Solution for the hydrothermal dispatch problem using Monte Carlo simulation and interior point

Alejandro Garcés Ruiz; Oscar Gómez Carmona*

Ingeniería y Tecnología Eléctrica, Universidad Tecnológica de Pereira, Apartado Aéreo 097, La Julita, Pereira, Colombia

Resumen

El despacho hidrotérmico determina la relación adecuada entre la generación hidráulica y la generación térmica de tal forma que el costo operativo sea óptimo durante el período de planeamiento, cumpliendo con las restricciones de generación, transmisión y demanda; además, establece el uso racional y eficiente de los recursos energéticos de los sistemas eléctricos de potencia. En muchos casos el problema del despacho hidrotérmico es simplificado para encontrar una solución en un tiempo computacionalmente razonable. Entre las principales simplificaciones se encuentran: linealizar las funciones de costo de las plantas térmicas, eliminar las restricciones de la red de tal forma que el despacho se realice a nodo único y considerar la demanda y el caudal de forma determinística. En este articulo se presenta un método de solución al problema del despacho hidrotérmico mediante las técnicas de punto interior y simulación de Monte Carlo, el modelo propuesto considera las curvas de costo de las plantas térmicas, las restricciones de la red, la incertidumbre en el pronóstico de la demanda y la aleatoriedad en las afluencias lo cual permite obtener distribuciones de probabilidad en las variables de salida del problema (función de costos, potencias generadas, etc).

Palabras Clave: Despacho hidrotérmico, simulación de Monte Carlo, método de punto interior, programación no lineal, optimización estocástica.

Abstract

Hydrothermal dispatch establishes the suitable relation between hydraulic and thermal generation with optimal operative cost in a planning period, according to generation, transmission and load restrictions; moreover, it establishes the rational and efficient use of the energetic resources in the power electric systems. Normally the hydrothermal dispatch problem has been simplified to find a solution with a reasonable computational time. The principal simplifications have been: to fit lineally the thermal functions cost, to eliminate the network restrictions, to dispatch in a unique node and to consider the load and reservoir flow in a deterministic way. This paper presents a methodology which solves the hydrothermal dispatch problem using interior point method and Monte Carlo simulation, the proposed model considers the thermal cost curves, the network restrictions and the stochastic forecasting of load and reservoirs flow, allowing to obtain probability distributions of the output variables (cost function, output power, etc).

Keywords: Hydrothermal dispatch, Monte Carlo simulation, interior point method, nonlinear programming, stochastic optimization.

Introducción

Para un sistema eléctrico de potencia con generación térmica e hidráulica, el despacho hidrotérmico asigna a cada una de las centrales, la generación óptima en cada periodo de tiempo, minimizando el costo operativo total a lo largo del horizonte de planeamiento, considerando las restricciones de: operación (red de transmisión y capacidades de las centrales), disponibilidad (recurso hídrico) y abastecimiento total de la demanda. El problema del despacho hidrotérmico, se puede resolver a largo, mediano y corto plazo. A largo plazo, el horizonte varía entre uno y cinco años, con etapas anuales o trimestrales. A mediano plazo el horizonte de estudio es generalmente un año y tiene como objetivo, la programación mensual o semanal de la generación; la información con la que se cuenta es más detallada que para el caso de largo plazo y está compuesta por análisis de predicción de demanda y análisis de disponibilidad del recurso hídrico. Finalmente, el despacho hidrotérmico a corto plazo determina la programación horaria que cumple requerimientos de confiabilidad, seguridad y economía del sistema. La principal dificultad de este problema radica en el acople temporal (figura 1) de las centrales de generación hidráulica donde una decisión operativa presente afecta la operación futura (problema dinámico).

Figura 1 Acoplamiento en el tiempo para el problema del despacho hidrotérmico

Este problema ha sido ampliamente documentado por la literatura internacional [5] y se han presentado soluciones mediante varios métodos, tales como, la programación dinámica (determinística y estocástica) [6, 7], programación lineal [8], relajación lagranjeana [9], algoritmos de optimización combinatorial [10-13], métodos lineales de punto interior para programación lineal[14] y métodos híbridos [15]. Algunos trabajos consideran la característica estocástica de la demanda y la hidrología mediante métodos estadísticos [16], funciones de membresía fuzzy [17], análisis de escenarios [18] pero no se han utilizado técnicas de simulación probabilística para determinar el comportamiento aleatorio del despacho.

En este trabajo, se presenta el método de simulación de Monte Carlo y su aplicación al problema del despacho hidrotérmico. Se incluye el modelo matemático del problema, el modelamiento estocástico de las variables y la solución mediante la técnica de punto interior. Finalmente, se presenta un caso de prueba característico de la literatura internacional con las respectivas modificaciones para la aplicación de la metodología propuesta.

Simulación de Monte Carlo

La simulación de Monte Carlo es una técnica que permite obtener el comportamiento de un escenario real, a través de experimentos con el modelo matemático que lo representa [19]. Permite obtener información cuantificable, sobre diferentes escenarios que pueden ocurrir, facilitando la toma de decisiones. Su ventaja radica en el hecho de que considera la probabilidad de ocurrencia de los eventos y observa el efecto en el sistema. Esta técnica, se utiliza cuando:

1. Es imposible observar un proceso en la vida real.

2. Los problemas o procesos dependen de variables estocásticas.

3. La complejidad del problema es tan alta que no se obtienen soluciones analíticas directas para predecir el comportamiento real del sistema.

4. No es posible construir un modelo matemático del proceso o sistema. Dado que la simulación es un proceso matemático requiere:

1. Definición y descripción del problema.

3. Modelamiento de las variables aleatorias del problema.

4. Solución del modelo matemático

Despacho hidrotérmico mediante simulación de Monte Carlo

En el planeamiento de sistemas de potencia, es necesario determinar el despacho hidrotérmico para un escenario futuro definido por el comportamiento de las afluencias y la demanda. Aunque no es práctico examinar todos los escenarios posibles, se puede realizar un muestreo aleatorio que revele un comportamiento típico. La simulación de Monte Carlo es una metodología que permite determinar qué tan robusta es la solución encontrada frente a las variaciones de la afluencia y la demanda, permitiendo realizar un estudio probabilístico de la solución. En concordancia con los pasos expuestos anteriormente, la simulación de Monte Carlo consiste en:

Definición y descripción del problema

El problema abordado es la programación del despacho hidrotérmico a mediano plazo (horizonte de un año discretizado en intervalos mensuales) considerando la aleatoriedad en el recurso hídrico y en la demanda.

Formulación del modelo matemático del problema para un escenario particular

Se utiliza el modelo matemático presentado en [20] y que se muestra en las ecuaciones 1 a 10.

Modelamiento de las variables aleatorias del problema

El problema del despacho hidrotérmico tiene dos variables estocásticas que generan infinidad de escenarios: el recurso hídrico (afluencias) y el comportamiento de la demanda.

Recurso hídrico

Diferentes trabajos sobre despacho hidrotérmico, asumen que existe total certidumbre sobre el suministro de los recursos hidráulicos de generación o que es 100% confiable. Realmente, en el caso de plantas hidráulicas con embalses de poca regulación, la capacidad de generación disponible en un momento dado, es una variable que depende de la hidrología, la cual esta controlada por fenómenos climatológicos que son de naturaleza aleatoria. Dado que se está realizando un despacho hidrotérmico a mediano plazo, se modelarán las afluencias mediante funciones de probabilidad mensual, es decir, cada mes tendrá su propio modelo de probabilidad de tal forma que se conserve la dependencia hidrológica con el tiempo (meses lluviosos y secos).

Demanda del sistema

La demanda futura del sistema de potencia, es un fenómeno aleatorio que depende de variables económicas, demográficas, políticas y sociales y no es posible predecir en forma exacta cuál será su valor futuro. Con el fin de determinar esta demanda y su comportamiento, se realizan dos tipos de estudios: estudios de pronóstico de la demanda (load forecasting), en los cuales se predice para un año futuro el valor de la demanda máxima dentro de un rango probable de ocurrencia (incertidumbre) y estudios de modelamiento de la demanda (load modeling), en los que se pretende capturar el patrón de comportamiento. Para modelar la demanda, se utilizarán curvas de demanda de potencia mensual para cada uno de los nodos de carga de tal forma que coincida con el modelamiento a mediano plazo y se conserven los comportamientos típicos de demanda en cada unos de los nodos del sistema, además, se considerará un nivel de incertidumbre en el pronóstico de la demanda (figura 2).

Solución del modelo matemático

El modelo matemático es solucionado mediante la técnica de punto interior. Su principio básico es la transformación del problema original en una secuencia de sistemas no lineales que se aproximan de forma sucesiva a las condiciones de karush-kunth tuker. Para ello se utiliza el método de barrera logarítmica presentado en [21]. El método asegura que las soluciones se encuentren en el interior de las restricciones de desigualdad siguiendo una dirección combinada entre centralidad y gradiente. Existen múltiples métodos de punto interior entre los que se destacan los métodos de punto interior de alta orden: Método primal dual, Método predictor corrector y Método predictor corrector con múltiples pasos de corrección. Esta última como se demostró en [22] presenta un menor tiempo de cálculo para este tipo de problemas, lo cual es especialmente importante para metodologías de simulación como la propuesta en este trabajo.

Para un escenario de afluencia y demanda determinado, el modelo descrito (ecuaciones 1-10) puede ser representado como un problema de programación no lineal (PNL) de la forma:

En este caso: f(x), g(x), h(x), Ix, h^u, h^l, x_u, x_l son la función de costos, el conjunto de restricciones de igualdad, el conjunto de restricciones de des­igualdad, el conjunto de variables canalizadas, los límites superior e inferior de h(x), y los lími­tes superior e inferior de Ix respectivamente. Así mismo, se definen las cantidades nx, ndx, ndg, ndh como el número de variables del problema, el número de variables canalizadas, el número de restricciones de igualdad y el número de restricciones de desigualdad respectivamente. Usando las variables de holgura (s_1j,s_2j,s_3j,s_4j> 0) para transformar las restricciones de desigualdad en restricciones de igualdad e introduciendo las con­diciones de no negatividad en la función objetivo como términos de barrera logarítmica, el sistema es transformado en:

donde µ^k es un parámetro de barrera que decrece en forma monótona a cero en el proceso iterativo. A medida que el parámetro de barrera tiende a cero, el óptimo de la función de barrera logarítmica tiende al óptimo de la función original. Para dar solución a este problema se plantea la función Lagrangeana:

Derivando la función L_µ respecto a las variables w se obtiene una función F(w)=0 que corresponde con las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden:

donde e corresponde a un vector cuyos elementos son iguales a 1.

En el caso del modelo de despacho propuesto, las matrices Jacobianas (J_F) de las restricciones presentan valores constantes, hecho que simplifica la metodología. No obstante, el sistema de ecuaciones resultante es no lineal y de gran tamaño por lo que puede ser resuelto iterativamente por el método de Newton, así:

La eficiencia computacional en la solución de este sistema es particularmente importante en este caso ya que la subrutina de punto interior debe ser ejecutada un alto número de veces para asegurar la convergencia de la simulación de Monte Carlo, para esto es necesario recurrir a técnicas de almacenamiento y operación de matrices dispersas haciendo uso de esta característica implícita en el modelo.

La matriz J_F(w^k) se obtienen con las derivadas parciales de segundo orden de F(w^k):

donde Z_i son matrices diagonales con las componentes z_i.

El cálculo de necesita de la Hessiana de la función objetivo H_f(xk), la Hessiana de las restricciones de igualdad H_g(xk) y la Hessiana de las restricciones de desigualdad H_h(xk), en cada iteración k. Para el problema tratado:

donde C es una matriz diagonal que contiene los términos cuadráticos de las funciones de costo de las plantas térmicas y por tanto es constante.

Inicialización de variables y sus características

El punto inicial debe satisfacer las restricciones de desigualdad (punto interior en el espacio de soluciones):

Como el proceso de convergencia es sensible al punto inicial, una manera de inicializar las variables primales consiste en tomar el punto medio entre los límites superior e inferior de aquellas variables canalizadas y ceros para las variables libres [21]. Las variables y_i son cero al inicio del proceso y para las variables de holgura primal se tiene:

donde h^Δ = h^u - h^l, y x^Δ_j = x^u - x^l, típicamente τ = 0,25.

Finalmente, las variables de holgura dual son inicializadas de la siguiente manera:

Después de obtener las direcciones Δw^k, los nuevos valores de las variables para la iteración k+1 son obtenidos de la siguiente forma:

El valor de γ se encuentra entre 0 y 1, y es un parámetro de seguridad para garantizar que el próximo punto satisfaga las condiciones de no negatividad. Un valor típico es γ=0,99995. Los escalares α^k_p y α^k_d ? (0, 1], son las longitudes de paso primal y dual, respectivamente para la iteración k. Estos valores son calculados de tal forma que el nuevo punto continúe en el interior del espacio de soluciones.

Reducción del parámetro de barrera

Como se mostró anteriormente, la reducción del parámetro de barrera permite un acercamiento monótono al óptimo del problema original. No obstante, existen diferentes secuencias de reducción de este parámetro las cuales afectan el tiempo de cálculo. Un esquema de reducción propuesto en [21] utiliza el valor residual de la condición de complementariedad llamado gap de complementariedad, y es calculado en cada iteración k por:

La secuencia {ρ^k}^∞_k=1 debe tender a cero, y la relación entre ρ^k y µ^k, es reducida en cada iteración k en función a la disminución del gap de complementariedad, según la expresión:

Donde β es un parámetro de centralización.

Para compensar los objetivos de reducir µ^k y mejorar la dirección central, β^k se escoge dinámicamente como β^k+1 = max{0,95ßk;0,1}, con valor inicial β⁰=0,2.

Criterios de convergencia

Es necesario definir en qué punto se acepta una solución como óptima dentro del proceso iterativo, para ello se debe garantizar cada uno de los siguientes criterios de convergencia:

Factibilidad Primal:

Factibilidad Dual:

Condición de Optumidad:

Método de punto interior de alto orden

En general los métodos de alto orden, predicen una dirección de búsqueda, afine–scaling, que es corregida posteriormente para mejorar el método y agilizar el proceso de búsqueda de la solución óptima, se presentan los siguientes métodos de alto orden: Método Predictor Corrector (MPC) y Método Predictor con Múltiples Pasos de Corrección (MPMC). Este último es el implementado para la solución del despacho hidrotérmico.

Método predictor – corrector (MPC)

Este método es una modificación del Método Primal – Dual, mejorando el cálculo de las direcciones de búsqueda para acelerar la convergencia. El MPC soluciona dos sistemas lineales en cada iteración, usando la misma matriz cuadrada de coeficientes de (24). La diferencia radica en los vectores F(w^k) del lado derecho de este sistema. Esos dos sistemas definen los pasos predictor y corrector, respectivamente. Adicionando al sistema Newton los términos de segundo orden, se tiene:

donde:

De (48) se obtienen tres componentes para la dirección de búsqueda. Estas direcciones son divididas en dos pasos: Predictor y Corrector para el MPC.

Δw^k_af es la dirección predictor o dirección affine – scaling con µ^k=0.

Δw^k_ce es la dirección central con un µ^k apropiado.

Δw^k_co es la dirección corrector sólo con el tercer vector del lado derecho de (47).

Paso predictor

La dirección affine–scaling es calculada solucionando (47), teniendo en cuenta solamente el primer vector del lado derecho. Esta dirección es usada para aproximar los términos no–lineales Δ de la parte derecha de (48) y para estimar un valor del parámetro de barrera µ^k, que serán usados en el paso corrector. El tamaño de paso primal y dual, en la dirección de affine–scaling, α^af_p y α^af_d son calculados usando (45) y (46) respectivamente y reemplazando k por af. Igualmente el gap de complementariedad del paso predictor es dado por:

Paso corrector

Con los resultados del paso predictor se puede calcular la dirección Δw^k, resolviendo todo el sistema (48). El paso corrector calcula simultáneamente las direcciones Δw^k_ce y Δw^k_co. El esfuerzo adicional en el método predictor–corrector se presenta en el cálculo de Δw^k_af, µ^af, α^af_p y α^pf_d, sin embargo, tiene como ventajas la reducción del número de iteraciones y el tiempo computacional.

Método predictor con múltiples pasos de corrección (MPMC)

Para el caso m=0, Δw^o=Δw^af, y después de realizada la corrección Δw^k=Δw^m, el siguiente paso de corrección (m+1) es efectuado si: a) es posible obtener una disminución del gap de complementariedad (ρm<ρm-1) en la iteración m o b) m es menor que un número máximo de pasos de corrección M (típicamente igual a 5). Cuando el proceso es interrumpido la dirección de búsqueda es Δw^k=Δw^k-1.

Algoritmo de simulación de Monte Carlo aplicado al problema del despacho hidrotérmico

La simulación de Monte Carlo aplicada al problema del despacho hidrotérmico consiste en la ejecución de los siguientes pasos:

1. Se genera un valor de afluencia para cada mes y para cada planta hidráulica del sistema mediante un número aleatorio uniformemente distribuido y la distribución de probabilidad respectiva de afluencia.

2. Se genera un valor de demanda en cada punto de carga y para cada mes mediante un número aleatorio uniformemente distribuido y el rango de incertidumbre en el valor esperado de demanda mensual.

3. Se realiza el despacho hidrotérmico para las condiciones de afluencia y demanda generadas para el sistema, solucionando el problema de optimización planteado en las ecuaciones 1 a 10, mediante el método de punto interior MPMC.

4. Se almacena el costo de generación, la generación hidráulica, la generación térmica y se verifica el criterio de parada.

5. Si el criterio de parada no se cumple (máximo número de iteraciones alcanzadas, coeficiente de variación y estabilidad de la simulación [19]), ir al paso 1 de lo contrario, ir a 6.

donde:

σ_FO: Es la desviación estándar de la función objetivo.

X_FO: Valor medio de la función objetivo.

n: La cantidad de iteraciones en la simulación (muestras).

6. Recoger las observaciones de costos, generación hidráulica y térmica obtenidas y construir las respectivas distribuciones de probabilidad que modelen el comportamiento.

Caso de estudio

La metodología propuesta es aplicada sobre el sistema presentado en [23] con algunas modificaciones y escala puramente teórica:

Tabla 1 Tabla 1 Datos del sistema

Tabla 2 Comportamiento de la demanda (p.u).

Tabla 3 Plantas térmicas

Tabla 4 Plantas hidráulicas

Tabla 5 Demanda máxima del sistema en p.u.

De la tabla 5, alpha y beta corresponden a los parámetros de escala y forma respectivamente y E(X) es el valor esperado de la función. Los modelos anteriores se construyeron a partir de los datos reportados en [1] que consisten del registro de caudales promedios mensuales para un periodo de 35 años del río Otún en la ciudad de Pereira-Colombia. Estos datos fueron normalizados entre 0 y 1 para la correspondencia con los datos mostrados en la tabla 3, además, se asumió una afluencia en la planta 2 del 70% de la planta 1.

Tabla 6 Modelo probabilístico de las afluencias de los embalses en m³/s

Resultados y Discusión

Se realizaron 1080 iteraciones en la Simulación de Monte Carlo obteniendo la estabilidad mostrada en la figura 4 y un coeficiente de variación de 0,0020 (0,20%).

Figura 4 Estabilidad de la simulación (Valor esperado y medio respecto a la cantidad de datos)

La función de costo arrojo un valor medio de 12.914,0312 unidades de costo y mediante técnicas de inferencia estadística se obtuvo el histograma de frecuencias y la distribución de probabilidad mostrada en la figura 5.

Figura 5 Histograma de frecuencias y distribución de probabilidad

La función de distribución encontrada es Normal con parámetros 12.914,0312 y 859,9429. Además del comportamiento de la función de costo del despacho, la metodología propuesta permite obtener las funciones de probabilidad de la generación térmica e hidráulica, los volúmenes y vertimientos mensuales en cada embalse y los racionamientos en los puntos de carga. Para el sistema propuesto, el racionamiento y vertimiento encontrado fue siempre cero ya que se penalizaba en la función objetivo y para cada escenario se encontró una solución óptima. Respecto a la generación hidráulica, el volumen en las plantas hidráulicas y la generación térmica en cada periodo, en la tablas 7, 8 y 9 se muestran las distribuciones de probabilidad obtenidas.

Tabla 7 Modelo probabilístico mensual de la generación hidráulica

Tabla 8 Modelo probabilístico mensual de los volúmenes en las plantas hidráulicas

Tabla 9 Modelo probabilístico mensual de la generación térmica

Adicionalmente se resolvió el problema desde un punto de vista determinístico, utilizando los valores esperados, según las distribuciones de probabilidad de los datos de entrada. La función de costo encontrada bajo este enfoque fue de 12.928,8499 unidades de costo y la generación hidráulica, sus volúmenes y las generación térmica se muestra en la tabla 10.

Comparando las respuestas obtenidas en la tabla 10 con los valores esperados de las distribuciones de probabilidad mostradas en las tablas 7, 8 y 9 se observa que la simulación converge ya que las diferencias encontradas no superan el 10 %. El único inconveniente presentado fue en el ajuste de los resultados obtenidos para la planta térmica 1 en los meses abril, junio y agosto donde normalmente permanece apagada, esto se puede observar en la generación térmica mostrada en la tabla 9.

Conclusiones

A diferencia del enfoque determinístico, el enfoque propuesto permite obtener distribuciones de probabilidad de las diferentes variables asociadas al despacho facilitando la toma de decisiones y la aplicación de otras herramientas de análisis como la evaluación del riesgo. Lo anterior es especialmente importante en el planeamiento energético, donde normalmente hay incertidumbre en el comportamiento de las variables futuras. El modelamiento utilizado para el despacho presenta variantes frente a los modelos convencionales ya que considera la red de transmisión, los costos cuadráticos de las plantas térmicas y la incertidumbre en la demanda futura.

Dado que la simulación de Monte Carlo requiere la evaluación de muchos escenarios, el método de punto interior de alto orden es una herramienta rápida y eficiente para la solución del despacho (problema no lineal) frente a otras metodologías convencionales como las estrategias evolutivas.

La metodología propuesta permite considerar incertidumbre en otras variables del problema como los costos de las plantas térmicas, así mismo, se podría considerar las probabilidades de falla de los elementos del sistema (líneas y generadores) permitiendo realizar un análisis de confiabilidad. La red de transmisión afecta de forma significativa el despacho, ya que introduce restricciones de operación adicionales que normalmente no son consideradas, igualmente, la metodología permite analizar variables del sistema de transmisión como la cargabilidad de los elementos o el racionamiento en los puntos de carga.

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(Recibido el 30 de octubre de 2007. Aceptado el 9 de mayo de 2008)

*Autor de correspondencia: teléfono: + 57 + 6 + 313 73 29 ext 117, fax: + 57 + 6 + 313 71 22 ext 116, correo electrónico: jr@utp.edu.co (O. Gómez).