¹Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Escuela de Estadística, Medellín, Colombia. Universidad de Antioquia, Facultad de Ciencias Económicas, Grupo de Econometría Aplicada, Medellín, Colombia. Profesor asociado, profesor titular. Email: elkincv@gmail.com
²Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de Estadística, Bogotá, Colombia. Profesor asociado. Email: jmartinezc@unal.edu.co

En la literatura de series de tiempo se encuentran diferentes procedimientos para probar la hipótesis sobre el origen aleatorio o determinístico de la componente de tendencia de una serie. La mayoría de ellos se basan en establecer la existencia de una raíz unitaria ya sea en el polinomio autorregresivo o en el polinomio de medias móviles. El desarrollo de las pruebas para verificar estas hipótesis se basa fundamentalmente en el empleo de la teoría no estándar asociada a procesos de Wiener. Este artículo presenta una nueva prueba que hace uso de las funciones de autocorrelación (ACF) de los residuales de los modelos bajo la hipótesis nula H₀:Z_t=β₀+Z_t-1+a_t, y bajo la hipótesis alterna H₁:Z_t=β₀+β₁t+a_t. A partir de la teoría tradicional, con el supuesto que a_t es un ruido blanco gaussiano, se obtiene por simulación la distribución nula del estadístico de prueba para muestras finitas y se deriva una aproximación asintótica. Para el caso en el cual a_t es un proceso autocorrelacionado, se generaliza la prueba y se obtiene la distribución nula asintótica del estadístico de prueba. Los resultados muestran que la prueba asintótica tiene, en general, una potencia alta y mayor que la potencia de la prueba de Dickey y Fuller Aumentada (ADF), particularmente cuando una raíz del polinomio AR o MA está cerca de 1. La prueba asintótica propuesta también presenta menos distorsiones en el tamaño que la prueba ADF.

Palabras clave: tendencia aleatoria, tendencia determinística, función de autocorrelación, modelo ARMA, raíz unitaria, prueba de Dickey y Fuller aumentada.

Several procedures to test the null hypothesis on the random or deterministic origin of the trend in a time series are found in the specialized literature. Most of these tests are based on the analysis of the unit roots of the autoregressive or moving average operators. The procedures are based on the nonstandard theory associated to a Wiener process. In this paper it is proposed a test that uses the autocorrelation function (ACF) of the residuals considering the null hypothesis H₀:Z_t=β₀+Z_t-1+a_t, and the alternative hypothesis H₁:Z_t=β₀+β₁t+a_t. The distribution of the test statistics for finite sample sizes and the asymptotic approximation are obtained using the usual theory, assuming that a_t is a gaussian white noise. The procedure is generalized for the case where a_t is a correlated white noise. The results obtained using simulation show that the proposed test has in general high power and specially when it is compared the well known Dicker-Fuller Augmented test (ADF), in the case when the roots of the autoregressive or moving average operators are close to one. The proposed procedure has also better approximation to the nominal test size when it is also compared with the ADF.

Key words: Stochastic trend, Deterministic model, Autocorrelation function, ARMA model, Unit root, Dickey-Fuller test.

Texto completo disponible en PDF

Referencias

1. Arellano, C. & Pantula, S. G. (1995), 'Testing for Trend Stationarity versus Difference Stationarity', Journal of Time Series Analysis 16, 147-164.         [ Links ]

2. Box, G. E. P. & Pierce, D. A. (1970), 'Distribution of the residual autocorrelations in autoregressive-integrated moving average time series models', Journal of the American Statistical Association 65, 1509-1526.         [ Links ]

3. Castaño, E. (1995), 'Identificación de un modelo ARIMA contaminado', Lecturas de Economía 42, 49-70.         [ Links ]

4. Chen, C. & Liu, M. L. (1990), Joint estimation of model parameters and outlier effects in time series, Working Papers Series, Scientific Computing Associates , P.O. Box 625, DeKalb, Illinois 60115.         [ Links ]

5. Choi, I. (1992), 'Durbin-Hausman Tests for a Unit Roots', Oxford Bulletin of Economics and Statistics 54, 289-304.         [ Links ]

6. Choi, I. & Yu, B. C. (1997), 'A General Framework for testing I(m) contra I(m+k)', Journal of Economic Theory and Econometrics 3, 103-138.         [ Links ]

7. Cleveland, W. S. (1993), Visualizing Data, Hobart Press, Michigan, United States.         [ Links ]

8. Cleveland, W. S. (1994), The Elements of Graphing Data, Hobart Press, Michigan, United States.         [ Links ]

9. Cochrane, J. H. (1988), 'How Big is the Random Walk in GNP?', Journal of Political Economy 96, 893-920.         [ Links ]

10. Cochrane, J. H. (1991), 'A Critique of the Application of Unit Root Tests', Journal of Economics Dynamics and Control 15, 275-284.         [ Links ]

11. DeJong, D. N., Nankervis, J. C., Savin, N. E. & Whiteman, C. H. (1992a), 'The Powers Problems of the Unit Root Tests in Time Series with Autorregressive Errors', Journal of Econometrics 53, 323-343.         [ Links ]

12. DeJong, D. N., Nankervis, J. C., Savin, N. E. & Whiteman, C. H. (1992b), 'Integration Versus Trend Stationarity in Time Series', Econometrica 60, 423-433.         [ Links ]

13. Dickey, D. A. & Fuller, W. A. (1979), 'Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root', Journal of the American Statistical Association 76, 427-431.         [ Links ]

14. Elliot, G., Rothenber, T. J. & Stock, J. H. (1996), 'Efficient Tests for an Autorregressive Unit Root', Econometrica 64, 813-836.         [ Links ]

15. Flores de Frutos, R. & Jerez, M. (2002), Testing for Invertivility in Univariate ARIMA Process, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Departamento de Economía Cuantitativa, Universidad Complutense de Madrid.         [ Links ]

16. Fuller, W. A. (1976), Introduction to Statistical Time Series, Wiley-Interscience, New York, United States.         [ Links ]

17. Hall, A. (1989), 'Testing for a Unit Root in the Presence of Moving Average Error', Biometrika 76, 49-56.         [ Links ]

18. Harvey, A. (1989), Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, Cambridge, England.         [ Links ]

19. Harvey, A. (2000), Trend Analysis, Mimeo , Faculty of Economics and Politics, University of Cambridge.         [ Links ]

20. Jones, R. H. (1993), Longitudinal Data with Serial Correlation: A State Space Approach, Chapman and Hall, London, England.         [ Links ]

21. Kitagawa, G. & Gersch, W. (1996a), Smoothness Priors Analysis of Time Series, Springer-Verlag, Berlín, Alemania.         [ Links ]

22. Kitagawa, G. & Gersch, W. (1996b), Smoothness Priors Analysis of Time Series, Springer-Verlag, Berlín, Alemania.         [ Links ]

23. Ljung, G. M. (1986), 'Diagnostic Testing of Univariate Time Series Models', Biometrika 73, 725-730.         [ Links ]

24. Ljung, G. M. & Box, G. E. P. (1978), 'On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models', Biometrika 65, 297-303.         [ Links ]

25. Nelson, C. R. & Plosser, C. I. (1982), 'Trends and random walks in macroeconomic time series', Journal of Monetary Economics 10, 139-162.         [ Links ]

26. Ng, S. & Perron, P. (1996), 'Unit Roots Tests in ARMA Models with Data-Dependent Methods for the Selection of Truncation Lag', Journal of the American Statistical Association 90, 268-281.         [ Links ]

27. Pankratz, A. (1983), Forecasting with Univariate Box-Jenkins Models, Wiley-Interscience, New York, United States.         [ Links ]

28. Phillips, P. C. B. & Perron, P. (1988), 'Testing for a Unit Root in Time Series Regression', Biometrika 75, 335-346.         [ Links ]

29. Phillips, P. & Perron, P. (1988), 'Testing for a Unit Root in Time Series Regression', Biometrika 75, 335-346.         [ Links ]

30. SCA-Corp., (2001), The SCA Statistical System, versión VI.3a, SCA Corp., Dekalb, Illinois.         [ Links ]

31. Saikkonen, P. & Luukkonen, R. (1993), 'Testing for a moving average unit root in autoregressive integrated moving average models', Journal of the American Statistical Association 88, 596-601.         [ Links ]

32. Sargan, J. D. & Bhargava, A. (1983), 'Maximum Likelihood Estimation of Regression Models with First Order Moving Average Errors When the Roots Lies on the Unit Circle', Econometrica 51, 799-820.         [ Links ]

33. Schwartz, G. (1978), 'Estimating the Dimension of a Model', The Annals of Statistics 6, 461-464.         [ Links ]

34. Schwert, G. W. (1989), 'Tests for Unit Roots: A Monte Carlo Investigation', Journal of Business and Economics Statistics 7, 147-159.         [ Links ]

35. Shephard, N. (1993), 'Distribution of the ML Estimator of an MA(1) Model and a Local Level Model', Econometric Theory 9, 377-401.         [ Links ]

36. Shephard, N. & Harvey, A. (1990), 'On the Probability of Estimating a Deterministic Component in the local Level Model', Journal of Time Series AnalysiS 11, 339-347.         [ Links ]

37. Tanaka, K. (1990), 'Testing for a Moving Average Unit Root', Econometric Theory 6, 433-444.         [ Links ]

38. Tsay, R. S. (1993), 'Testing for Noninvertible Models with Applications', Journal of Business and Economic Statistics 11, 225-233.         [ Links ]

39. Wei, W. (2006), Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods, Pearson Addison Wesley, Boston, United States.         [ Links ]

40. West, M. & Harrison, J. (1989), Bayesian Forecasting and Dynamic Models, Springer-Verlag, New York, United States.         [ Links ]

41. Young, P. (1984), Recursive Estimation and Time-Series Analysis, Springer-Verlag, Berlín, Alemania.         [ Links ]

Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX: