Efraín Antonio Domínguez Calle¹ , Hector Angarita² y Hebert Rivera³

¹ Ingeniero Hidrólogo. PhD. en Ciencias Técnicas, Departamento de Ecología y Territorio, Facultad de Estudios Ambientales y Rurales, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia. CeiBA – Complejidad, Bogotá, Colombia.² Ingeniero Civil. M.Sc., en Hidrosistemas, Facultad de Ingeniería, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia. CeiBA – Complejidad, Bogotá, Colombia. ³ Ingeniero Hidrólogo. Ph.D., en Hidrología. Subdirección de Administración de los Recursos Naturales y Áreas Protegidas, CAR, Bogotá, Colombia.

RESUMEN

El presente artículo analiza y concluye sobre la viabilidad de pronósticos hidrológicos de niveles diarios, semanales y decadales en 20 estaciones hidrológicas de la red de monitoreo hidrometeorológico que soporta al Servicio de Alertas del Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales – Ideam en Colombia (http://www.ideam.gov.co). Esta viabilidad se determina a través de un conjunto de criterios de desempeño ortogonales y para el presente estudio recomienda la aplicación de combinaciones lineales adaptativamente óptimas (CLAO) como operador viable para la configuración de un sistema de pronóstico hidrológico en tiempo real de niveles diarios, semanales y decadales. En conclusión, se muestra que los pronósticos de niveles diarios, semanales y decadales tienen una viabilidad de pronóstico satisfactoria para el 70% de los casos estudiados.

Palabras clave pronósticos hidrológicos, modelación matemática, combinaciones lineales adaptativamente óptimas.

This paper analyses the feasibility of forecasting daily, weekly and ten-day water-levels at 20 hydrological stations forming part of the monitoring network supporting the Institute of Hydrology, Meteorology and Environmental Studies' (IDEAM) Alert Service in Colombia (http://www.ideam.gov.co). Such viability was determined by a set of orthogonal performance criteria and implementing optimally adaptive linear combinations (OALC) was recommended for this study as a viable operator for configuring a real-time hydrological forecast system. It is shown that the forecast for daily, weekly and ten-day levels had satisfactory viability for 70% of the cases studied.

Keywords: hydrological forecasting, mathematical modelling, optimal linear adaptive combination.

Recibido: mayo 18 de 2009 Aceptado: junio 21 de 2010

Introducción

La predicción hidrológica es una de las facetas más importantes de la hidrología. La viabilidad de realizar pronósticos hidrológicos en tiempo real es una característica de los tiempos modernos. Aparece con los inicios de la hidrología científica establecidos por Pierre Perrault en 1674. La observación del tiempo y del estado de las corrientes superficiales y de otras fuentes de agua data desde los egipcios, en el río Nilo (www.waterhistory.org/histories/cairo/). Sin embargo, sólo hasta el establecimiento de las mediciones sistematicas y estandarizadas fue posible pensar en sistemas de alerta hidrológica. Colombia no ha sido ajena a la corriente internacional que dictó las pautas para establecer no sólo redes de monitoreo sobre el recurso hídrico, sino también sistemas de alerta temprana que ayudan a tomar ventaja de la información hidrológica en tiempo real y de su conjunción con los avances en ordenadores y medios de comunicación. En el año 1976 Colombia, con el Servicio Colombiano de Hidrología y Meteorología (SCMH), incursionó en predicción hidrológica con el modelo Sacramento, que se operaba con tarjetas perforadas y asimilaba información transmitida por radio y teléfonos convencionales.

El sistema emitía pronósticos cuantitativos y apoyaba a los organismos de socorro en el manejo de la temporada invernal. En la actualidad, con mayor disponibilidad de tecnología en los ámbitos informáticos y de telecomunicaciones, Colombia no dispone de modelos hidrológicos que, en tiempo real, emitan pronósticos hidrológicos cuantitativos. Con miras al restablecimiento de capacidades institucionales en predicción hidrológica, el Ideam ha venido adelantando esfuerzos para implantar un servicio de pronóstico hidrológico cuantitativo en tiempo real.

Aquí se analiza la capacidad institucional del Ideam (fortalezas y debilidades) para emprender la emisión operativa de pronósticos cuantitativos de los niveles diarios, semanales y decadales. Entre otros aspectos, se define cuándo el pronóstico hidrológico, cuantitativo y en tiempo real es viable, lo cual se establece estudiando aspectos como: el nivel de capacitación del personal, las capacidades informáticas, la cadena de registro hidrológico continuo (red de estaciones automáticas), la disponibilidad de software integrador de flujos de información hidrometeorológica y la calidad de la información en tiempo real. En la etapa final se analiza con detenimiento la posibilidad de emitir pronósticos hidrológicos en tiempo real basándose en una técnica que contempla operadores matemáticos con componentes autorregresivos (variable endógena) y exógenos, y que además cuenta con un mecanismo expreso de optimización. En resumen, la viabilidad de los pronósticos acá planteados se concibe a través de la completitud en infraestructura y personal y la posibilidad de contar con una estructura matemática "optimizable" de acuerdo a criterios de desempeño seleccionados con anterioridad. Finalmente, se presenta un plan de trabajo para lograr concretar una cadena de producción de pronósticos de niveles diarios, semanales y decadales en tiempo real.

Métodos y datos

El presente trabajo contempló cuatro pasos metodológicos: 1) revisión de antecedentes de modelación cuantitativa para pronósticos hidrológicos en el Ideam; 2) definición de viabilidad de pronóstico hidrológico; 3) aplicación de combinaciones lineales adaptativamente óptimas (CLAO) para pronósticos diarios, semanales y decadales de los niveles del agua en las estaciones de la red de alertas del Ideam; y 4) definición de un criterio para la calificación de la viabilidad de pronóstico en un punto de análisis y en el conjunto de estaciones hidrológicas estudiadas. La información hidrometeorológica utilizada se obtuvo de las bases de datos en tiempo real que almacena la información sobre niveles y precipitaciones de la red de alertas hidrometorológica del Ideam. Los puntos de pronóstico analizados se presentan en la tabla1. También se utilizaron series de tiempo obtenidas de la base de datos del Ideam que almacena la información de las estaciones que no operan en tiempo real. Estas últimas se utilizaron como predictores en aquellos puntos de pronóstico para los cuales no se encontraron predictores entre las estaciones que transmiten información en tiempo real.

Para el Servicio de Alertas del Ideam el pronóstico cuantitativo de niveles es una de las metas prioritarias. Se han adelantado varias investigaciones para la implementación de pronósticos cuantitativos, éstas incluyen desde modelos cualitativos basados en reglas semánticas y lógica difusa (Rivera et al., 2004) y técnicas de series de tiempo (Mussy, 2005), hasta modelos avanzados capaces de

pronosticar la curva de densidad probabilística de los niveles diarios en lugar del dato mismo de nivel de agua (Domínguez, 2004a; Domínguez, 2004b; Domínguez, 2005). Estas experiencias presentan las siguientes dificultades: a) no se han realizado en forma articulada, por lo cual también han carecido de criterios comunes de desempeño que permitan medir las ventajas comparativas entre los diferentes operadores de pronóstico; b) por la anterior razón, no existe un estándar para documentar los modelos propuestos, que caracterice: entradas, salidas, operadores, variables de estado, parámetros, mecanismos de calibración; y c) es característica la ausencia de estandarización sobre horizontes de pronóstico, rangos de fecha para validación y calibración, y definición de reglas para el establecimiento de umbrales de pronóstico acertado.

Definición de viabilidad de pronóstico hidrológico

Un sistema de pronóstico hidrológico cuantitativo y operativo será viable cuando (WMO, 1994): a) exista la infraestructura necesaria para la medición y transmisión de los niveles del agua en forma continua y en tiempo real; b) se cuente con información fisiográfica, hidrológica, meteorológica, topográfica, detallada y actualizada para los puntos de emisión de pronósticos; c) se disponga del personal capacitado para el análisis de la información asimilada del sistema de medición y transmisión en tiempo real, así como de los especialistas necesarios para la explotación de los modelos de pronóstico hidrológico y la infraestructura computacional para ejecutarlos; d) exista una tecnología de pronóstico/modelación que permita producir las predicciones en tiempo real, con niveles de desempeño aceptables según criterios de validación objetivos; e) estén formalizados los canales de difusión de los pronósticos hidrológicos; f) se disponga de una comunidad de usuarios, oficialmente registrada, capaz de asimilar los pronósticos emitidos y proveer retroalimentación al centro de emisión de pronósticos. Al analizar la infraestructura de mediciones, telecomunicaciones y personal se concluye que de los puntos señalados el Ideam incumple totalmente con el (d) y parcialmente con el (f). Por lo anterior, a continuación se propone una técnica de pronóstico optimizable en tiempo real y adecuado a la disponibilidad y flujos de información de la Red de Alertas del Ideam.

Combinaciones lineales adaptativamente óptimas (CLAO) para pronósticos diarios, semanales y decadales de los niveles del agua en las estaciones de la Red de Alertas del Ideam

Un elemento de gran importancia en la emisión de pronósticos hidrológicos es la disponibilidad de un operador matemático <L> que utilice predictores disponibles en tiempo real y casi real para la previsión del estado futuro de los niveles en un horizonte de pronóstico T. Existe una gran diversidad de operadores disponibles para tal fin, desde los más complejos hasta los más simples. Como ejemplos de operadores matemáticos para predicción hidrológica se pueden presentar: 1) modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales ordinarias (Kovalenko, 1993; Kuchment, 1972b); 2) modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales parciales para la descripción del tránsito hidráulico en una y dos dimensiones (Kuchment, 1972a; Rudkivi, 1979; WMO, 1975); 3) modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales estocásticas (Gardiner, 1985; Kovalenko, 1993); 4) modelos basados en la teoría de extrainterpolación óptima de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941) y en métodos regresivos y autorregresivos (Kazakievich, 1989; Popov, 1957; WMO, 1994); 5) modelos estadísticos/probabilísticos (Haan, 2002; Rozhdientsvienstkiy y Chievatariov, 1974); 6) modelos basados en lógica difusa (Ashu y Avadhnam, 2007; Luchetta y Manetti, 2003); 7) modelos basados en redes neuronales (Ashu y Avadhnam, 2007; Luchetta y Manetti, 2003) y otros.

De una u otra forma estos modelos pueden ser clasificados de la forma propuesta por Domínguez (2007), de modo que éstos, en general, se podrán diferenciar por sus habilidades para representar procesos dinámicos o estáticos, sistemas aglutinados o distribuidos, relaciones causa y efecto determinísticas o estocásticas. El abanico de posibilidades es diverso; por ello, para el caso presente es necesario establecer algunas características mínimas para el operador L. En régimen operativo L debe contar con ciertas características: a) cumplir con los objetivos planteados al sistema de pronósticos y satisfacer las expectativas de los usuarios de los pronósticos; b) ser lo más sencillo posible en su utilización por parte de los pronosticadores de turno, los códigos fuentes del algoritmo de aplicación ser lo suficientemente explícitos para su operación por parte del personal de pronósticos; c) ser coherente con las capacidades informáticas disponibles y con los niveles de precisión de los predictores registrados en tiempo real; contar con un algoritmo operativo de optimización dinámico y adaptable a los diferentes niveles de predictores asimilables en tiempo real y ajustable durante los eventos de pérdida de recepción de alguno de los predictores acoplados; d) ser aplicable a las diferentes condiciones fisiográficas de los puntos operativos de pronóstico.

Usualmente el modelador matemático realiza la calibración de los parámetros de su modelo matemático tratando de utilizar el máximo de información histórica disponible. A continuación se contradice este paradigma demostrando que la calibración dinámica de combinaciones lineales puede crear un operador matemático más eficiente que aquel en el cual sus coeficientes toman valores estáticos basados en la información de toda la serie temporal de la variable que se predice. Esto puede resultar particularmente útil cuando en la serie temporal se registran oscilaciones de diferente escala y frecuencia y para las cuales la predicción está orientada a una prelación de pronóstico no mayor a T ≤ ρ con ρ<<Ns donde T representa el horizonte de pronóstico (prelación del pronóstico), ρ el radio de correlación del proceso estudiado y Ns es la longitud total de la serie de tiempo de la variable a pronosticar.

Dado un intervalo de tiempo [t-N-1,t]∈ℜ, en el cual están registrados Nvalores de la variable Y(t). El pronóstico Y(t+T)puede ser expresado de la siguiente forma:

En (1) Les un operador matemático que actúa sobre un polinomio W(t) de orden, que combina predictores endógenos con "m" exógenos en la siguiente estructura:

donde ρ_Y y ρ_XkjY son el radio de autocorrelación de la variable endógena Y(t)y el radio de correlación cruzada entre ésta y la variable exógena X(t)_k. A su vez a_i, b_bj,a_i y b_kj son coeficientes y exponentes en el polinomio W(t).

Sea la diferencia entre Y(t+T)^Observado - Y(t-T)^Pronosticado= Δ, se puede denominar a Loperador óptimo si éste minimiza alguna función de Δ, por ejemplo, la esperanza matemática de su valor cuadrático:

donde a_i, b_i,a_i y b_ison coeficientes y exponentes variables que minimizan

en una ventana de tiempo de ancho θ. De lo anterior se desprende que en el dominio mencionado:

deben ser las soluciones de los sistemas de ecuaciones

En el dominio de potencia θ también se puede exigir, incluso para combinaciones no lineales, que la relación entre – desviación del error cuadrático de los pronósticos y σ_Δ– desviación estándar de los incrementos de Y(t)para intervalos de tiempo iguales a T sea menor o igual que 0,8, exigiendo a priori el cumplimiento del criterio de desempeño S/σ_Δ tal como éste es utilizado en Domínguez (2004a). Otros criterios de desempeño que pueden ser utilizados como función objetivo son presentados en (Dawson et al., 2007); no obstante, es recomendable definir un juego de criterios de desempeño que sea ortogonal. Por ello, para este trabajo se utilizan el criterio S/σ_Δ, el porcentaje de pronósticos acertados, el error cuadrático estándar y el coeficiente de determinación entre observados y simulados

Selección de predictores

lo que reduce la búsqueda del operador óptimo a un espacio de polinomios de primer orden. Para filtrar los predictores y utilizar sólo los que aportan información no redundante se escogen aquellos cuyos coeficientes {a_t,a_t-1,...,a_t-ρ} o {b_t,b_t-1,...,b_t-ρY} cumplen la siguiente condición:(a_k/σ_ak≥2) ó (b_k/σ_bk≥2), es decir, aquellos con coeficientes a_ko b_k que en magnitud superan dos veces el error cuadrático estándar de definición del coeficiente (σ_ak o σ_bk). Como predictores exógenos, para el caso de pronósticos hidrológicos, se puede utilizar la información de precipitaciones actuales y antecedentes y la información de afluencias sobre el tramo antecedente a la estación hidrológica para la que se emiten los pronósticos. En general un algoritmo de búsqueda exhaustiva es capaz de establecer úute;l número de predictores óptimos entre todas las combinaciones disponibles utilizando el criterio S/σ_Δ como función objetivo. La minimización del funcional presentado en la ecuación (5) se puede adelantar por el método de mínimos cuadrados, el de gradiente conjugado o inclusive por técnicas bioinspiradas (Yang et al., 2003; Боглаев, 1990). Ejemplos de la potencia del método del gradiente conjugado pueden ser consultados en Press et al. (1986) y en Fylstra et al. (1998). Otros análisis realizados para establecer el número óptimo de predictores son: 1) determinación del número de observaciones equivalentemente independientes y del error corregido del coeficiente de determinación múltiple; 2) evaluación de la evolución del criterio S/σ_Δ; y 3) evaluación del nivel de informatividad de cada grupo de predictores y construcción de la función de saturación. El número de observaciones equivalentemente independientes m₁se determinó como:

donde el radio de autocorrelación τ₁ se define como:

Aquí R(τ) es la función de autocorrelación y R(0)su máximo valor. De este modo, el error del coeficiente de determinación Δ_R, toma en cuenta el número de observaciones equivalentemente independientes, como:

De esta forma el grupo óptimo de predictores se escoge como aquel que minimiza el error del coeficiente de determinación (Comité Hidrometeorológico Estatal de la URSS, 1989). Otra forma de escoger el grupo óptimo de predictores consiste en la evaluación del nivel de informatividad de los predictores por separado y de los distintos grupos de predictores. El grupo óptimo de predictores está conformado por el número mínimo de ellos que logran alcanzar el punto de saturación en la función de ésta. La función de saturación se construye como el nivel de informatividad del grupo de predictores en función del número de variables en el grupo. El nivel de informatividad se define como:

donde () D es el determinante de la matriz de correlación entre el nivel y sus predictores y D' es el determinante de la matriz de correlación de los predictores es el nivel de informatividad del grupo de j predictores (Comité Hidrometeorológico Estatal de la [disuelta] URSS, 1989).

Criterio para la calificación de la viabilidad de pronóstico en un punto de análisis y en el conjunto de estaciones hidrológicas estudiadas

Se establecieron distintos niveles de viabilidad para valorar la posibilidad de predecir los niveles diarios, semanales y decadales en términos del criterio S/σ_Δ y del porcentaje de aciertos por error máximo permitido. Adicionalmente, se tomó en cuenta si la información de los predictores se encuentra en línea al momento de emitir el pronóstico o no. De acuerdo a los resultados de S/σ_Δ la viabilidad de pronóstico se valoró según se presenta en la Tabla 2. A la lectura de viabilidad se le anexa la cantidad de aciertos y el nivel de error con el que se definen estos aciertos. Una lectura puede ser "viable con un nivel de aciertos del 70% para errores absolutos promedios del 15%". Este apéndice no influye en la conclusión de viabilidad de la implementación de operadores adaptativos para la predicción de niveles, dado que se desconocen las exigencias de los usuarios de los pronósticos del Ideam. Por otra parte, la predictibilidad del proceso también debe ser tomada en cuenta al momento de establecer el error máximo permitido para establecer el nivel de aciertos de un punto de pronósticos. El error máximo permitido, acorde a la variabilidad natural del proceso, se establece (Апполов et al., 1974) como: EMP=0,674σ_Δ.

Resultados

Para concluir sobre la viabilidad de los pronósticos de niveles promedios diarios, semanales y decadales se llevaron a cabo más de 300 experimentos numéricos de optimización gruesa. En cada uno de estos experimentos se establecían grupos de predictores de menor potencia que el total disponible al inicio del experimento. Cada experimento representa una búsqueda de entre 540 combinaciones posibles para cada caso, es decir, en total se efectuaron 162.000 ensayos de optimización gruesa. Esta optimización se hizo de forma no supervisada y en promedio tomó alrededor de 4 horas de cómputo en un ordenador de doble procesador con frecuencia de tacto de 2,33 GHz (Intel Pentium D) y dos GB de memoria RAM. No se utilizaron algoritmos de paralelización (vectorización de cálculos) por lo que los tiempos expresados son susceptibles a reducción. Después de la optimización gruesa se realizaron 20 experimentos de sintonización para afinar el grupo de predictores óptimos deducidos de la optimización gruesa. Esta optimización es supervisada y se hace en forma semi-automática. Cada ejercicio de optimización revisa grupos de, en promedio, 3 predictores que se pueden armar en un conjunto de 10 predictores posibles si se toman en cuenta los componentes autorregresivos y los rezagos de correlación cruzada. En teoría, aquí se deberían revisar 120 posibles combinaciones; sin embargo, siguiendo las recomendaciones del parágrafo de selección de predictores este número se reduce drásticamente a unas 10-20 combinaciones. En total el ejercicio de sintonización, para las 20 estaciones seleccionadas, revisó alrededor de 400 combinaciones. En promedio, por estación, en la sintonización se gastaron cerca de 15 minutos, lo que suma un tiempo total para todas las estaciones igual a 5 horas en promedio.

Teniendo una plataforma de integración de información y pronosticadores bien entrenados estos tiempos se pueden reducir a la mitad; no obstante, si se desea emisión de pronósticos en régimen operativo, estas tareas no pueden estar a cargo de un solo pronosticador. Como mínimo se esperaría mantener un grupo de dos pronosticadores. Los tiempos aquí expresados son válidos para el conjunto de 20 estaciones aquí seleccionadas. Un conjunto mayor de estaciones exigiría más tiempo pero con computación en paralelo la tarea es escalable.

En general se puede concluir que la viabilidad de pronóstico disminuye con el aumento del periodo de agregación, es decir, la mejor predictibilidad la tienen los niveles diarios y la peor los decadales. Este juicio es soportado por las magnitudes del criterio S/σ_Δ que en promedio, para todas las 20 estaciones, a nivel dia-rio es igual a 0,740, mientras que a nivel pentadal y decadal es de un valor de 0,803 y 0,797. A su vez, el porcentaje de aciertos, según el error máximo permitido del CHR, es del 81,5% para los decadales, 82,9% para los pentadales y 86,5% para los niveles diarios. El porcentaje de aciertos con errores menores al 15% es del 89,9% para los diarios, 75,7% para los pentadales y 70,3% para los decadales. Para los distintos tipos de pronósticos, en promedio la viabilidad de implementación de operadores tipo CLAO es buena. Si se clasifican los resultados por periodo de agregación, las cuencas con mejor viabilidad de implementación de operadores tipo CLAO para el pronóstico de niveles diarios son las de los ríos Sogamoso, Cauca, Magdalena y Sinú, y las más complicadas las de los ríos San Pedro y Carare, en las que apenas se logró una clasificación satisfactoria de la viabilidad. En el ámbito de los pronósticos semanales los mejores índices los presenta el río Sogamoso, mientras que el Carare se mantiene como la corriente de más baja viabilidad (satisfactoria, según la escala de la Tabla 2). Para el caso de los pronósticos decadales los ríos Sogamoso, Cuinde y Cauca se mantienen como los más predecibles, y el San Pedro ocupa el lugar de la predictibilidad más baja. Finalmente, desde el punto de vista del número de pronósticos acertados con un error máximo permitido del 15%, alcanza la cifra del 77% para todas las agregaciones, situación que refuerza la conclusión sobre la viabilidad de implementación de operadores adaptativos para el pronóstico en tiempo real de niveles en la red de estaciones automáticas del Ideam.

Cuenca

Conclusiones

La técnica de pronóstico analizada, tanto en los tiempos de cómputo como en el error de pronóstico, ofrece buen desempeño para las distintas agregaciones analizadas. La metodología de pronóstico propuesta permite determinar que las estaciones de la red hidrológica deben ser modernizadas e incluidas en la red de transmisión en tiempo real. Para los casos puntuales en los que la viabilidad de pronóstico no sea satisfactoria, aún existen posibilidades de mejoramiento mediante la inclusión de predictores no considerados.

Bibliografía

Ashu, J., Avadhnam, M. K., Hybrid Neural Network Models for Hydrologic Time Series Forecasting., Applied Soft Computing, 2007, pp. 585-592.        [ Links ]

Comité Hidrometeorológico Estatal de la URSS, C., Directrices para pronósticos hidrológicos - pronósticos de corto plazo de caudales y niveles del agua en ríos., 1989, pp. 246.        [ Links ]

Dawson, C., W., Abrahart, R., J., See, L., M., HydroTest: A webbased toolbox of evaluation metrics for the standardised assessment of hydrological forecasts., Environmental Modelling & Software, No. 22, 2007, pp.1034-1052.        [ Links ]

Domínguez, E., Aplicación de la ecuación de Fokker–Planck–Kolmogorov para el pronóstico de afluencias a embalses hidroeléctricos (caso práctico de la represa de Betania)., Meteorología Colombiana, No 8, 2004a, pp.17-26.        [ Links ]

Domínguez, E., Stochastic forecasting of streamflow to Colombian hydropower reservoirs., PhD. Thesis, Russian State Hydrometeorological University, San Petersburg, 2004b, pp. 235.        [ Links ]

Domínguez, E., Pronóstico probabilístico de afluencias para la evaluación de riesgos en embalses hidroeléctricos., Avances en Recursos Hidráulicos, 2005, pp. 12-25.        [ Links ]

Domínguez, E., Introducción a la modelación matemática., Googlepages., Bogotá, 2007.        [ Links ]

Fylstra, D., Lasdon, L., Watson, J., Waren, A., Design and use of the Microsoft Excel Solver., Computers/Computer ScienceSoftware, No. 28, 1998, pp. 29-55.        [ Links ]

Gardiner., Handbook of stochastic methods., Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. 442.        [ Links ]

Haan, T. C., Statistical methods in hydrology., Iowa state press, Iowa, 2002, pp.378.        [ Links ]

Kazakievich, D. I., Osnovi teoriy sluchainij funktsiiv v zadachax guidrometeorologuii., Guidrometeoizdat, Leningrad, 1989, pp. 230.        [ Links ]

Kolmogorov, A. N., Interpolirovanie y Extrpolirovanie Statsionarnij Sluchainij Posliedovatielnostiey., Bulletin De l' Academie Des Sciences De l'URSS, No. 5, 1941, pp. 3-14.        [ Links ]

Kovalenko, V., Modelling of hydrological processes. Guidrometeoizdat., Saint Petersburg, 1993, pp. 255.        [ Links ]

Kuchment, L. S., Matematicheskoie Modelirovanie Rechnova Stoka., Guidrometeoizdat, Leningrad, 1972a.        [ Links ]

Kuchment, L. S., Modelación matemática de la escorrentía fluvial., Guidrometeoizdat, Leningrado, 1972b, pp. 191.         [ Links ]

Luchetta, A., Manetti, S., A Real-time Hydrological Forecasting System using a Fuzzy Clustering Approach., Computers & Geosciences, No. 29, 2003, pp. 1111-1117.        [ Links ]

Mussy, A., Short Term Hydrological Forecasting Model In Colombia: Simulation For The Magdalena River., IDEAM., Lausanne, 2005.        [ Links ]

Perrault, P., De l 'Origine Des Fontaines. Pierre Le Petit., Paris, 1674.        [ Links ]

Popov, E. G., Guidrologuicheskie Prognozi, Guidrometeoizdat., Leningrad, 1957.        [ Links ]

Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P., Numerical Recipes in Fortran 77 The art of Scientific Computing., Cambridge University Press, No. 2,pp. 999.        [ Links ]

Rivera, H., Zamudio, E., Romero, H., Modelación con fines de pronósticos hidrológicos de los niveles diarios en periodo de estiaje en los sitios de Calamar, El Banco y Puerto Berrio del Magdalena., Avances en Recursos Hidráulicos, No11, 2004.        [ Links ]

Rozhdientsvienstkiy, A. B., Chievatariov, A. I., Statisticheskie Metodi v Guidrologuii., Guidrometeoizdat, Leningrad, 1974, pp. 424.        [ Links ]

Rudkivi, A. J., Hydrology. An advanced introduction to hydrological modelling., Pergamon Press, Sydney, 1979, pp. 479.        [ Links ]

WMO., Intercomparison of Conceptual Models Used in Operational Hydrological Forecasting., Operational Hydrology Report, No7, WMO-No. 429, WMO, Geneva, 1975.        [ Links ]

WMO., Guide to hydrometeorological practices., 168, WMO, Geneva, 1994, pp. 770.        [ Links ]

Yang, Z. R., Thomson, R., Hodgman, T.C., Dry, J., Doyle, A. K., Narayanan, A., Wu, X.. Searching for discrimination rules in protease proteolytic cleavage activity using genetic programming with a min-max scoring function., Biosystems, 72(1-2), 2003, pp. 159-176.        [ Links ]

Zwillinger, D., Handbook of differential equations., Academic press, Boston, 1997.        [ Links ] ]]> 2007 585-592 Comité Hidrometeorológico Estatal de la URSS, C. 1989 246 2007 22 22 1034-1052 2004 8 8 17-26 235 2005 12-25 2007 1998 28 28 29-55 1985 442 2002 378 1989 230 1941 5 5 3-14 1993 255 1972 1972 191 2003 29 29 1111-1117 2005 1674 1957 No. 2 999 2004 11 11 1974 424 1979 479 WMO 1975 7 WMO-No. 429 WMO-No. 429 WMO 1994 168 770 2003 72 1-2 1-2 159-176 1997