Numerical modelling of elastic behaviour of concrete reinforced with steel short fibres in plane stress conditions

Fabián A. Lamus¹, Manuel A. Caicedo², Dorian L. Linero³

¹ B.Sc., Ingeniería Civil de la Universidad Industrial de Santander, M.Sc. en Estructuras de la Universidad Nacional de Colombia. Estudiante del Doctorado en Ingeniería - Ciencia y Tecnología de materiales, Universidad Nacional de Colombia. Docente auxiliar, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. falamusb@unal.edu.co.

² B.Sc. Ingeniería Civil y M.Sc. en Estructuras, Universidad Nacional de Colombia. Estudiante del Doctorado en Análisis Estructural, Universidad Politécnica de Cataluña, España. macaicedos@unal.edu.co.

³ B.Sc., Ingeniero Civil y M.Sc. en Estructuras, Universidad Nacional de Colombia. Ph.D. en Análisis Estructural, Universidad Politécnica de Cataluña, España. Profesor Asistente, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. dllineros@unal.edu.co.

RESUMEN

Este trabajo describe un modelo numérico implementado en el método de los elementos finitos (Hughes, 2000), el cual permite simular el comportamiento elástico del concreto reforzado con fibras cortas de dirección aleatoria. En estructuras hechas de dicho material cada punto está compuesto por fibras cortas de acero embebidas en una matriz de concreto simple. En el interior de un elemento finito el concreto reforzado se representa como un material ortótropo de dirección material aleatoria, basado en el modelo de fibras con diámetro despreciable (Dvorak y Bahei-el-Din, 1982) y la teoría de mezclas modificada para refuerzo de corta longitud (Oller, 2003). El análisis estadístico realizado consiste en: repetir la simulación numérica del problema cambiando la dirección de las fibras mediante una función aleatoria, construir la base de datos de muestreo a partir de los resultados obtenidos y medir la dispersión de estos últimos. A continuación, en este trabajo se estudia la sensibilidad del tamaño de los elementos finitos y del número de datos de muestreo en el cálculo de la energía total de deformación y se establecen algunos valores recomendables. Como ejemplo de aplicación se obtuvo la respuesta estructural promedio de una viga de concreto reforzado con diferentes cuantías de fibras cortas de acero, observando una dispersión mínima de los datos.

Palabras claves: mecánica computacional, teoría de mezclas, concreto reforzado con fibras.

Recibido: junio 23 de 2009. Aceptado: octubre 26 de 2010

En las últimas décadas la utilización del concreto reforzado con fibras cortas de acero (CRFC) en la construcción de obras civiles ha aumentado notoriamente debido a su comportamiento mecánico y a sus ventajas constructivas. A diferencia del concreto simple, la presencia de las fibras reduce la abertura de las microfisuras en el concreto y aumenta la resistencia mecánica y la ductilidad del compuesto. Asimismo, el acero de refuerzo contribuye a la resistencia al impacto, al fuego y a la abrasión (ACI, 1989; ACI, 1996; ACI, 1998). En la actualidad el uso del CRFC se extiende a la construcción de vigas, columnas, placas de entrepiso y pisos industriales en edificaciones, como también arcos y dovelas en el revestimiento de túneles, entre otros.

Los materiales reforzados presentan características diferentes con respecto a los materiales homogéneos debido a que las fibras modifican su comportamiento dependiendo de su participación volumétrica y del sentido en que se encuentren orientadas.

En este trabajo se desarrolla un modelo numérico implementado en el método de los elementos finitos para simular el comportamiento mecánico del CRFC en el rango elástico, en un estado plano de esfuerzos.

En un elemento estructural se puede suponer que el concreto reforzado con fibras cortas es un material compuesto que está constituido por fibras de acero de orientación aleatoria embebidas en una matriz homogénea de concreto simple. En la formulación del modelo se tienen las siguientes hipótesis fundamentales: 1) las fibras se distribuyen uniformemente en la matriz, 2) el comportamiento de ambos materiales es elástico y sus deformaciones son pequeñas, y 3) la adherencia entre la matriz y las fibras asegura la compatibilidad de deformaciones y la transferencia de acciones internas. Asimismo, el modelo está limitado a elementos estructurales representados mediante un estado plano de esfuerzos.

Con la aplicación de la teoría de mezclas para fibras cortas (Oller, 2003) y el modelo de fibras con diámetro despreciable (Dvorak y Bahei-el-Din, 1982) se establece que cada partícula de material compuesto contiene una fracción de participación volumétrica de la matriz y k^(m) de las fibras k^(a) con orientación definida. Lo anterior produce un comportamiento ortótropo del compuesto, cuyo eje material mayor es paralelo a la dirección de las fibras, como se indica en la Figura 1(c).

(1)

Donde los coeficientes de participación volumétrica del acero y del concreto, k^(a) y k^(c) respectivamente, se calculan como los cocientes entre el volumen de cada uno de los componentes y el volumen total del material compuesto:

(2)

Si el material es lineal elástico el módulo de elasticidad para el material compuesto en la dirección paralela a las fibras , en términos del módulo de Young del concreto y del acero es igual a:

(3)

Para materiales reforzados con fibras de diámetro mucho menor que su longitud se puede aplicar el modelo de la fibra con diámetro despreciable, el cual simplifica el aporte mecánico de la fibra a su capacidad axial (Dvorak y Bahei-el-Din, 1982). En consecuencia, el módulo de elasticidad perpendicular a la fibra y la relación de Poisson del material compuesto son aproximadamente iguales al módulo de elasticidad y a la relación de Poisson de la matriz de concreto respectivamente, como se indica a continuación:

(4)

La ecuación (1) considera que el esfuerzo normal en las fibras es uniforme a lo largo de su eje; sin embargo, en materiales reforzados con fibras cortas esta apreciación no es completamente válida. En un material compuesto solicitado a esfuerzos normales paralelos a la fibra (figura 2 (a)), la matriz y la fibra experimentan deformaciones longitudinales diferentes alrededor de los extremos de la fibra (Matthews y Rawlings, 1994). En consecuencia, el esfuerzo normal de la fibra varía, como se muestra en la Figura 2 (b), y aparece un esfuerzo cortante en la interfaz fibramatriz.

El esfuerzo normal en la fibra es cero en sus extremos y aumenta hasta un valor máximo a una distancia . A partir de esta distancia a los extremos de la fibra el esfuerzo normal se conserva constante. Por lo tanto corresponde a la longitud de la fibra necesaria para que el esfuerzo normal adquiera un valor máximo constante. Ésta longitud crítica se determina igualando la fuerza cortante desarrollada en la interfaz y la fuerza de tensión en la fibra cuando ésta alcanza el esfuerzo de falla , de la forma:

(5)

(6)

(7)

donde es el cortante actuante sobre la superficie de la fibra cuando ésta se encuentra sometida a la tensión de falla, es la resistencia de la fibra y es su diámetro.

Debido a la variación del esfuerzo normal y la deformación longitudinal cerca de sus extremos, la fibra corta aporta menos a la rigidez del compuesto que la fibra continua. Este fenómeno se representa mediante un factor de eficiencia que multiplica al módulo de elasticidad del acero de la forma:

donde L, D y R corresponden a la longitud, el diámetro y la

(8)

es el módulo de elasticidad a cortante del concreto.

Por otra parte, la simplificación del problema tridimensional a una condición plana de esfuerzos limita el carácter aleatorio de la orientación de las fibras al plano de análisis. Sin embargo, mediante otro factor de eficiencia se puede incluir la orientación de la fibra fuera del plano.

Como se indica en la figura 2(c), el eje longitudinal de la fibra tiene una orientación aleatoria ^φ respecto al plano material , de manera que el aporte de su módulo de elasticidad al material compuesto en el plano de análisis es igual a . Por lo tanto, el factor de eficiencia debido a la orientación puede calcularse como:

(9)

donde ^a está en el rango de valores que puede tomar la orientación ^φ .

Si la longitud de la fibra, L, es menor que el espesor del elemento, la fibra podrá tomar una orientación entre y determinando así un rango de ángulos ^a igual a . En caso contrario, si el espesor del elemento es menor que la longitud de la fibra, la orientación de esta última podrá tomar valores sólo entre ^-β y ^β y ^a será igual a ^2β, siendo y ^t el espesor del sólido.

El módulo de elasticidad del material reforzado con fibras cortas en la dirección se obtiene como una modificación de la ecuación (3) de la teoría de mezclas, así:

(10)

Un material ortótropo cuenta con propiedades mecánicas diferentes en las tres direcciones ortogonales entre sí que conforman un sistema coordenado propio del material, como se indica la figura 1(c). En condición plana de esfuerzos los ejes coordenados y corresponden a la dirección paralela y perpendicular a la fibra respectivamente, las cuales forman un ángulo ^θ con respecto a los ejes coordenados globales x y y.

(11)

En la matriz anterior la relación de Poisson y el módulo de elasticidad a cortante son iguales a:

(12)

En el sistema coordenado global la relación entre las componentes de esfuerzo y de deformación , se define como , donde la matriz constitutiva elástica global es ^[C] igual a:

(13)

donde ^{[ T ]} es una matriz de transformación en términos del ángulo ^θ formado entre los ejes y x (Weaver y Johnson, 1984) de la forma:

(14)

Este trabajo presenta un modelo numérico que describe el comportamiento elástico del concreto reforzado con fibras cortas de orientación aleatoria. Tal modelo incluye dos niveles de análisis: el análisis determinista, mediante el cual se obtiene la respuesta estructural para cada dato de muestreo, y el análisis estocástico, que establece la dispersión de los resultados del conjunto de eventos aleatorios pertenecientes al espacio de muestreo.

Análisis determinista del CRFC por medio del método de los elementos finitos

Para un elemento finito e, el ángulo conformado entre el eje global x y el eje material se establece con el valor aleatorio entre y , de ahí que la simulación numérica del sólido tendrá tantas direcciones de fibra diferentes como elementos finitos tenga la malla (figura1(a)). La dirección real de las fibras en el medio se representará mejor con mallas de elementos finitos más pequeños, donde el carácter aleatorio de la fibra se obtenga en regiones de menor tamaño, como se demostrará más adelante en algunos resultados de validación.

Análisis estocástico del CRFC de la orientación aleatoria de la fibra

El objetivo de la mecánica estocástica es el de analizar la dispersión de una variable aleatoria obtenida de las leyes de la mecánica determinista en cada evento o dato de muestreo (Ostoja-Starzewski, 2008).

Cada evento corresponde a un análisis determinista del problema donde se ha escogido un valor aleatorio de la orientación de la fibra por elemento finito. La colección de los resultados obtenidos en este evento se indica de la forma .

El análisis estocástico repite el problema determinista conformando un grupo de eventos en el espacio de muestreo de tamaño m y estudia la dispersión del campo de los resultados definido como:

(15)

De esta forma, cada vez que se resuelve el problema determinista se llega a una solución distinta. Por ejemplo, la energía de deformación de una probeta sometida a presión uniforme es diferente en cada evento, no obstante todo valor de energía es mayor que la energía de deformación dada cuando las fibras están orientadas perpendicularmente a la carga y es menor que la energía de deformación si las fibras son paralelas a ella.

En el modelo del concreto reforzado con fibras cortas se espera que la dispersión de los resultados disminuya con el aumento del tamaño del espacio de muestreo m y con el incremento de la densidad de la malla de elementos finitos. En consecuencia, el comportamiento ortótropo de dirección material aleatoria que tiene el CRFC en cada punto material se convierte en un comportamiento isótropo en el volumen del elemento estructural. El modelo se implementó sobre el programa de elementos finitos a código abierto PEFiCA (Linero, 2010).

Módulo de elasticidad equivalente a un material isótropo

Figura 3. panel sometido apresión uniforme: (a) esquema genral, (b)mallas de elementos finitos.

Se ha utilizado un coeficiente de participación volumétrica del acero , el cual representa un contenido habitual de fibras de acero en matrices de concretos estructurales. Dicha cuantía corresponde a una relación entre los módulos de elasticidad en las direcciones materiales cercanos a un valor de La energía de deformación del sólido en un evento es el resultado de la sumatoria de las energías de deformación de cada uno de los elementos finitos de la malla obtenida de la forma:

(16)

siendo n el número de elementos finitos, y , y el volumen, el vector de esfuerzo y de deformación del elemento, respectivamente.

Por otro lado, de forma analítica la energía de deformación de un panel elástico isótropo equivalente de dimensiones sometido a una presión q uniforme, es igual a:

(17)

Igualando la energía de deformación calculada en un evento a partir de la ecuación (16) con la energía equivalente de un modelo isótropo indicada en la ecuación (17), se puede expresar el módulo de elasticidad equivalente a un material isótropo en el evento como:

(18)

El valor promedio y la desviación estándar del módulo de elasticidad equivalente del conjunto de eventos realizados corresponden a:

(19)

Para obtener el módulo y su dispersión se simuló el problema con 5 mallas de diferente densidad y con campos de muestreo m hasta de 250 eventos. El tamaño relativo del elemento finito TREF está definido como el cociente entre el área del elemento finito y el área de la estructura modelada , de tal forma que la malla utilizada más densa corresponde a y en la malla menos densa , como lo muestra la figura3 (b).

El valor promedio y la desviación estándar del módulo de elasticidad equivalente dividido entre el módulo de Young de la matriz de concreto se indican en la figura 4 .

Ejemplo de aplicación: viga de tres puntos

Se simuló el comportamiento elástico de una viga de concreto reforzado con fibras cortas con una entalla en la mitad de la luz, sometida a una carga puntual , como se indica en la figura 5 (a) (Ferrara y Gettu, 2000). La viga tiene una altura , una longitud , un espesor de y el ancho de la entalla fue de 2,5 mm y el largo de ésta de 23,13 mm.

Figura 5. Viga de tres puntos: (a) esquema general, (b) malla de elementos finitos deformada

Las características mecánicas de la matriz de concreto simple son las siguientes: módulo de Young , relación de Poisson y resistencia a la compresión . En cambio, las fibras cortas de acero tienen un módulo de Young , una relación de Poisson y un esfuerzo de fluencia ; asimismo, su coeficiente de participación volumétrica k^(a) es igual a 0,01, su longitud ^l es de 60 mm y su diámetro ^D es de 2 mm.

Aplicando la ecuación (9) para una relación , se obtiene un factor de eficiencia por la dirección de la fibra fuera del plano .

El área de la sección transversal de cada fibra es de , por lo tanto para una cuantía el área total de la sección transversal es igual a y el área transversal de la matriz de concreto es de . Suponiendo una sección transversal total cuadrada, la separación mínima entre dos fibras vecinas paralelas R será igual al lado de tal cuadrado, es decir . Obtenidas las relaciones y , y el factor de eficiencia por variación de esfuerzos en los extremos de la fibra es igual a 0,8176.

El número de muestras elegido obedece a la baja desviación estándar observada en el ensayo uniaxial para tamaño relativo de elemento finito ^TREF entre 0,001 y 0,002, como lo indica la figura 4 .

De un análisis estocástico de los resultados de la deflexión en la mitad de la luz ^δ y del esfuerzo principal máximo en tracción se obtuvo un valor promedio de la deflexión con una desviación estándar del ^0.05%, y un valor medio del esfuerzo con una desviación estándar del ^0.85% .

Adicionalmente, analizando la viga de tres puntos con coeficientes de participación volumétrica de 0,005 y de 0,015, también se obtuvieron deflexiones y esfuerzos medios con dispersiones muy pequeñas, como lo indica la figura 7 .

El modelo presentado permite reproducir el comportamiento elástico de elementos estructurales de concreto reforzado con fibras cortas mediante dos rangos de análisis: un análisis determinista, en el cual cada elemento finito está asociado a un material compuesto de dirección material aleatoria, y un análisis estocástico, donde se coleccionan los eventos obtenidos de los resultados del análisis determinista y se estudia su dispersión con respecto a los valores promedio.

El comportamiento elástico del CRFC se obtiene de cuatro propiedades de los materiales componentes: el módulo de Young y la relación de Poisson de la matriz de concreto simple, y el módulo de Young y el coeficiente de participación volumétrica de las fibras de acero.

Mediante el modelo descrito se demuestra que el comportamiento ortótropo de dirección material aleatoria de cada punto del cuerpo se puede representar como un comportamiento isótropo aproximado del elemento estructural.

En el análisis estocástico el tamaño del campo de muestreo determina la dispersión de la respuesta. En la obtención del módulo de elasticidad equivalente promedio, a medida que aumenta tamaño del campo de muestreo la desviación estándar se reduce, sin embargo esta disminución tiene una asíntota determinada por la densidad de la malla. A mallas más finas se requiere un campo muestral menor para obtener desviaciones estándar constantes más bajas.

Por medio de este modelo se pueden simular ensayos experimentales de elementos estructurales con el fin de determinar desplazamientos, deformaciones y esfuerzos promedios, con sus respectivas desviaciones estándar. Como aplicación se simuló el comportamiento de una viga entallada con una carga puntual en el centro de la luz, con tres cantidades diferentes de fibras de refuerzo, obteniendo desviaciones estándar menores al 0,1% en su deflexión.

Los autores agradecen la financiación recibida por la Dirección Nacional de Investigación de la Universidad Nacional de Colombia, mediante el proyecto DIB – 7006.

Deformaciones longitudinales del concreto, del acero y del material compuesto en dirección de la fibra.

Módulo de Young del concreto y del acero y módulo de cortante del concreto.

Relación de Poisson y módulos de elasticidad paralelo y perpendicular a la fibra del material compuesto.

Valor promedio y desviación estándar del módulo de elasticidad equivalente del conjunto de eventos realizados.

Módulo de elasticidad equivalente a un material isótropo en el evento .

Fracciones de participación volumétrica de la matriz de concreto y de las fibras de acero.

Volúmenes de concreto y de las fibras de acero contenidos en un volumen de referencia del material compuesto.

área y espesor del elemento finito.

L, D, R   Longitud, diámetro y separación promedio de la fibra corta.

Longitud de interfase de la fibra corta, distancia en la cual alcanza su esfuerzo de tensión promedio.

ángulo de orientación de la fibra en el plano xy formado entre los ejes x y , y fuera del plano xy, respectivamente.

ángulo de orientación de la fibra dentro del plano para el elemento finito (e) en el evento .

ángulo de orientación de la fibra fuera del plano xy del sólido y ángulo máximo de orientación de la fibra fuera del plano xy, si el espesor del mismo es inferior a la longitud total de la fibra.

Campo de resultados obtenido del análisis.

m  Cantidad de eventos en el campo de resultados.

Matriz constitutiva elástica en coordenadas materiales y en coordenadas globales, respectivamente.

[ T ]  Matriz de transformación en términos del ángulo θ.

q   Carga aplicada por unidad de área sobre uno de los lados del sólido.

TREF  Tamaño relativo del elemento finito.

Deflexión y deflexión promedio en la mitad de la luz de la viga.

Esfuerzo principal máximo a tracción del compuesto y su valor promedio, respectivamente.

Resistencia a la compresión del concreto empleado en el ensayo de la viga.

Esfuerzo cortante actuante sobre la superficie de la fibra cuando ésta se encuentra sometida a la tensión de falla.

Resistencia de la fibra a tracción.

ACI, Technical Report ACI 544.2R., Measurement of Properties of Fiber Reinforced Concrete., United States of America, 1989.         [ Links ]

ACI, Technical Report ACI 544.1R., State of the Art Report on Fiber Reinforced Concrete., United States of America, 1996.         [ Links ]

ACI, Technical Report ACI 506.1R., Committee Report on Fiber Reinforced Shotcrete., United States of America, 1998.         [ Links ]

Dvorak, G., Bahei-el-Din, Y., Plasticity analysis of fibrous composites., Journal of Applied Mechanics, Vol. 49, 1982, pp. 327-335.         [ Links ]

Ferrara, L., Gettu, R., Non-local damage analysis of three-point bending tests on SFRC notched beams., Fifth RILEM symposium on fibre-reinforced concrete (FRC), 2000, pp. 357-367.         [ Links ]

Hughes, T. J. R., The finite element method., New York, Dover, 2000.         [ Links ]

Linero, D., PEFiCA - Programa de elementos finitos a código abierto. versión 1.0., Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, 2010.         [ Links ]

Matthews, F. L., Rawlings, R. D., Composite materials: engineering and Science., Cambridge, Woodhead Publishing Limited, 1994.         [ Links ]

Oller, S., Simulación numérica del comportamiento mecánico de los materiales compuestos., Barcelona, CIMNE, 2003.         [ Links ]

Oñate, E., Structural Analysis with the Finite Element Method., CIMNE - Springer, 2009.         [ Links ]

Oñate, E., Zárate, F., Cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos., Barcelona, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 1995.         [ Links ]

Ostoja-Starzewski, M., Microestructural randomness and scaling in mechanics of materials., Boca Raton, USA, Chapman & Hall/CRC, 2008.         [ Links ]

Weaver, J., Johnson, C., Finite elements for structural analysis., New Jersey, Prentice Hall, 1984.         [ Links ]