Dorian Luís Linero Segrera1, Javier Oliver2 y Alfredo E. Huespe3
1 Ingeniero Civil. M.Sc., en Estructuras. Ph.d., en Análisis Estructural, Universidad Politécnica de Cataluña, España. Profesor Asociado, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. dllineros@unal.edu.co 2 Ingeniero Civil. Ph.D., en Ingeniería Civil, Universidad Politécnica de Cataluña, España. Profesor Titular, Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras, Universidad Politécnica de Cataluña. España. oliver@cimne.upc.edu3 Ingeniero Mecánico Electricista. M.Sc., en Ciencias de la Ingeniería. Ph.D., en Ciencias de la Ingería, Universidad Federal de Rio de Janeiro, Brasil. Investigador del CIMEC/Intec – CONICET, Santa Fe, Argentina. ahuespe@intec.unl.edu.ar
RESUMEN
En general, las estructuras de concreto reforzado como vigas, columnas y muros están conformadas por entramados complejos de barras de acero embebidas en una matriz de concreto, las cuales exhiben múltiples fisuras ante la aplicación de cargas externas elevadas. Este artículo presenta la formulación de un modelo numérico cuyo objetivo es describir el proceso de fractura en elementos de concreto reforzado a partir de la fracción volumétrica del concreto y del acero. El modelo utiliza un campo enriquecido de la deformación para describir la formación y propagación de fisuras en un material compuesto, tal como lo establecen la metodología de discontinuidad es fuertes de continuo y la teoría de mezclas. El material compuesto está constituido por una matriz de concreto y uno o dos paquetes de barras de acero ortogonales entre sí. El acero y el concreto se representan con modelos de plasticidad unidimensional y de daño escalar con tracción y compresión diferenciada, respectivamente. La acción pasador y los efectos del deslizamiento entre las barras y la matriz, se describen con modelos adicionales que relacionan el esfuerzo y la deformación de los materiales componentes. Finalmente, se concluye que el modelo propuesto se puede implementar con facilidad en el método de los elementos finitos, dado que permanecen muchas características del procedimiento numérico no lineal convencional. Asimismo, el modelo permite analizar el problema en la escala macroscópica, lo cual elude la construcción de mallas de elementos finitos de cada material componente y de sus efectos de interacción, reduciendo así el costo computacional.
Palabras clave: mecánica computacional, mecánica de la fractura, discontinuidades fuertes, teoría de mezclas, concreto reforzado.
Reinforced concrete structures generally refers to beams, columns and walls which are constituted by complex lattices of steel bars embedded in a concrete matrix, exhibiting multiple crack s due to high external loads. This paper presents the formulation of a numerical model aimed at describing the fracture process in reinforced concrete, from the volumetric ratio of concrete and steel. Crack formation and propagation in a composite material is described in the model by an enhanced strain field, such as that established in the continuum strong discontinuity approach and mixture theory. The composite material is constituted by a concrete matrix and one or two steel bar orthogonal packages. The steel and concrete are represented by a one-dimensional plasticity model and a scalar damage model having different tension and compression strength, respectively. The dowel action and the bond-slip effects between the bars and the matrix are described with additional models relating component material stress and strain. It is concluded that the proposed model can easily be implemented in the finite element method, due to several conventional nonlinear numerical process characteristics which remain. The model would also allow the problem to be analysed at macroscopic scale, thereby avoiding a finite element mesh having to be constructed for each component material and its interaction effects and reducing computational costs.
Keywords: computational mechanics, fracture mechanics, strong discontinuity, mixture theory, reinforced concrete.
Recibido: febrero 19 de 2009 Aceptado: junio 11 de 2010
Introducción
El comportamiento del concreto reforzado durante el proceso de fractura se puede predecir mediante un modelo numérico capaz de capturar la formación y propagación de fisuras en todos los puntos del sólido, a partir de las propiedades del concreto simple y del acero de refuerzo. La implementación de dicho modelo en el método de los elementos finitos permite representar la geometría y el régimen de carga de cualquier miembro estructural.
La simulación numérica de estructuras de concreto reforzado se puede hacer a diferentes escalas. En la escala mesoscópica, la malla de elementos finitos representa cada uno de los materiales por separado, incluyendo elementos especiales que describen la interacción entre concreto y acero. En general este tipo de análisis demanda mallas muy finas y en consecuencia un alto costo computacional. En cambio, en la escala macroscópica cada punto material en el interior de un elemento finito responde al modelo constitutivo de un material compuesto que representa el comportamiento de un grupo de barras de acero embebidas en una matriz de concreto.
Muchos modelos describen adecuadamente el comportamiento del concreto reforzado (Feenstra y de Borst, 1995; Pietruszczak y Xu, 1995; Belletti, Cerioni et al., 2001; Jendele, Cervenka et al., 2001; Luccioni y López, 2002; Belletti, Bernardi et al., 2003; Pietruszczak y Winnicki, 2003; Luccioni, López et al., 2005; Yu y Ruiz, 2005; Ruiz, Carmona et al., 2006; Menin, Trautwein et al., 2009; Shi, 2009); sin embargo, muestran las siguientes limitaciones: 1) prescinden de un algoritmo que describa la trayectoria de las fisuras independientemente de la orientación de la malla de elementos finitos, 2) pierden el contexto de la mecánica del medio continuo al comienzo del proceso de fractura, recurriendo a relaciones adicionales ad hoc que definan el comportamiento mecánico entre las caras de una fisura, 3) a diferencia del análisis de bifurcación material, los criterios utilizados para establecer la formación de una fisura son independientes de la condición de existencia del salto en el desplazamiento, 4) en algunos casos se considera un estado de fisuración distribuida a partir del régimen inelástico del concreto, donde las fisuras mantienen una separación constante evaluada de forma analítica, limitando la posibilidad de formación de una macrofisura localizada, y 5) en otros modelos se requieren relaciones tracción-salto explícitas en la matriz de concreto y en las barras de acero.
La formulación presentada en este trabajo pretende superar las limitaciones anteriores mediante un modelo macroscópico homogeneizado del concreto reforzado basado en la teoría de mezclas (Truesdell y Toupin, 1960; Oller, 2003), que describa la formación de fisuras conservando el contexto de la mecánica del medio continuo y aplicando la metodología de discontinuidades fuertes de continuo (CSDA) (Oliver, 1996a; Oliver, 2000; Oliver y Huespe, 2004a; Oliver, Huespe et al., 2006; Linero, Oliver et al., 2007; Oliver, Linero et al., 2008).
Modelos constitutivos de los materiales componentes
]]> El comportamiento de la matriz de concreto se describe mediante un modelo de daño escalar isótropo (Lemaitre, 1992; Lemaitre y Desmorat, 2005), cuya resistencia a tracción sctes diferente de su resistencia a compresión scc , como lo muestra la Figura 1a. En particular, el criterio de daño del modelo constitutivo compara la variable de evolución con una norma especial del campo de la deformación, la cual ha sido modificada por un factor asociado con el signo de los esfuerzos principales efectivos (Oliver et al., 1990). La ecuación constitutiva tangente del modelo que representa al concreto simple es de la forma:
siendo e•cy s•clas tasas del tensor de deformación y de esfuerzo, respectivamente. El tensor constitutivo tangente Cctges función del estado de deformación ecy de la historia de carga indicada por las variables internas del modelo de daño ac.
El comportamiento axial de las barras de acero embebidas en la matriz de concreto se representa mediante el modelo de barra deslizante, que combina un modelo unidimensional isótropo de plasticidad con ablandamiento (Simó y Hughes, 1998; de Souza, Peric et al., 2008) y una condición de adherencia entre los resaltos de las barras de acero y el concreto circundante. Las propiedades mecánicas que describen al material son el módulo de Young Ea, el esfuerzo de fluencia a tracción o a compresión syy el módulo de endurecimiento Ha. Se define como sadhal esfuerzo del acero cuando se pierde la adherencia con el concreto obtenido de ensayos de arrancamiento (Gambarova, Rosati et al., 1989; Hutchinson y Jensen, 1990; Naaman, Namur et al., 1991).
Si la adherencia es perfecta el modelo de barra deslizante coincide con el modelo de plasticidad con ablandamiento, cuya etapa inelástica comienza después de alcanzado el esfuerzo de fluencia del acero, es decir, para sy< sadh , como lo muestra la Figura 1b. En cambio, si la adherencia se pierde antes de alcanzar el esfuerzo de fluencia, es decir, si sy> sadh , el modelo de barra deslizante indica que el régimen elástico está limitado por el esfuerzo sadh, seguido de una etapa de plasticidad perfecta asociada al deslizamiento de las barras en la matriz (Figura 1c).
La ecuación constitutiva tangente del modelo de barra deslizante relaciona las tasas de esfuerzo normal s•ay de deformación longitudinal e•aen la dirección de la barra de la forma:
Después de producirse una fisura de poca apertura en el concreto, la fuerza cortante actuante es resistida principalmente por la capacidad del acero de refuerzo a corte directo en las caras de la fisura (Park y Paulay, 1975; Nawy, 2008). Este fenómeno se denomina acción pasador y se representa mediante un modelo de plasticidad escalar con ablandamiento, el cual relaciona la tasa de esfuerzo cortante t•ay la tasa de deformación angular ingenieril g•aen la sección transversal de las barras, como lo indica la ecuación constitutiva tangente de la forma:
En la Figura 1d se observa que el módulo tangente a cortante Gatges igual al módulo de elasticidad al corte del acero Gaantes de alcanzar el esfuerzo de fluencia a cortante ty. La siguiente etapa estará definida por el régimen inelástico del acero.
Modelo constitutivo del concreto reforzado como material compuesto
Cada punto del sólido se compone de dos grupos de barras de acero orientadas en las direcciones r y s, respectivamente, embebidos en una matriz de concreto, como lo señala la Figura 2. La teoría de mezclas establece que cada volumen infinitesimal de material compuesto es la suma de las sustancias que lo conforman (Truesdell y Toupin, 1960; Oller, 2003). En un sistema en paralelo, la contribución de cada componente al esfuerzo del compuesto es función de su volumen de participación, a la vez que la deformación es común en todos ellos. Sin embargo, es necesario evaluar la deformación en una dirección específica cuando se trata de definir el comportamiento unidimensional de las barras.
La compatibilidad entre el tensor de deformaciones del material compuesto y las deformaciones de cada material componente está definida mediante las siguientes hipótesis: 1) el tensor de deformaciones en la matriz eces igual al tensor de deformaciones del material compuesto e, 2) la deformación longitudinal earresultante del comportamiento axial de las barras en dirección r es igual a la componente longitudinal en dirección r del tensor de deformaciones del material compuesto err, 3) la deformación longitudinal easresultante del comportamiento axial de las barras en dirección s es igual a la componente longitudinal en dirección s del tensor de deformaciones del material compuesto ess, y 4) dada la capacidad a cortante de las barras cuando cruzan una fisura, se puede suponer que la deformación angular ingenieril de las barras gaes igual a la componente de deformación angular ingenieril del material compuesto en el plano rs indicada como grs.
Derivando en el tiempo las condiciones anteriores de compatibilidad se obtienen las siguientes expresiones:
Mediante el modelo de daño isótropo se obtiene la tasa del tensor de esfuerzo en la matriz de concreto s•c. Por otro lado, aplicando el modelo de barra deslizante se calculan por separado las tasas de esfuerzo normal s•ary s•asde las barras de acero orientadas en dirección r y s, respectivamente. El efecto de la acción pasador se refleja en la tasa de esfuerzo cortante de las barras de acero t•aobtenido del modelo señalado anteriormente.
La contribución de cada constituyente en el comportamiento del material compuesto está definida por el coeficiente de participación volumétrica, el cual corresponde a la fracción de volumen del material componente con respecto al volumen total del material compuesto. El coeficiente de participación volumétrica de la matriz de concreto se designa como kc, mientras que kary kasson los coeficientes de participación volumétrica de las barras de acero orientadas en la dirección r y s, respectivamente. Siendo el volumen del material compuesto la suma de sus partes se debe cumplir que kc+kar+kas=1.
La tasa del tensor de esfuerzos del material compuesto corresponde a la suma de los tensores de esfuerzos de la matriz de concreto y de las barras de acero multiplicados por sus respectivos coeficientes de participación volumétrica, así:
Sustituyendo las ecuaciones de compatibilidad de las tasas de deformación de cada material componente en su respectiva ecuación constitutiva tangente, y reemplazando el resultado en la expresión anterior, se obtiene la ecuación constitutiva tangente del material compuesto de la forma:
siendo Ctgel tensor constitutivo tangente igual a:
(10)El procedimiento anterior, resumido en la Figura 3, define al modelo constitutivo del concreto reforzado como un sistema en paralelo donde cada material constituyente tiene un modelo particular.
]]>
Descripción cinemática de materiales compuestos mediante la CSDA en el medio continuo
La construcción de un modelo constitutivo para el concreto reforzado implica una cinemática en la escala del material compuesto de tal forma que las tasas del vector de desplazamientos y en consecuencia del tensor de deformaciones son campos asociados al material compuesto. Lo anterior permite aplicar la descripción cinemática dada por la metodología de discontinuidades fuertes de continuo (CSDA) (Oliver, 1996b; Oliver y Huespe, 2004b; Oliver y Huespe, 2004a; Oliver, Huespe et al., 2006), para predecir la aparición y propagación de las fisuras en el sólido.
En esta metodología se establece la existencia de un salto en el campo del desplazamiento a través de la superficie de fallo [|u|], capaz de generar valores no acotados (en sentido distribucional) en el campo de las deformaciones.
Sea un sólido Wque exhibe una discontinuidad fuerte sobre la superficie S de normal n, la cual divide al cuerpo en los dominios W+y W-, como lo muestra la Figura 2a. Se define el campo de la tasa de desplazamiento en un punto x para un instante t como:
donde u•es la parte continua del salto de la tasa de desplazamiento y [|u•|]es el salto de la tasa de desplazamiento en la discontinuidad.
La función elemental de salto unitario en el continuo Ms(x)se calcula como la diferencia entre la función de Heaviside Hs(x)y la función continua j(x)definida en una pequeña banda Whcontenida en Scomo se indica en la Figura 4.
El campo de la tasa de deformaciones se evalúa aplicando el operador diferencial simétrico sobre el campo de la tasa de desplazamientos, de tal forma que la deformación se puede dividir en una parte compatible en función del desplazamiento en el continuo y una parte mejorada en términos del salto del desplazamiento.
]]> Dado que el gradiente de la función de Heaviside produce un valor no acotado igual a DHs = dsn, la tasa de deformación se puede expresar como la suma de una parte regular o acotada de la forma:
más una parte singular o no acotada igual a (dsn X [|u•|]). La función delta de Dirac dses aproximadamente igual a una función regularizada dhsaplicada en la banda Whde ancho h≅0que está contenida en la discontinuidad S. Tal función regularizada se expresa como:
siendo μsuna función de colocación sobre Wh . De acuerdo a lo anterior, la tasa de deformación del material compuesto es igual a:
Antes de la deformación de una discontinuidad fuerte, el ancho de la banda h adopta valores pequeños diferentes de cero. Esta etapa previa, denominada discontinuidad débil, muestra un valor acotado de la tasa de deformación de la forma:
Análisis de bifurcación material
En los ensayos donde el refuerzo está repartido uniformemente en toda la probeta se distinguen las siguientes dos etapas posteriores al régimen elástico del concreto: una primera etapa, de fisuración distribuida bastante prolongada en virtud de la capacidad del acero y de la adherencia entre el concreto y el acero, en la que se presentan muchas fisuras de poca apertura y de separación constante; y una segunda fase de fallo discontinuo o localizado, presente cuando la apertura de pocas fisuras se impone sobre las demás y decae la capacidad estructural. En el contexto de la mecánica del continuo, el análisis de bifurcación material permite determinar el comienzo y la dirección de las fisuras en la etapa de fractura localizada.
]]> En un punto material la tasa del campo del desplazamiento, la deformación y el esfuerzo están definidos en la escala del compuesto. Esto permite suponer que el análisis de bifurcación utilizado en materiales homogéneos (Rice, 1976; Runesson et al., 1991) es aplicable al modelo de concreto reforzado presentado (Linero et al., 2009).Considerando que el tensor constitutivo tangente del compuesto es igual en los dominios W+y W-, y sustituyendo la ecuación constitutiva del concreto reforzado en la condición de continuidad de tracciones, se obtiene que:
De acuerdo con la cinemática descrita, un salto en el campo de la tasa de desplazamiento diferente de cero [|u•|]≠0, es una condición suficiente para la existencia de un modo de discontinuidad fuerte. Por lo tanto, como lo establece la ecuación anterior, el ten-sor de localización Qtg(t,n)debe ser nulo en el instante de bifurcación t=tBy en la dirección normal a la discontinuidad n=nB, de tal forma que:
Conclusiones
La formulación de un modelo constitutivo que describe directamente el campo de deformación y de esfuerzo en un punto de material compuesto tipo concreto reforzado, ofrece dos ventajas importantes. Por un lado, facilita la implementación en el método de los elementos finitos, dado que permanecen muchas características del procedimiento numérico convencional. Asimismo, permite el análisis del problema en la escala de estructura o macroscópica, con lo que se elude la construcción de mallas de elementos finitos de cada material componente y de sus efectos de interacción, evitando así un alto costo computacional.
La metodología de discontinuidades fuertes de continuo puede aplicarse a materiales reforzados con fibras largas si se considera un campo común de deformaciones como lo establece la teoría de mezclas. La formulación presentada conserva el contexto de la mecánica del medio continuo, a pesar de que cada punto material muestra un carácter discontinuo debido a la formación de fisuras y heterogéneo por las diferencias mecánicas entre el concreto y el acero.
El modelo de barra deslizante considera el comportamiento mecánico de la barra y la diferencia entre las deformaciones de la matriz de concreto y de las barras de acero causada por el deslizamiento entre ambos materiales. Tal modelo conserva la compatibilidad de deformaciones de los materiales componentes como hipótesis básica de la teoría de mezclas.
La acción pasador, definida como la capacidad a cortante de las barras de refuerzo que atraviesan una fisura, se introduce en la formulación mediante una ley de comportamiento unidimensional a cortante del acero, caracterizado por las propiedades mecánicas del material y geométricas de la sección transversal de las barras.
]]> Con este modelo se puede simular numéricamente el proceso de fractura en elementos estructurales de concreto reforzado, principalmente cuando la densidad del refuerzo dificulta la modelación de cada barra, como en muros de cortante, vigas altas, placas, etcétera.Agradecimientos
Los autores agradecen al Ministerio de Ciencia y Tecnología de España por la financiación de los proyectos BIA2005-09250-C03-03 y BIA2004-02080. En particular, el primer autor agradece a la Dirección Nacional de Investigación de la Universidad Nacional de Colombia por el apoyo recibido.
Nomenclatura
Cctg : Tensor constitutivo tangente del concreto simple
Ctg: Tensor constitutivo tangente del concreto reforzado
ds,dsh: Función delta de Dirac sin regularizar y regularizada al rededor de la discontinuidad S, respectivamente
e.rr, e.ss,g.rs: :Componentes de la tasa del tensor, deformadión del concreto reforzado en el plano rs, en notación ingenieril.
err, ess,g.rs: Componentes del tensor de deformación del concreto reforzado en el plano rs, en notación ingenieril.
ear,e.ar: Deformación longitudinal y tasa de la deformación longitudinal en las barras de acero orientadas en la dirección r.
]]> eas,e.as :Deformación longitudinal y tasa de la deformación longitudinal en las barras de acero orientadas en la dirección s.eap,aa : Deformación plástica y variables internas del modelo de barra deslizante
Ea, Eatg : Módulo de elasticidad inicial y tangente del acero deacuerdo con el modelo de barra deslizante
e-. : Parte regular de la tasa de deformación del concreto reforzado
e.a : Tasa de deformación longitudinal en el acero de acuerdo con el modelo de barra de barra deslizante
e.c: Tasa del tensor deformación del concreto simple
e,e. : Tensor deformación y tasa del tensor deformación del concreto reforzado
ga,g.a: Deformación angulary tasa de la deformación angular ingenieril en el acero
j: Función contínua definida en uan banda en el interior de la discontinuidad S
Ga, Gatg
: Módulo de elasticidad a cortante inicial y tangente de acero ]]> Ha: Módulo de endurecimiento del modelo de plasticidad aplicado al acerokc,kar,kas : Coheficiente de participación volumétrica de la matriz de concreto, las barras de acero en dirección r y las barras de acero en dirección s, respectivamente.
Ms, Hs: Función elemental del salto unitario y función de Heaviside
ms: Función de colocación sobre Wh
n : Vector unitario normal a la superficie de discontinuidad S
Wh: Barda al rededor de la discontinuidad S de ancho h
W: Dominio total de un sólido
W+, W-: Partes del dominio total de un sólido divididas por la superficie de discontinuidad S
Qtg(tB,nB): Tensor de localización del concreto reforzdo evaluado en el instante de bifurcación y en la dirección normal a la de la discuntinuidad
r: Vector unitario que indica la dirección del primer paquete de barras paralelas
]]> sy: Esfuerzo de fluencia del acero a tracción o a compresiónsadh: Esfuerzo en el acero cuando se pierde la adherencia con el concreto
stc,scc: Resistencia del concreto simple a tracción o a compresión respectivamente
S: Superficie de discontinuidad fuerte
s.ar,s.as : Tasa de esfuerzo normal en las barras de acero orientadas en dirección r y en la dirección s respectivamente
s.a: Tasa de esfuerzo normal en el acero de acuerdo con el modelod e barra deslizante
sc: Tasa del tensor esfuerzo del concreto simple
s,s.: Tensor del esfuerzo y tasa del tensor del esfuerzo en el concreto reforzado
s: Vector unitario que indica la dirección del segundo paquete de barras paralelas
ty: Esfuerzo de fluencia a cortantes del acero
]]> t.a: tasa del esfuerzo cortante del acerou-. : Parte continua de la tasa del vector desplazamiento del concreto reforzado
[[u]], [[ü]]: Salto del vector desplazamiento y de la tasa del vector desplazamiento del concreto reforzado.
u.: Tasa del vector desplazamiento del concreto reforzado.
Bibliografía
Belletti, B., Bernardi, P., Cerioni, R., Iori, I., On the behaviour of R/C beams without shear reinforcement., Computational modelling of concrete structures, Austria, Balkema Publisher, 2003. [ Links ]
Belletti, B., Cerioni, R., Iori, I., Physical approach for reinforced-concrete (PARC) membrane elements., Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 127, No. 12, 2001, pp. 1412-1426. [ Links ]
De Souza, E. A., Peric, D., Owen, D. R. J., Computational methods for plasticity, 2008. [ Links ]
Feenstra, P., de Borst, R., Constitutive model for reinforced concrete., Journal of Engineering Mechanics ASCE, Vol. 121, No. 5, 1995, pp. 587-595. [ Links ]
Gambarova, P., Rosati, G., Zasso, B., Steel-to-concrete bond after concrete spliting: test results., Materials and Structures, Vol. 127, No. 22, 1989, pp. 35 - 47. [ Links ]
Hutchinson, J., Jensen, H., Models of fiber debonding and pullout in brittle composites with friction., Mechanics of Materials, Vol. 9, No. 2, 1990, pp. 139-163. [ Links ]
Jendele, L., Cervenka, J., Saouma, V., Pukl, R., On the choise between discrete or smeared approach in practical structural FE analyses of concrete structures., Fourth International Conference on Analysis of Discontinuous Deformation Glasgow, Scotland UK, 2001. [ Links ]
Lemaitre, J., A course on damage mechanics., Springer-Verlag, 1992. [ Links ]
Lemaitre, J., Desmorat, R., Engineering Damage Mechanics., Springer, 2005. [ Links ]
Linero, D. L., Oliver, X., Huespe, A. E., A model of material failure for reinforced concrete via continuum strong discontinuity approach and mixing theory., Barcelona, International Center for Numerical Methods in Engineering, 2007. [ Links ]
Linero, D. L., Oliver, X., Huespe, A. E., Análisis de bifurcación material del hormigón armado mediante la metodología de discontinuidades fuertes., Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería, Barcelona, Sociedad Española de Métodos Numéricos en Ingeniería, 2009. [ Links ]
Luccioni, B., Lopez, D., Modelo para materiales compuestos con deslizamiento de fibras., Análisis y cálculo de estructuras de materiales compuestos, Barcelona, CIMNE, 2002. [ Links ]
Luccioni, B., Lopez, D., Danesi, R., Bond-slip in reinforced concrete elements., Journal of Structural Engineering ASCE, Vol. 131, No. 11, 2005, pp. 1690-1698. [ Links ]
Menin, R. C. G., Trautwein, L. M., Bittencourt, T. N., Smeared crack models for reinforced concrete beams by finite element method., IBRACON Structures and Materials journal, Vol. 2, No. 2, 2009, pp. 166 - 200. [ Links ]
Naaman, A., Namur, G., Alwan, J., Najm, H., Fiber pullout and bond slip II. Experimental validation., Journal of Structural Engineering ASCE, Vol. 117, No. 9, 1991, pp. 2791-2800. [ Links ]
Nawy, E., Reinforced concrete: A fundamental approach., Prentice Hall, 2008. [ Links ]
Oliver, J., Modelling strong discontinuities in solid mechanics via strain softening constitutive equations. Part I: Fundamentals., International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 39, 1996a, pp. 3575-3600. [ Links ]
Oliver, J., Modelling strong discontinuities in solid mechanics via strain softening constitutive equations. Part II: Numerical Simulation., International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 39, 1996b, pp. 3601-3623. [ Links ]
Oliver, J., On the discrete constitutive models induced by strong discontinuity kinematics and continuum constitutive equations., International Journal of Solid and Structures, Vol. 37, 2000, pp. 7207-7229. [ Links ]
Oliver, J., Cervera, M., Oller, S., Lubliner, J., Isotropic damage models and smeared crack analysis of concrete.,SCI-C Computer Aided Analysis and Design of Concrete Structures, 1990. [ Links ]
Oliver, J., Huespe, A., Continuum approach to material failure in strong discontinuity settings., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 193, 2004a, pp. 3195 - 3220. [ Links ]
Oliver, J., Huespe, A., Theoretical and computational issues in modelling material failure in strong discontinuity scenarios., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 193, 2004b, pp. 2987-3014. [ Links ]
Oliver, J., Huespe, A. E., Blanco, S., Linero, D. L., Stability and robustness issues in numerical modeling of material failure in the strong discontinuity approach., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 195, No. 52, 2006, pp. 7093-7114. [ Links ]
Oliver, X., Linero, D. L., Huespe, A. E., Manzoli, O. L., Two-dimensional modeling of material failure in reinforced concrete by means of a continuum strong discontinuity approach., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 197, No. 5, 2008, pp. 332-348. [ Links ]
Oller, S., Simulación numérica del comportamiento mecánico de los materiales compuestos., Barcelona, CIMNE, 2003. [ Links ]
Park, R., Paulay, T., Reinfored Concrete Structures., 1975. [ Links ]
Pietruszczak, S., Winnicki, A., Constitutive model for concrete with embedded sets of reinforcement., Journal of Engineering Mechanics ASCE, Vol. 129, No. 7, 2003, pp. 725-738. [ Links ]
Pietruszczak, S., Xu, G., Brittle response of concrete as a localization problem., International Journal of Solid and Structures, Vol. 32, 1995, pp. 1517-1533. [ Links ]
Rice, J. R., The Localization of Plastic Deformation., Theoretical and Applied Mechanics, North-Holland Publ. Co., 1976, pp. 207-220. [ Links ]
Ruiz, G., Carmona, J., Cendón, D., Propation of a cohesive crack through adherent reinforcement layers., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 195, No. 52, 2006, pp. 7237-7248. [ Links ]
Runesson, K., Ottosen, N., Peric, D., Discontinuous bifurcations of elastic-plastic solutions at plane stress and plane strain., International Journal of Plasticity, Vol. 7, 1991, pp. 99 - 121. [ Links ]
Shi, Z., Crack Analysis in Structural Concrete., Burlington, USA, Butterworth-Heinemann Elsevier, 2009. [ Links ]
Simó, J., Hughes, T. H. R., Computational Inelasticity., New York, Springer-Verlag, 1998. [ Links ]
Truesdell, C., Toupin, R., The classical field theories., Berlín, 1960. [ Links ]
Yu, R., Ruiz, G., Static multi-cracking modeling of LRC beams, VII International Conference on Computational Plasticity., Barcelona, CIMNE, 2005. [ Links ] ]]>