Determinants of the choice of pensions administrator in Colombia: first estimations from aggregates

Les déterminants du choix d une caisse de retraites en Colombie: Les premières estimations à partir d agrégats

Luis Eduardo Arango y Luis Fernando Melo

Luis Eduardo Arango Thomas: Ph.D. en Economía, Universidad de Liverpool (Reino Unido), Investigador Principal, Unidad de Investigaciones Económicas, Gerencia Técnica, Banco de la República. Dirección electrónica: larangth@banrep.gov.co. Dirección postal: Banco de la República, Carrera 7ª No. 14-78, Bogotá, Colombia. Luis Fernando Melo Velandia: Msc. en Estadística, Universidad de Michigan Ann-Arbor, Econometrista Principal, Gerencia Técnica, Dirección electrónica: lmelovel@banrep.gov.co. Dirección postal: Banco de la República, Carrera 7ª. No. 14-78, Bogotá, Colombia. Las opiniones contenidas en este documento son responsabilidad exclusiva de sus autores y no coinciden necesariamente con las del Banco de la República ni su Junta Directiva. Se agradece la asistencia de Fernando Arias, Oscar Becerra, John Jairo León y Carlos Sandoval, así como los comentarios y sugerencias de Yaneth Rocío Betancourt, Luz Adriana Flórez, Diego Jara, Gabriel Piraquive, Carlos Esteban Posada y de un evaluador anónimo.

– Introducción. – I. Algunas características del sistema de cuentas individuales. – II. Enfoque teórico y hechos subyacentes – III. Aproximación empírica. – IV. Resultados. – Conclusiones. – Anexos. – Bibliografía.

Primera versión recibida en octubre de 2006; versión final aceptada en mayo de 2007

Resumen: Este artículo tiene como objetivo estudiar los determinantes de la elección de administradora de pensiones. Utilizando información del sistema de ahorro individual entre 1998 y 2005, y aplicando la técnica de cointegración panel, se encuentra evidencia de que la tasa de retorno real de los fondos y la población ocupada son los determinantes principales del número de cotizantes a las distintas administradoras de fondos de pensiones. El valor promedio del fondo, utilizado como proxy de otras variables como la capacidad que tiene cada administradora de difundir su producto y de contactar potenciales afiliados, no resultó significativo.
Palabras clave: Administradora de Fondos de Pensiones (AFP), rentabilidad, cointegración panel. Clasificación JEL: G23, C23.

Abstract: This paper is aimed at studying the main determinants of people s choice of a pension fund manager. By using information of the individual saving system (the private system) between 1998 and 2005, and applying panel cointegration techniques, the paper provides evidence in the sense that the rate of return and the employed population are the main determinants of the number of active participants to the different pension fund managers. The average value of the fund, used as a proxy of other variables such as the manager s capability to promote their product and contact potential participants, was not significant.
Keywords: Pension Fund Managers, return, panel cointegration.

Résumé: Cet article étudie les déterminants du choix d une caisse de retraite. Nous utilisons l information obtenue à partir du système dépargne individuelle entre 1998 et 2005. Nous appliquons la technique de cointégration sur données de panel pour montrer que le taux d escompte réel des fonds et la population occupée sont les déterminants principaux du nombre de cotisants aux différentes caisses de retraites. La valeur moyenne du fond n est pas significative lorsqu on utilise un proxy d autres variables comme la capacité de chaque caisse à commercialiser son produit et à se rapprocher des clients potentiels. ]]> Mots clés: Caisse de retraites, rentabilité, cointégration sur données de panel.

Introducción

Las reformas promulgadas mediante la Ley 100 de 1993 dieron lugar, entre otras cosas, a la existencia de un sistema dual de administración del ahorro obligatorio, conocido como el Sistema General de Pensiones, que constituye la base para la pensión a la edad del retiro. Desde entonces, además del Régimen Solidario de Prima Media con Prestación Definida (pay-as-you-go) cuyo eje es el Instituto de Seguro Social, está el Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad (fully-funded) del cual se encargan las seis administradoras de los fondos de pensiones (AFP) que hoy operan, después de las fusiones y adquisiciones que se han registrado. Los recursos de las cuentas individuales conforman un portafolio de inversiones administrado por las AFP siguiendo el modelo chileno.¹

Según las normas actuales, la afiliación al Sistema General de Pensiones es obligatoria para todos los trabajadores dependientes e independientes. Antes de la vigencia de la Ley 797 de 2003, la afiliación era obligatoria solo para los asalariados, vinculados mediante un contrato de trabajo, y los servidores públicos mientras que para los trabajadores independientes o cuenta-propia dicha afiliación era voluntaria.² Al momento de la creación del Sistema General de Pensiones, los trabajadores debieron escoger, de manera no irreversible para muchos de ellos, entre permanecer en el régimen de prima media o cambiarse al nuevo sistema.

Actualmente, las AFP que conforman el Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad³ son Colfondos, Horizonte, Porvenir, Protección, Santander y Skandia, las cuales cuentan con cerca de seis millones de afiliados (aportantes y no aportantes), de los cuales tres millones se encuentran activos⁴ (aportantes), y administran un ahorro conjunto, incluyendo sus rendimientos, de $ 28,5 billones, lo que significa un valor aproximado de $4,8 millones por afiliado a abril de 2005. A comienzos del año 2000 los afiliados constituían el 50,1% y los activos el 25,5% de la población ocupada (13 principales ciudades) mientras que a abril de 2005 los afiliados eran algo menos del 72% y los activos el 36% de la población ocupada. Esto significa que el avance mensual en materia de cobertura de afiliados activos ha sido de 0,17 puntos porcentuales. El gráfico 1 presenta la evolución de los afiliados y los afiliados activos al sistema de ahorro individual en relación con la población ocupada (13 ciudades).

Fuente: Superbancaria Dane.

Gráfico 1. Afiliados y activos en relación con ocupados (13 ciudades)

De acuerdo con las disposiciones vigentes, a las AFP llega un aporte del 15% del salario mensual al cual contribuye el empleador en un 75% y el empleado en un 25% (gráfico 2). El artículo 7º de la Ley 797 de 2003, que modifica el artículo 20 de la Ley 100, establece que, a la fecha (diciembre de 2005), el 15% del ingreso base de cotización se destinará al Sistema y será distribuido de la siguiente manera: 10,5% a las cuentas individuales de ahorro pensional, 1,5% al Fondo de Garantía de Pensión Mínima del Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad y el 3% restante a financiar los gastos de administración, la prima de reaseguros de Fogafin y las primas de los seguros de invalidez y sobrevivientes. A partir de enero de 2006 la contribución total será de 15,5%, destinándose los 0,5 puntos porcentuales (pp) adicionales a las cuentas de ahorro individuales.⁵

El esquema de ahorro individual asegura una cotización, un rendimiento mínimo, inducido por la regulación que ejerce la Superintendencia Bancaria y, como veremos más adelante, una pensión mínima para quienes cumplan ciertas condiciones. Sin embargo, por encima de esta pensión mínima existe incertidumbre sobre los beneficios que obtendrá cada cuenta de ahorro en exceso sobre ese retorno mínimo.

Gráfico 2. Aporte mensual por concepto de pensión

En el gráfico 3 se observa la participación de cada AFP en los afiliados activos entre 1998 y 2004. Se presentan allí variaciones importantes. Por ejemplo, se destaca la manera cómo Porvenir y Protección han ganado presencia en este aspecto, mostrando la segunda de ellas una mejor dinámica, mientras que Colfondos, Santander y Horizonte han perdido espacio, en especial esta última. De igual manera, los fondos administrados por Porvenir y Protección han ganado participación en el valor total del ahorro pensional mientras que los demás apenas si se han mantenido cuando no ha disminuido su participación (gráfico 4).

Fuente: Superintendencia Bancaria.

Gráfico 3. Composición porcentual de los cotizantes entre 1998 y 2004

Fuente: Superintendencia Bancaria

Gráfico 4. Participación promedio en valor total del sistema AFP

De los gráficos 3 y 4 surgen algunas preguntas como por ejemplo: ¿cuál es el determinante del cambio en la participación que tienen las AFP en el total de cotizantes? ¿Es la rentabilidad real que ofrecen las administradoras la variable fundamental o hay otras explicaciones para los cambios en la participación? La teoría económica señala que la tasa de retorno que ofrecen los activos es fundamental al momento de decidir cuánto invertir. También señala la teoría que cuando los agentes tienen una alta aversión no están dispuestos a efectuar cambios muy importantes en su trayectoria de consumo debido a los movimientos tan pronunciados que podrían presentarse en su utilidad marginal. Sin embargo, este punto es de menor importancia en nuestro análisis ya que, dada la contribución forzosa que significa cotizar para la pensión, los individuos no están sacrificando más que el costo de obtener información sobre el retorno que ofrecen los fondos para obtener a cambio un mayor consumo futuro. Es decir, dada esa contribución forzosa, los individuos prácticamente no dejan de consumir nada hoy para consumir más mañana. Por eso, el análisis intratemporal es suficiente para entender el problema del individuo como se verá en la sección II.

La magnitud del ahorro no es, pues, una decisión autónoma, endógena ni óptima de los agentes.⁶ Se trata de una obligación determinada por las autoridades económicas que afecta el ingreso disponible de los trabajadores. La primera instancia de la única decisión autónoma de estos se produce al momento de escoger el régimen al cual desean vincularse: al de ahorro individual o al de prima media. Si la decisión se tomó en favor del régimen de cuentas individuales, la segunda instancia de la decisión está en determinar la AFP que va administrar sus recursos de ahorro. El traslado de una AFP a otra se puede hacer después de permanecer en alguna de ellas un mínimo de seis meses.

En segundo lugar, existe la garantía de una pensión mínima que hace que la gente de salarios bajos se preocupe en menor medida por el retorno que reportan las AFP. En este sentido, el artículo 65 de la Ley 797 de 2003 señala que los afiliados que a los 62 años de edad, si se trata de hombres y a los 57, si se trata de mujeres, que no hayan alcanzado a generar la pensión mínima de que trata el artículo 35 de la Ley 100 de 1993 y hubiesen cotizado por lo menos 1.150 semanas tendrán derecho a que el Fondo de Garantía de Pensión Mínima del Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad, en desarrollo del principio de solidaridad, les complete la parte que haga falta para obtener dicha pensión. A propósito, el artículo 35 de la Ley 100 señala que el monto mensual de la pensión mínima de vejez o jubilación no podrá ser inferior al valor del salario mínimo legal mensual vigente.⁷

El alcance del presente trabajo es modesto, en el sentido de que solamente se concentra en la segunda instancia de la decisión mencionada arriba. La muestra que utilizamos considera solamente el sector privado del mercado de pensiones, es decir, los afiliados activos a las AFP. Una vez concentrados en este sistema nos preguntamos ¿qué determina la vinculación a una AFP u otra? Utilizando técnicas de cointegración panel este trabajo verifica la hipótesis de que, entre enero de 1998 y abril de 2005, el retorno ofrecido por las administradoras constituye un determinante de la composición de los cotizantes a una AFP específica, una vez se controla por la población ocupada, la cual opera como variable de escala.

El trabajo se desarrolla de la siguiente manera: la sección I muestra algunos hechos distintivos del sector; la sección II esquematiza la decisión de escogencia de la AFP por parte de los agentes económicos; la sección III describe el método de estimación; la sección IV presenta y discute los resultados; y, finalmente, se presentan algunas conclusiones.

I. Algunas características del sistema de cuentas individuales

Recientemente Colombia se ha identificado por sus bajas tasas de ahorro. Así, por ejemplo, mientras que en 1991 dicha tasa era superior a 22% del PIB, al comienzo de la presente década, de acuerdo con la información de cuentas nacionales, se ubicó en 12%.⁸ La reducción de las restricciones de liquidez, la inflación de activos y las mayores tasas impositivas han figurado en la lista de explicaciones a este fenómeno (Urrutia, 1995).⁹

El ahorro pensional en las AFP, por su parte, ha venido incrementándose como proporción del PIB; pasó de significar cerca de 6% de este en 1998 a representar algo más de 43% en 2005 en frecuencia trimestral. Sobre esta base puede decirse que las pensiones del Régimen de Ahorro Individual, al cierre de 2004, eran ligeramente superiores al 10% del PIB anual. Sin embargo, si se tiene en cuenta que el ahorro pensional es una variable stock y el PIB una variable flujo, esta relación podría ser engañosa. El gráfico 5 muestra cómo la relación entre el ahorro en cuentas individuales y el PIB acumulado entre el tercer trimestre de 1994 (cuando se dio inicio al nuevo régimen) y el primer trimestre de 2005 ha venido en aumento, ya que pasó de significar 0,41% del PIB acumulado hasta 1998:3 a significar 1,08% del acumulado hasta 2005:3. Esto, si bien puede ser el resultado conjunto de un mayor número de afiliados (activos y no activos), mayores contribuciones (por salarios más altos y mayores porcentajes de cotización) y rendimientos más altos, constituye un hecho positivo.

Los cuatro paneles del gráfico 6 contienen información complementaria del régimen. Así, por ejemplo, en el panel A se observa cómo los afiliados de edades entre 60 y 64 años tienen la menor participación. De igual manera se observa una rápida caída en el número de afiliados de 65 años y más, y de 15 a 19 años, aunque la caída en este último número es mucho más lenta que en el anterior. La mayor participación en este Régimen corresponde a los afiliados de 20 a 39 años de edad.

Nota: se refiere al cociente del ahorro pensional sobre el PIB de cada trimestre y al cociente del ahorro pensional sobre el PIB acumulado desde el segundo semestre de 1994, año en que surgieron las administradoras de fondos. ]]> Fuente: Superbancaria-Dane; cálculos de los autores.

Gráfico 5. Ahorro pensional obligatorio sobre PIB trimestral y sobre PIB acumulado

El panel B muestra una mayor participación de afiliados pertenecientes al género masculino; sin embargo, la brecha por géneros ha tendido a cerrarse, ya que en 1997 los hombres representaban 62,9% mientras que en mayo de 2005 su participación era de 59%. Para percibir el efecto de las decisiones (óptimas) de los agentes en cuanto a su participación en el mercado laboral, estos porcentajes deben compararse con otros indicadores. Por ejemplo, para 13 ciudades, la participación de hombres en la población total es de 46,9%; en la población en edad de trabajar de 45,6%; en la población económicamente activa de 52,4%; en la población ocupada de 53,8%; y de 43,8% entre los desocupados. Sugieren los números anteriores que la composición por género que se observa en los afiliados al subsistema de ahorro individual parece estarse acercando paulatinamente a la que se observa en la población económicamente activa. Sin embargo, el tema de la afiliación por género amerita una reflexión que toca aspectos más profundos del mercado laboral colombiano.

Nota: SMLV: salario mínimo legal vigente.
Fuente: Asofondos - Superbancaria.

Gráfico 6. Otras características del régimen de cuentas individuales

Los paneles C y D del gráfico 6 muestran la afiliación de mujeres y hombres, respectivamente, por número de salarios mínimos. Las participaciones son relativamente homogéneas; sin embargo, llama la atención la forma en que han venido ganando participación los afiliados que ganan entre 1 y 2 salarios mínimos legales vigentes (SMLV) y se han reducido los que ganan más de 2.¹⁰ El aumento en la participación de mujeres que ganan entre 1 y 2 SMLV entre 1997 y 2004 es de 6,9 puntos porcentuales (pp) y de 7,8 para los hombres. Por su parte, la caída en la participación de las mujeres que ganan entre 2 y 4 SMLV es de 4,2 puntos porcentuales y de 4,1 en los hombres, mientras que entre quienes ganan más de 4 SMLV la caída en la participación de mujeres y hombres fue de 2,7 y 3,7 puntos porcentuales, respectivamente.¹¹

A. Rentabilidad de las AFP y rentabilidades mínima y del portafolio de referencia.

Para los propósitos de este trabajo es conveniente, en este punto, señalar en qué consiste la rentabilidad mínima obligatoria. De acuerdo con el decreto 1592 de 2004 esta debe ser equivalente al promedio simple de: 1) el 70% del promedio ponderado de las rentabilidades acumuladas efectivas anuales para los últimos 36 meses y 2) el promedio ponderado de: i) el 70% del incremento porcentual efectivo anual durante los últimos 36 meses del índice de la Bolsa de Valores de Colombia, ponderado por el porcentaje del portafolio de los fondos invertido en acciones y en fondos de inversión en la proporción invertida en acciones; ii) el 70% del incremento porcentual efectivo anual durante los últimos 36 meses del índice representativo del mercado accionario del exterior indicado por la Superintendencia Bancaria, ponderado por el porcentaje del portafolio de los fondos invertido en acciones de emisores extranjeros y en fondos de inversión internacionales en la proporción invertida en acciones; iii) el 70% de la rentabilidad acumulada efectiva anual arrojada para los últimos 36 meses por un portafolio de referencia para pensiones valorado a precios de mercado, ponderado por el porcentaje invertido en las demás inversiones admisibles. Por su parte, la rentabilidad del portafolio de referencia hace relación al portafolio de base para el cálculo de la rentabilidad mínima que estipula la regulación expedida por la Superbancaria.

El gráfico 7 muestra la evolución tanto de la rentabilidad mínima exigida a las AFP por la Superintendencia Bancaria como de la rentabilidad del portafolio de referencia. Se observa allí el efecto sobre la rentabilidad mínima del cambio en la fórmula de cálculo ocurrido en abril de 2004. Entre las justificaciones a dicha modificación, estuvo la mayor posibilidad de inversión para las AFP dada la menor probabilidad de penalización a la que están sometidas, desde abril de 2004, de no llegar a obtener al menos dicha rentabilidad.

Fuente: Superbancaria.

Gráfico 7. Rentabilidades mínima y del portafolio de referencia.

Tanto la legislación reseñada como el gráfico 8, que se observa un poco más adelante sugieren relaciones entre la rentabilidad de las AFP y las rentabilidades derivadas de la regulación. Por ello, a continuación se verifica la hipótesis de que el cambio en la rentabilidad de los fondos se relaciona, en un contexto panel, con el cambio en la rentabilidad mínima y con el cambio en el rendimiento del portafolio de referencia. Estas verificaciones se hacen utilizando el enfoque de " regresiones aparentemente no relacionadas" (o Seemingly Unrelated Regressions, SUR).¹²

Tabla 1. Modelo SUR de la rentabilidad en función de la rentabilidad mínima

Nota: estimaciones panel SUR con corrección de errores estándar panel en el tiempo (Beck y Katz, 1995). Los residuos del modelo siguen un proceso AR(1). La variable dummy 2004:05 toma el valor de 1 si t = 2004:05 y 0 en otro caso. La variable dummy 2004:12 toma el valor de 1 si t≥2004:12 y 0 en otro caso. x corresponde a la diferencia de x y los números entre paréntesis a las desviaciones estándar. La frecuencia de la información es mensual.

Los resultados de la tabla 1 constituyen evidencia de asociación entre el cambio en la tasa de rentabilidad de las AFP y el cambio en la rentabilidad mínima tanto para el período 1998:1 -2004:4, antes de introducir el cambio en la reglamentación que modifica el cálculo de la rentabilidad mínima, como para el período 1998:1-2005:4. Como se observa en la tabla 1, en ambos períodos la rentabilidad mínima es determinante de la rentabilidad de las AFP o, de manera más precisa, el cambio en la rentabilidad mínima se transmite al cambio en la rentabilidad de las AFP.

Durante el primer subperíodo no se rechaza la hipótesis de que el impacto de la rentabilidad mínima en la rentabilidad de las AFP es el mismo para todas ellas. Pero cuando el período muestral se amplía hasta abril de 2005, el efecto de la rentabilidad mínima varía de AFP en AFP. Durante el período completo, fue necesario introducir dos variables dummy para tomar en cuenta variaciones significativas en la rentabilidad de los fondos. Notemos cómo la interacción (rentabilidad mínima × dummy 2004:05) reduce en forma importante el efecto de la rentabilidad mínima en la rentabilidad de las AFP en ese mes particular. Los resultados de la tabla 1 sugieren que el regulador tiene capacidad de alterar la rentabilidad de las AFP a través de la fijación de la rentabilidad mínima.

El cambio en la rentabilidad de las AFP está igualmente relacionado con el cambio en la rentabilidad del portafolio de referencia de acuerdo con los resultados de la tabla 2. Cuando aumenta la rentabilidad del portafolio de referencia aumenta la rentabilidad de las AFP. Al igual que en el caso anterior, se puede rechazar la hipótesis de que el efecto marginal de la variación en la rentabilidad del portafolio de referencia en la rentabilidad es igual para todas las AFP. Se observa, sin embargo, que el efecto es mucho menor que el reportado en la tabla 1 de la rentabilidad mínima.

II. Enfoque teórico y hechos subyacentes

La hipótesis fundamental de este estudio es que la tasa de rentabilidad real que ofrecen las AFP es un determinante fundamental en la composición del número de afiliados activos. Para racionalizar el asunto, suponemos que, dependiendo de la etapa de la vida en la que se encuentre, la laboral o la de retiro, el individuo tiene un problema en dos dimensiones: una intertemporal y una intratemporal. Suponemos que sus preferencias no se modifican al pasar de una etapa de la vida a la siguiente pero las restricciones que enfrenta sí. De esta manera, la primera dimensión del problema lo lleva a escoger la trayectoria de consumo que maximiza su satisfacción sujeto a una restricción de presupuesto. Para analizar esto, supongamos que la utilidad por el tiempo de vida que le queda al individuo está dada por:

Tabla 2. Modelo SUR de la rentabilidad en función de la rentabilidad del portafolio de referencia

Nota: estimaciones Panel SUR con corrección de errores estándar panel en el tiempo (Beck y Katz, 1995). Los residuos de los dos modelos son ajustados por un proceso AR(1). La variable dummy 2004:12 toma el valor de 1 si t = 2004:12 y 0 en otro caso. La variable dummy 2005:03 toma el valor de 1 si t = 2005:03 y 0 en otro caso. (x) corresponde a la diferencia de x y los números entre paréntesis a las desviaciones estándar. La frecuencia de la información es mensual.

siendo U una función que crece monótonamente, u(C_s) la función de utilidad periódica, c_s el consumo en el momento s y β el factor de descuento. Suponemos que el individuo no deriva ninguna utilidad del ocio y que, por tanto, ofrece su trabajo inelásticamente a la tasa de salario w'_s, que corresponde al salario de mercado w_s adicionado en la proporción δ_p, 0 < δ_p < 1, que es el aporte correspondiente a la firma en la que labora el individuo por concepto de pensión, neto de gastos de comisión de administración y seguros; de esta manera w'_s = ( 1 + δ_p ) w_s. Durante su etapa laboral el individuo desea maximizar (1) sujeto a:

A_s+1 = ( 1 + r_s )A_s + ( 1 - δ_e ) w_s - c_s (2)

siendo A_s el nivel de riqueza al comienzo del periodo s, r_s la tasa de interés real y δ_e, 0 < δ_e < 1, la fracción del ingreso laboral que el individuo debe trasladar periódicamente a la AFP que él haya elegido, neto de gastos de administración y seguros. Para ajustar nuestros supuestos a las normas (Ley 797 de 2003), podemos pensar que a la fecha δ_p + δ_e = 10.5% del salario y que a partir de 2006, δ_p + δ_e = 11%. La diferencia entre estos valores y el aporte total (15% en 2005 y 15,5% en 2006) se destina a financiar el fondo de pensión mínima, los gastos de administración y la prima de reaseguro que mencionamos al comienzo.

La ecuación de Euler derivada del proceso de optimización con respecto a 1+A_s y c_s en esta dimensión es típicamente:

1 = β ( 1 + r_s )[u'(c_s+1)/u'(c_s)] (3)

max f_s+1k = (1 + r_s+1^k)f_sk + δ' w_s+1 k = i, j (4)

con δ' = (δ_p + δ_e) (5)

siendo f_sk la suma capitalizada en el sistema de ahorro individual bien sea que la coloque en la AFPi o en la AFPj y r_s^k, k = i, j, son las tasas de retorno que ofrece cada una de ellas, respectivamente, y δ' es el aporte conjunto de empleado y empleador. En este problema las tasas de interés se asocian de la siguiente manera:

r_s^k = r_s + ε_s^k k = i, j

donde ε_s^k es estacionario, además ε_sⁱ y ε_s^j pueden estar contemporáneamente correlacionados. La suma f_s+1^k solo se puede utilizar después del retiro, el cual se produce en el período T, cuando w_s = 0. En ese momento (cuando s > T) el problema tiene solamente la dimensión intertemporal (suponemos que la persona ya no puede volver a cambiar de AFP) y, por tanto, la restricción que enfrentará el individuo es:

A_s+1 = (1 + r_s)A_s + p_s - c_s (6)

donde p_s es el componente permanente de la corriente pensional, p_s, que recibe el individuo y que acá asociamos a la cuota periódica correspondiente a una tasa de interés variable. Dicho componente se calcula como:

(7)

haciendo: , la ecuación (7) se puede escribir como:

de manera que si p_s = p tiene que:

(9)

Con estos factores, las condiciones terminales para los problemas del individuo son:

(10)

El problema es convencional y la hipótesis que surge, dado que se trata de instituciones vigiladas por un órgano de control estatal, como la Superbancaria, es que el retorno que ofrecen las AFP es una variable determinante de la afiliación a una AFP u otra. Esta hipótesis se verifica a continuación siguiendo el enfoque de cointegración panel de Groen y Kleibergen (2003).

El gráfico 8 muestra la rentabilidad real de los portafolios administrados por las AFP comparada siempre con la rentabilidad mínima. De allí se destacan varios puntos: 1) el nivel relativamente alto de la rentabilidad real comparado con las estimaciones habituales de la tasa real de largo plazo las cuales fluctúan alrededor de 5% anual;¹⁴ 2) el comovimiento aparente de la rentabilidad de las AFP y la rentabilidad mínima por lo menos hasta abril de 2004;¹⁵ 3) el comportamiento a la baja del retorno real de algunos portafolios desde mediados de 2001 hasta mediados de 2004;¹⁶ 4) el repunte reciente que ha tenido la rentabilidad en el cual se destaca la de Protección. Este evento se produce durante el período en el cual se reduce la rentabilidad mínima (o de penalización) como claramente se observa en el gráfico 8, lo cual podría estar sugiriendo que la restricción que significa una rentabilidad mínima ha perdido vigencia práctica. Esto es, que el riesgo de obtener una rentabilidad por debajo de ella es realmente bajo y esto da más libertades a las AFP.

Si la hipótesis que se desprende de la teoría se cumpliera con exactitud, en el largo plazo, Skandia debería ser la AFP que más afiliados tenga, de continuar administrando el portafolio que produce el mayor rendimiento real como hasta ahora (11,06% anual durante el período de análisis). Sin embargo, se debe tener en cuenta la creencia de que Skandia se concentra en un segmento particular de asalariados y que, de momento, no tiene interés en apartarse de dicho segmento.¹⁷ Un resultado de esta estrategia de Skandia se observa al comparar la participación de esta AFP en el patrimonio total del subsistema con la participación en los afiliados activos; la primera es casi cuatro veces la segunda (gráfico 9), lo cual puede ser síntoma de que su estrategia de concentrarse en un segmento particular de los ocupados parece rendir los frutos esperados.

Nota: la rentabilidad real se calcula como [1+rentabilidad efectiva anualt )/(1+π_t ) 1]; la rentabilidad efectiva anualt es igual a rentabilidad efectiva anual del portafolio de 36 meses; π_t es la inflación de 36 meses efectiva anual. ]]> Fuente: cálculos de los autores con base en información de la Superintendencia Bancaria y la Dirección de Programación Macroeconómica e Inflación Banco de la Republica, basada, a su vez, en información del Dane.

Gráfico 8. Rentabilidad de los portafolios administrados por las AFP y rentabilidad mínima

Dado lo anterior, sería entonces Protección el fondo que más afiliados tenga en el largo plazo, ya que su retorno sigue muy de cerca el de Skandia y no parece tener interés particular o exclusivo en algún segmento de la población ocupada.

Por último, en relación con las implicaciones de nuestra hipótesis, en el largo plazo, Porvenir no debería ser la AFP que más afiliados activos tenga, como ocurre hoy en día, y Colfondos y Horizonte deberían ser las AFP con el menor número de afiliados dada su menor rentabilidad relativa.

Fuente: Superbancaria - cálculos de los autores.

Gráfico 9. Participación en patrimonio total y en el total de afiliados aportantes (2004)

III. Aproximación empírica

La estrategia empírica que vamos a seguir supone la existencia de otras variables que acompañen a la tasa de interés en la explicación de los afiliados activos a las distintas AFP. Como alternativa, vamos a considerar la población ocupada que sirve como variable de escala y es además la fuente natural de los afiliados activos a las AFP, y el valor de los fondos en relación con los afiliados como proxy de otros factores determinantes de la capacidad de cada entidad para atraer potenciales ahorradores.

Siendo clara la hipótesis que deseamos verificar y dado que disponemos de la serie reciente de los afiliados activos a cada una de las AFP, es conveniente plantear un ejercicio panel que nos permita aprovechar toda la información disponible tanto en forma longitudinal como transversal.

Una vez obtenida evidencia que no permite rechazar la hipótesis de que las variables de interés tienen raíz unitaria (ver anexo 1) se establecen distintos modelos panel en los que se somete a prueba la hipótesis de que el número de afiliados activos y la rentabilidad de los portafolios de las AFP están cointegradas.

El segundo grupo, más cercano al procedimiento de Johansen (1991, 1996), incluye las contribuciones de Larsson, Lyhagen y Löthgren (2001) y Groen y Kleibergen (2003), las cuales, en contraste con las metodologías del primer grupo, permiten estimar más de un vector de cointegración.

La metodología de Groen y Kleibergen (2003), GK en lo sucesivo, tiene adicionalmente tres ventajas. En primer lugar, utiliza el método de máxima verosimilitud, el cual, además de sus propiedades asintóticas, permite evaluar diferentes tipos de hipótesis utilizando pruebas de razón de verosimilitud. En segundo término, el modelo de GK permite una retroalimentación instantánea entre los individuos que componen el panel.¹⁸ Finalmente, esta metodología puede ser utilizada para probar la existencia de cointegración panel con parámetros de largo plazo homogéneos combinados con parámetros de corto plazo heterogéneos.

Para ilustrar un poco, supongamos un panel especificado para k variables, N individuos, p rezagos y T observaciones en el tiempo. En estos términos, la metodología GK de cointegración panel supone:

(11)

siendo:

donde ΔY_i,t, Y_i,t-1, ΔY_i,t-1 y ε_i,t son vectores de órdenes 1×k,  _i es una matriz de orden k×k y “_i es una matriz de orden k×pk. El primer componente del lado derecho de (11) representa la dinámica de largo plazo mientras que el segundo componente representa la de corto plazo. En forma compacta, este modelo puede ser escrito como:¹⁹

(12)

donde α_i, β_i, β, son matrices de dimensiones k×r para i = 1,...,N y r representa el número de vectores de cointegración. Bajo los supuestos de que la matriz es diagonal por bloques y de que el rango de cointegración es común,²⁰ GK utilizan pruebas de hipótesis tipo LR para su evaluación.

En la tabla 3 se describen las pruebas donde denota la matriz de rango completo.²¹ La distribución de las estadísticas LR, bajo la hipótesis nula, depende de los componentes determinísticos incluidos en el modelo y presentados en la tabla 2. Al igual que en las metodologías tradicionales, los componentes determinísticos se refieren a la inclusión o no de intercepto y tendencia en el modelo como variables exógenas o dentro de los vectores de cointegración. La información de la tabla 4 también considera si los parámetros β_i son homogéneos o heterogéneos entre individuos.

Para la estimación se asume que el proceso generador de datos es el correspondiente a la ecuación (12) y que el vector de errores U se comporta como un proceso ruido blanco multivariado con distribución normal y matriz de covarianza Ω, U^iid~N(0,Ω). El logaritmo de la función de verosimilitud está dado por:

(13)

GK muestran que el estimador ML es equivalente en términos asintóticos a un estimador GMM. El anexo 3 profundiza en algunos detalles de la metodología de estimación de GK.

IV. Resultados

El primer modelo estimado, que adopta la forma C1 de la tabla 4, incluye además de la rentabilidad, el valor promedio del fondo por afiliado y la población ocupada. La primera variable se deriva directamente del modelo expuesto; la segunda opera como proxy de diversos factores (distintos de la rentabilidad) determinantes de la capacidad de la AFP para incorporar nuevos clientes.²² Finalmente, la población ocupada captura la fuente natural que surte al sistema de cuenta individual como son las personas ocupadas, dependientes e independientes; opera, además, como variable de escala.

Sin embargo, la existencia de dos vectores de cointegración solo se produce cuando se utiliza un nivel de significancia de 1%.²³ Por lo tanto, se llevó a cabo un segundo ejercicio de cointegración panel modificando la medición de la rentabilidad real, ya que en lugar de trabajar con el promedio de 6 meses se utilizó la rentabilidad contemporánea. De igual manera, se dejó de incluir la variable valor promedio del fondo, ya que las pruebas así lo recomendaban; en este caso, los componentes determinísticos del modelo seleccionado solo incluyen constantes dentro del vector de cointegración.

Los resultados aparecen en la tabla 6 en la cual el modelo seleccionado corresponde al C₂ de la tabla 4. De nuevo las pruebas sugieren la existencia de dos vectores de cointegración; la diferencia con respecto al ejercicio de la tabla 5 está en que ahora los coeficientes de ambos vectores de cointegración son significativos y exhiben los signos esperados.

Nota: el período muestral es 2000:1 - 2005:4. La variable correspondiente al logaritmo de los ocupados fue desestacionalizada con X11. Las variables de afiliados activos, valor promedio del fondo y población ocupada están en logaritmos. Entre paréntesis aparece el valor-p asociado a la hipótesis de que el coeficiente es igual a cero. La frecuencia de la información es mensual.

De acuerdo con los resultados de la tabla 6, en el largo plazo, tanto la rentabilidad como los ocupados en la economía aumentan los afiliados activos a las AFP. Cada variable, a su turno, afecta por igual a todas las instituciones; esto es, el coeficiente asociado a la tasa de rentabilidad no cambia de AFP en AFP. Igual sucede con el coeficiente asociado a la población ocupada. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que esta última variable es exógena mientras que la primera no lo es, ya que las AFP están en capacidad de hacer gestión de portafolio para modificar la rentabilidad y, con esta, el número de afiliados aportantes, sujetándose en todo caso a las restricciones que impone la Superintendencia Bancaria.

Nota: la muestra va de 2000:1 a 2005:4. La variable correspondiente al logaritmo de los ocupados fue desestacionalizada con X11. Las variables de afiliados activos y población ocupada están en logaritmos. Entre paréntesis aparece el valor-p asociado a la hipótesis de que el coeficiente es igual a cero. La frecuencia de la información es mensual.

En síntesis, los resultados sugieren que, dada la estrategia de cada AFP, el número de afiliados a los distintos fondos que se encuentran activos están asociados en el largo plazo con la tasa de retorno real que obtenga cada AFP y la población ocupada del país. Este resultado se obtiene a pesar de que la gran masa de afiliados (más del 80%) cotizan sobre la base de menos de dos salarios mínimos y sería de esperar que estas personas estén menos atentos a la evolución de la tasa de retorno de las AFP, ya que el Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad garantiza una pensión de vejez que como mínimo debe ser el salario mínimo.

Dos implicaciones inmediatas de nuestros resultados son las siguientes. En primer lugar, una manera de conseguir que las entidades del Régimen de Ahorro Individual logren atraer más ahorradores es permitiendo mayores libertades a las AFP para elegir los activos que van a conformar sus portafolios de manera que la rentabilidad real que se pueda obtener sea atractiva para los futuros pensionados, ya que para ellos la tasa de retorno real es decisiva. La segunda tiene que ver con modificaciones al esquema de incentivos que hagan, de nuevo, aumentar la rentabilidad que pueden ofrecer las AFP. Esto se podría lograr haciendo que, por ejemplo, las comisiones de administración, a las que nos referíamos en la introducción, dependan, al menos parcialmente, de los rendimientos que logren las AFP para los cuenta-habientes y no se cobren únicamente sobre los aportes mensuales.

Conclusiones

Siguiendo un enfoque de cointegración panel (Groen y Kleibergen, 2003) en el que se utiliza la información de cada AFP entre 1998 y 2005, se estiman dos modelos cada uno con una medida distinta de la tasa de retorno real.

La evidencia que se desprende de la mejor especificación sugiere que el número de cotizantes (afiliados aportantes o activos) está cointegrado con la tasa de retorno real de los portafolios y con la población ocupada, variable ésta que constituye la fuente natural de los cotizantes al sistema privado de pensiones, en el cual se concentra nuestro trabajo, y que opera además como variable de escala. Los resultados no permiten rechazar la hipótesis de que los coeficientes asociados a la tasa de retorno y a la población ocupada son iguales para todas las AFP. El valor promedio del fondo, utilizado como proxy de otras variables como la capacidad que tiene cada administradora de difundir su producto y de contactar potenciales afiliados, no resultó significativo.

Dado el resultado de que la rentabilidad mínima afecta la rentabilidad de las AFP, la implicación de este ejercicio es que una manera de aumentar el número de afiliados activos al sistema de ahorro individual es liberando a las AFP de generar retornos mínimos, para que puedan cautivar más ahorradores y se estimule la competencia, y de regulaciones que impidan maximizar el retorno dado un nivel de riesgo permisible. Otra manera de obtener una mayor rentabilidad es modificando la forma en que cobran las comisiones de administración: en lugar de ser un porcentaje sobre los aportes mensuales como prescriben las normas actualmente, deberían ser una fracción del retorno que obtengan sobre el portafolio.

Anexos

Anexo 1. Pruebas de raíz unitaria para datos panel

1. Prueba de raíz unitaria para datos panel de Hadri (2000).

Hadri (2000) propone una prueba basada en una generalización de la prueba KPSS de Kwiatkowski et al. (1992), en la cual se considera el siguiente proceso para la serie y_it:

y_i,t = r_i,t + ε_i,t (A1.1)

r_i,t = r_i,t-1 + u_i,t (A1.2)

donde i=1,...,N; t=1,...,T; ε_it y u_it son mutuamente independientes tales que ε^iid→N(0,σ_ε²) u_it^iid→N(0,σ_u²).

Al igual que Kwiatkowski et al. (1992), Hadri (2000) considera la posibilidad de incluir una tendencia determinística; en este caso la ecuación (A1.1) es reemplazada por:

La hipótesis nula de esta prueba, H₀: σ_u² = 0, implica que las series {y_it} i = 1,...,N son estacionarias. Hadri (2000) propone la siguiente estadística LM para evaluar esta prueba:

LM_j = (1/N) ∑_i=1^N KPSS_j,i ; j =μ,τ (A1.4)

donde KPSS_j,i representa la estadística KPSS, no panel, para la variable y del individuo i. El primer subíndice indica el tipo de componente determinístico utilizado, KPSS_μ,i, está asociado al modelo (A1.1) y ,KPSS_τ,i al modelo (A1.3).

2. Prueba de raíz unitaria para datos panel de Pesaran (2003)

La literatura tradicional sobre pruebas de raíz unitaria para datos panel, como Im, Pesaran y Shin (2003), Maddala y Wu (1999) y Hadri (2000), entre otros, supone que las series de tiempo individuales del panel están independientemente distribuidas entre ellas. Pesaran (2003) utiliza una metodología que relaja este supuesto. Este autor propone una estadística basada en regresiones similares a las de Dickey y Fuller, en contexto panel, adicionando rezagos de promedios seccionales cruzados de los niveles y primeras diferencias de las series individuales. Estas regresiones son de la siguiente forma:

donde y φ_i representa componentes determinísticos, que al igual que en la prueba de Dickey y Fuller pueden ser: ninguno, constante o constante y tendencia.

Pesaran (2003) evalúa la existencia de raíz unitaria en la serie {}ityen un contexto de datos panel con N individuos y T observaciones en el tiempo, (H₀: Y_it ~ I(1), i = 1,...,N), utilizando la siguiente estadística:

donde Φ(.) es la función de distribución de una variable aleatoria normal estándar, ε es un número positivo lo suficientemente pequeño (por ejemplo, 1x10⁶) y b_i corresponde al coeficiente especificado en (A1.5).

Los valores críticos de la estadística CIPS al igual que los valores esperados y varianzas de CADF son tabulados en Pesaran (2003). Estos valores, [()ECADF,()VCADF] y los valores críticos de CIPS, dependen de los componentes determinísticos incluidos en la prueba, y de los valores de N y T.

Anexo 2. Distribución de las estadísticas LR de las pruebas de rango para la cointegración panel de Groen y Kleibergen

En la tabla A2.1 se presentan las distribuciones límite de las estadísticas consideradas en la tabla 1 del texto para los diferentes componentes determinísticos considerados por Groen y Kleibergen (2003), GK. Estos resultados generalizan los de Johansen (1991) para el caso de cointegración panel.²⁴

En la tabla A2.1, la distribución límite que aparece en la última columna de la derecha se obtiene como:

B_k-r,i es un movimiento Browniano de dimensión (k-r) para el individuo i con una matriz de covarianzas igual a la identidad.

1. Metodología de Doornik (1998)

En el caso de cointegración individual (no panel), Doornik (1998) aproxima las distribuciones de las estadísticas LR, asociadas a las pruebas de rango de cointegración de Johansen (1991), mediante una distribución Gamma con el mismo valor esperado y varianza de las variables aleatorias cuya distribución se desea aproximar. Por lo tanto, los valores críticos de significancia o valores-p asociados a la distribución de estas estadísticas son generados a partir de los valores-p de una variable aleatoria que sigue dicha distribución Gamma. Mediante simulaciones Monte Carlo, Doornik (1998) encuentra las siguientes aproximaciones para los valores esperados y varianzas asociados a la distribución de las estadísticas LR (denotadas como Z) de las pruebas de rango de cointegración:

donde:

y m corresponde al número de variables endógenas (k) menos el número de vectores de cointegración (r), H_z, H_c, H_lc y H_l indican los componentes determinísticos incluidos en el modelo VEC.²⁵

Debido a que la prueba de Doornik se basa en la comparación de (A2.1) y (A2.2) con los valores esperados y varianzas de una variable aleatoria con distribución Gamma, es conveniente recordar los dos primeros momentos de esta distribución. Una variable aleatoria X con distribución Gamma tiene la siguiente función de distribución con parámetros a y b:

a = E(LR)/V(LR) , b = E²(LR)/V(LR)

En conclusión, la prueba de cointegración para modelos individuales (no panel) está basada en la estadística de la traza propuesta por Johansen. Doornik (1998) sugiere una aproximación a la distribución de estas estadísticas LR mediante el uso de una distribución Gamma con el valor esperado y varianza especificados en (A2.1) y (A2.2).

En la tabla A2.2 se presentan las aproximaciones de las distribuciones de las estadísticas LR utilizadas en la cointegración panel (tabla A2.1). Groen (2002) propone estas aproximaciones basado en los resultados de Doornik (1998).

Como se mencionó en el texto principal, la ecuación (12) en forma compacta se puede escribir como:

con:

GK muestran que el estimador ML es equivalente en términos asintóticos a un estimador GMM con la siguiente función objetivo:

Donde:²⁸

y e_i es el i-ésimo vector unitario de dimensión N.

Para el modelo B₂ con δ_2,i = 0, especificado en la tabla 2,²⁹ GK sugieren como método de estimación el procedimiento iterativo que se describe a continuación:

0. Construcción de estimaciones iniciales de © y α's.

Un estimador inicial y consistente de © puede ser obtenido a partir de la siguiente expresión: ©⁰( _B2) = (©_j⁰) i,j = 1,...,N

Partiendo de estas estimaciones por individuo en forma y estableciendo normalizaciones sobre los vectores de cointegración, también se pueden obtener estimaciones iniciales de α₁,...., α_N.

1. En esta etapa se construye un estimador para los parámetros β's, el cual corresponde al argumento que minimiza la función objetivo GMM, condicionado a las estimaciones de la etapa anterior:

donde:

l_T= vector de unos de dimensión T y 0_A es un vector de ceros de dimensión A.

2. Construcción de un estimador de © dados los estimadores de α's y β's anteriores:

donde ˆΓ corresponde al estimador OLS de la regresión de (ΔY - Y_-1Π_B2) contra W,  ˆΠ_B2 es una función de α's y β's de las etapas anteriores.

donde:

4. Cuando la función objetivo y las estimaciones no han convergido se retorna a la etapa 1.

Para los otros tipos de modelos especificados en la tabla 2 del texto, también se utiliza el anterior procedimiento iterativo de estimación. Sin embargo, las matrices de diseño y las matrices E_SURE y Φ_B,SURE deben ser reemplazadas por unas apropiadas para estos casos.

Notas

¹ Para una descripción del sistema chileno véase Arenas de Mesa et al. (2004). El sistema colombiano de pensiones también ha sido analizado ampliamente. Véanse, por ejemplo, Clavijo (2002), Echeverry et al. (2001) y Bonilla (2001). Más recientemente, Jara et al. (2006) estudian la eficiencia de los portafolios de las AFP. Sobre las estructuras de los sistemas de pensiones en general y sus implicaciones véase Barr (2000). Casos como el español han sido ampliamente analizados, véanse por ejemplo Conde-Ruiz y Alonso (2004), Boldrín et al. (2000), etc.

² Además de las entidades, el régimen lo conforman normas y procedimientos.

³ Además de las entidades, el régimen lo conforman normas y procedimientos.

⁴ Los afiliados que no realizan ninguna cotización durante seis meses se consideran afiliados inactivos. El desempleo, la informalidad y los cambios en la contratación laboral son las principales razones para la existencia de inactivos (El Tiempo, Septiembre 28 de 2005). A mediados de 2004 el Instituto de Seguros Sociales tenía 2 millones de afiliados activos aproximadamente.

⁶ Lo sería si los agentes decidieran cada período la proporción de su ingreso corriente (transitorio y permanente) que desean ahorrar. Esto no quiere decir que la existencia de un ahorro obligatorio para la vejez sea una política equivocada; simplemente, que tiene ciertas características de unilateralidad por parte del planificador central quien no tiene en cuenta la tasa de impaciencia de los agentes, su grado de aversión al riesgo, su pesimismo con respecto al futuro, ni otras características de sus gustos y preferencias.

⁷ Es importante tener en cuenta que se trata de un ahorro cuya gestión de riesgo por parte de las AFP, así como el retorno obtenido por estas, está sometido a la regulación y vigilancia de la Superintendencia Bancaria.

⁸ Esto es un argumento a favor de la existencia de un mecanismo de ahorro forzoso, como las pensiones, para financiar el consumo en la edad adulta. Según Flórez (2006), entre 1996 y 2000 las tasas de ahorro de Japón, los países de la zona Euro y Estados Unidos fueron de 30%, 21% y 18%, respectivamente. Entre 2001 y 2005, las tasas de ahorro fueron de 27%, 21% y 15%, respectivamente.

⁹ Sánchez (1998) y GRECO (2002) contienen estudios recientes sobre la evolución del ahorro y sus determinantes en el mediano y largo plazos.

¹⁰ De inmediato surge la pregunta sobre el grado de representatividad que esta estructura salarial tiene del mercado laboral colombiano. No obstante, estas cifras deben ser analizadas con cautela ya que puede haber algo estratégico en el ingreso base de cotización que declaran algunas personas.

¹¹ Sin embargo, el nivel de detalle de la información aún no permite hacer análisis más profundos ni verificar otro tipo de hipótesis relacionadas con el grado de aversión al riesgo por género, rango de edad, nivel salarial, y otras características de los afiliados. Tampoco permite modelar algún tipo de heterogeneidad ni la estimación de la reacción ante diferenciales sostenidos de la tasa de rentabilidad real entre los fondos para las categorías mencionadas, etc. La Superintendencia Bancaria y Asofondos, entidad que agremia las AFP, deberían buscar un mayor apoyo de estas para generar información a nivel de ahorrador.

¹² Las pruebas de raíz unitaria indican que estas series son I(1). Sin embargo, las pruebas de cointegración tanto panel como individuales no sugieren la existencia clara de comovimientos entre las rentabilidades de las AFP y la rentabilidad mínima o la rentabilidad del portafolio de referencia. Por lo tanto, el modelo es estimado sobre las diferencias de las series.

¹³ En esta exposición suponemos la existencia de solo dos AFP por conveniencia.

¹⁴ Para Posada (1998) la tasa de interés real de equilibrio de largo plazo en Colombia se ubicó más o menos entre 3% y 5% hasta comienzos de los ochentas y, adicionada en un margen, ha sido muy similar a la de Estados Unidos. Flórez (2006) calcula que para el periodo 1996-2000 la tasa de interés real para las economías desarrolladas y emergentes es de 3,2% y 1,8%, respectivamente. Para el período 2001-2005 las tasas se ubicaron en 2,1% y 4,0%, respectivamente.

¹⁶ A este comportamiento escapan el fondo administrado por Protección, el cual creció en forma persistente desde 1999, y Colfondos que tuvo una destorcida menos fuerte.

¹⁷ La explicación racional a dicha estrategia, de llegar a ser cierta, es que posiblemente Skandia juzga costoso administrar portafolios pertenecientes a personas de bajos salarios y por esta razón solo se concentra en clientes de salarios altos.

¹⁸ Este efecto se captura mediante la matriz de covarianzas de los errores del modelo, la cual para cada observación en el tiempo no es una matriz diagonal.

¹⁹ La especificación de las matrices y vectores de la ecuación (12) se encuentran en el anexo 3.

²⁰ Rango ( Π_i) = r, para i = 1,..., N.

²¹ El Anexo 2 contiene las distribuciones límite de las estadísticas de la tabla 3.

²² Personas vinculadas al sector han expresado opiniones en el sentido de que, más que la rentabilidad que ofrezca el fondo, la variación en el número de afiliados está determinada por políticas de mercadeo y publicidad, segmentos de interés y estrategias de posicionamiento

²³ Adicionalmente el coeficiente del valor promedio no es significativo en el vector de cointegración 2.

²⁴ GK prueban que la distribución asintótica de las pruebas LR asociadas al rango de cointegración panel con diferentes componentes determinísticos y diferentes grados de heterogeneidad de los β's, equivale a la suma de N distribuciones límite de la estadística de la traza de Johansen (1991).

²⁶ El valor esperado y la varianza de las trazas de 1Q y 2Q son tomados de los resultados especificados en (A2.1) y (A2.2) para los componentes determinísticos correspondientes; r es el rango de cointegración, Nes número de individuos y k corresponde al número de variables incluidas en el modelo.

²⁷ En la ecuación (A3.2), el símbolo — denota el producto Kronecker. El operador vec transforma una matriz en un vector, apilando las columnas de una matriz una debajo de otra.

²⁸ Adicionalmente, GK muestran que la expresión (A3.2) puede ser expresada en términos de la función objetivo (A3.3). La expresión (A3.3) corresponde a la forma general de la función objetivo, por lo tanto, la inclusión de componentes determinísticos puede variar las matrices de diseño de este modelo. Más adelante se muestran los cambios para el modelo B2 de la tabla 2 del texto.

²⁹ En el modelo B₂ la función objetivo GMM es igual a la especificada en (A3.3), en la cual se adiciona el componente determinístico correspondiente. Por lo tanto, se debe reemplazar la matriz de Y_-1 por Z_-1 = [Y_-1 l], donde ι representa un vector de unos de dimensión T. la matriz  Π_B2 es la siguiente:

con μ_i, i = 1,...,N un vector fila de dimensión r.

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