esas inclusiones, que inicialmente sorprenden, se hacen importantes. La visión arqueal de Freyd y la matemática en reverso de Simpson, que permite calibrar la "estratificación" de arquetipos, hacen parte integral de la armazón filosófica de Zalamea y corresponden a trabajos matemáticos cuya importancia es de un carácter distinto a la de los de Grothendieck, Shelah o Gromov.

La inclusión de Boris Zilber es uno de los mayores aciertos de toda la segunda parte del ensayo. Allende las razones personales que me hacen valorar enormemente el trabajo y las ideas, el camino que está abriendo Zilber (antes desde Siberia, ahora desde Oxford) hacia el punto de encuentro entre la geometría no conmutativa y la teoría de modelos¹, Zalamea da un paso más y logra efectivamente incorporar la visión arquetípica primordial de Zilber como parte fundamental de su sistema, a través de la búsqueda de estructuras canónicas, a priori, que paradójicamente terminan enmarcando bien estructuras novedosas de la física matemática.

Hay, sin embargo, un gran ausente entre los autores escogidos (de tamaño intelectual monumental, sin quien el puente actual entre la teoría de modelos y la geometría –y el análisis combinatorio geométrico de Tao, y los trabajos de Gromov– sería imposible): Ehud Hrushovski. Junto con Shelah y Zilber, y en un punto muy privilegiado de la intersección entre geometría algebraica, teoría de números y teoría de modelos, están los trabajos de Hrushovski. En términos filosóficos, las tesis centrales de FSMC no se ven afectadas –en cuanto a la segunda parte del libro, un análisis de los trabajos de Hrushovski (teorema de Mordell-Lang, modelo-teórico sobre campos de funciones y campos numéricos, teoremas de meta-estabilidad, de cuasi-grupos y circa-grupos²) hubiera resultado maravilloso–. Los trabajos de Hrushovski permiten una lectura sintética y global de la combinatoria que usa Tao, o de ideas de Gromov –natural desde el punto de vista de la teoría de modelos, ya que pone de relieve funtores y morfismos naturales en áreas externas a la teoría de modelos–, trabajos que geómetras como Manin consideran indispensables para entender trozos aún obscuros de la geometría no conmutativa.

No deja Zalamea su construcción sin contexto en términos históricos. Lleva a cabo, en el capítulo 2 de la primera parte, todo un recorrido bibliográfico por el papel que han tenido las matemáticas avanzadas en los tratados de filosofía matemática. Además de Lautman (a quien reserva lugar de honor), hace un sobrevuelo de trabajos de Pólya, Lakatos, Kline, Wilder, Kitcher, del lado del énfasis en la matemática clásica, y de MacLane, Tymozcko, de Lorenzo, Châtelet, Rota, Badiou, Maddy, Patras, Corfield. Dice una frase muy fuerte:

En ninguno de los casos de que tenemos noticia, se da una comprensión tan precisa y amplia de las matemáticas modernas como aquella alcanzada por Lautman. (46)

Esta frase define claramente la posición inicial de Zalamea en el diálogo con los demás autores.

3. Síntesis matemática. El haz filosófico

Si la segunda parte del libro es una respuesta simultánea a Lautman y a Rota (mirar de frente la materia prima sobre la cual se pretende filosofar; buscar precisión y amplitud en esta mirada, como muestra de respeto a una disciplina enorme y como condición mínima para llevar a cabo el análisis fenomenológico), y la primera parte del libro toma como punto de partida una oposición a la filosofía analítica y una visión de síntesis, la tercera recoge todo lo anterior y constituye la armazón principal del sistema de Zalamea.

Resumir en pocas líneas esa parte del trabajo resultaría ofensivo, por la cantidad de ideas detrás de la construcción que resultan entrelazadas, y por la complejidad y sofisticación de estos enlaces. Quiero, sin embargo, resaltar algunos puntos cruciales que, repito, son sólo un corte, una mirada instantánea, de ese tercer capítulo que invito a leer y releer con cuidado a cualquier matemático, cualquier filósofo, cualquier científico que se preocupe por las cuestiones epistemológicas, ontológicas o fenomenológicas de su disciplina.

La estructura misma de la propuesta filosófica es una estructura matemática. Nada menos que un haz. Los haces son construcciones privilegiadas que dan lugar a la "concreción de un corte conceptual profundo entre las matemáticas modernas y las matemáticas contemporáneas [...]. [E]l corte diacrónico alrededor de 1950 no es sólo una casualidad histórica" (161). Aquí Fernando Zalamea se sitúa (muy voluntariamente, supongo) en la línea de filósofos que, como Spinoza, Llull, Kircher, Leibniz, o acaso el mismo Platón, han aliado el contenido de su construcción de manera sólidamente blindada con una forma proveniente de la matemática. Así como en otros momentos jugó un papel el que la Ética fuera armada en forma de "Elementos de Euclides", que la ramificación, la interacción y la generación del conocimiento fueran representadas en formas arbóreas, tenemos aquí un ejemplo de verdadero haz filosófico. Algo absolutamente novedoso y sin precedentes que yo conozca. Como machine à penser surte sus efectos en el texto. Aunque no defino en estas líneas el concepto detallado de haz (pero invito insistentemente a los lectores del libro a complementar su lectura con una inmersión, dura tal vez, pero saludable para muchos ámbitos culturales, en el estudio de la noción de haz), quiero enfatizar que en los haces intervienen dos ámbitos dimensionales muy distintos: el primero, el ámbito de variación del mundo; el segundo, la configuración del mundo en cada "instante", en cada "instancia", para cada "mirada". El haz es un sistema sofisticado de articulación de esas dos dimensiones (que usa herramientas topológicas o categóricas en su formulación). Parafraseando de manera audaz a Grothendieck, Zalamea se atreve a mirar la "diagonal del haz" (¡qué bellamente irónico que reaparezca la diagonal del Cantor que armó ese paraíso inicial del cual ha resultado tan difícil salirse, y justo en el ámbito más radicalmente lejano al mundo cantoriano inicial!), pero para poder trazar miradas transversales que rompen (coherentemente) los ámbitos encajonados de los filósofos de la matemática del siglo xx. Los haces son a la vez fuente (materia prima) y punto de llegada del ensayo y están maravillosamente evocados en la instalación Fontes de Cildo Meireles.

Por encima de la división triádica (ontología, epistemología, fenomenología), en el corazón de la propuesta del ensayo está la ruptura de enfoques estáticos y el desarrollo cuidadoso de la filosofía de lo transitorio, de lo invariante a través de múltiples cambios, de los objetos matemáticos que van "siendo" y que no están fijos de una vez por todas. Esta filosofía de lo transitorio, aparte de estar anclada de las nociones de haces y esquemas de Grothendieck, se nutre fuertemente en el ensayo de los trabajos de Zilber y de Gromov. Zalamea da múlreseñas tiples ejemplos de cómo el programa de captura de estructuras "canónicas" de Zilber y los trabajos de Gromov en relaciones diferenciales parciales permiten articular la ontología de lo transitorio.

La propuesta fenomenológica es una gran respuesta a Gian-Carlo Rota y su proyecto de llevar a cabo análisis fenomenológicos directamente anclados en la observación desapasionada de lo que hacen los matemáticos. El estudio de la creatividad matemática (hasta ahora pocas veces discutida en foros filosóficos, muy extrañamente) y las menciones a frases de Serre, rompen de manera fuerte con la imagen tan de moda entre ciertos filósofos (y tan lejana de la realidad) de una creatividad matemática dividida de manera dual entre descubrimiento e invención. De nuevo la visión transversal juega un papel central aquí: Zalamea dinamiza el análisis de esos procesos creativos y provee herramientas para romper con los dualismos estériles que han plagado muchas discusiones en torno al tema de creatividad matemática. De todos los temas del libro, la fenomenología de la creatividad matemática es tal vez el tema menos redondeado, dejado más abierto para trabajos futuros. No creo que esto demerite ensayo; ante el grado de sofisticación y refinamiento conceptual, es muy agradable encontrar trozos para poner a prueba la machine à penser armada en esa tercera parte.

4. El resto del mundo. El presente

El ensayo se cierra con un capítulo (verdadero envoy de poesía medieval, que amarra todos los temas anteriores con un toque ligeramente irónico y nostálgico) llamado Matemática y circulación cultural, externo a las tres grandes partes descritas antes. Dada la riqueza develada y articulada en la construcción del haz filosófico de Zalamea, la variedad, contaminación, fusión, adjunción, rupturas y cubrimientos, es evidente que la transfusión, el paso conceptual, ocurre no solamente en el interior de la matemática, sino entre esta y el resto de la cultura. De matemática (vía geometría no conmutativa o, ahora, teoría de modelos) a física cuántica, pero también a química y biología (trabajos de Petitot con Varela y Maturana), lingüística, etc., es claro que los planteamientos de Zalamea en la tercera parte del libro no están acotados a la matemática, y que ayudan a entender la circulación conceptual que se da (lentamente, a veces, lo que resulta exasperante; pero, otras veces, con brutal rapidez) entre matemática y el resto de la cultura. Ese último capítulo explora –de manera sistemática, pero mucho más breve que las tres grandes partes del corpus central– algunas posibilidades de articulación de esa circulación cultural potencialmente tan rica, tanto interna como externa. La circulación interna reexplora de manera breve y ágil la riqueza de transfusiones y contrastes entre matemática moderna y contemporánea (haces armados entre 1943 y 1951, vistos ahora por Zalamea como índices para capturar los cambios entre la matemática moderna y la contemporánea), y entre problemáticas de delimitación y su propia ruptura que resulta en la conformación de redes de universales relativos⁵.

Esa conexión final (e inicial, pues al leerlo se cierra un círculo del libro y surgen de nuevo los temas anteriores) con la estética es tal vez el reto más extraño, más difícil y sorprendente del libro, desde un punto de vista filosófico. Es una especie de "gran tarea" o problema abierto que queda tras la lectura del envoy final del libro. En estos días que han visto surgir iniciativas como el simposio Aesthetics and Mathematics de Utrecht (2007), o el volumen sobre el tema en edición actual (para 2010), por Juliette Kennedy, las ideas y construcciones de Zalamea podrían tener una resonancia especial, que hace pocos años era difícil de encontrar.

¹ ¡Ahora se sabe que ese punto de encuentro es esencial y que posiblemente ayudará a destrabar el problema de la multiplicación real en toros cuánticos!

² Los circa-grupos (near-groups) son subconjuntos definibles x de modelos m, que no son grupos, pero son tales que xx es subconjunto de x en contextos modeloteóricos muy generales.

³ Lautman participó, como tantos jóvenes de su generación, en la Resistencia francesa. Fue asesinado por soldados alemanes en 1944, a los 36 años.

⁴ Anclada en la edición de Les mathématiques, les idées et le réel physique. París: Vrin, 2006, con introducción de Zalamea, o la traducción y edición mucho más completa (la mayor en cualquier idioma hasta la fecha, francés incluido): Lautman, Albert. Ensayos sobre la dialéctica, estructura y unidad de las matemáticas modernas. Edición, estudio introductorio y traducción de Fernando Zalamea. Biblioteca francesa de filosofía, Universidad Nacional de Colombia (en prensa: 2009-2010).

⁵ Resulta de sumo interés el contraste entre estas redes de universales relativos surgidas de los trabajos de Langlands, Shelah, Connes, Gromov, entre otros, en matemáticas, y la propuesta de Badiou, en su Second manifeste pour la philosophie. París: Fayard, 2009. Allí, Badiou plantea (en ámbitos sociales y políticos) la urgencia actual de la conformación de universales relativos, y lo contrasta con su primer manifiesto (antiposmoderno, pero según el mismo Badiou, sin propuesta sólida) de 1989.

⁶ El h-principio de Gromov, el rol primordial de la belleza para Shelah, el hiato abismal entre teoría de modelos y geometría no conmutativa para Zilber, la correspondencia de Langlands y la cohomología "por doquier" de Grothendieck son algunos de los temas que evoca Zalamea, hilando fino la correspondencia matemática-estética.