Two dimensional packing problem using a hybrid constructive algorithm of variable neighborhood search and simulated annealing
Eliana Mirledy Toro1, Alejandro Garcés1 , Hugo Ruiz2
1Facultad de Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira, Apartado Aéreo 097, Risaralda, Colombia
2Programa de Ingeniería Eléctrica, Universidad Tecnológica de Pereira, Apartado Aéreo 097, Risaralda, Colombia.
Resumen
En este trabajo, se modela el empaquetamiento de rectángulos con base en divisiones del área disponible, se utiliza una codificación de árbol binario para disponer las piezas de forma que se garantice el corte de tipo guillotina y se propone un algoritmo dividido en tres etapas que trabajan con estrategias individuales inspiradas en algoritmos de vecindad variable, recocido simulado y técnicas constructivas para lograr la solución del problema. Se comparan las respuestas obtenidas con base en la función objetivo que cuantifica el área utilizada y el porcentaje de utilización del material disponible para cincuenta casos de prueba de la literatura especializada frente a sus respectivas respuestas reportadas obteniéndose excelentes resultados
Palabras clave: empaquetamiento bidimensional, vecindad variable.
In this work, the packing of rectangles is modeled based on divisions of the available area, a binary tree codification is used to arrange the pieces so that the guillotines type cutting is guaranteed. A three stages algorithm with individual strategies inspired by algorithms of variable neighborhood search simulated annealing and constructive techniques are used to obtain the solution of the problem. The results obtained are compared using the objective function and percentage used of available area with fifty test cases of the specialized literature and their respective wellknown answer with excellent results.
Keywords: Guillotine, twodimensional cutting, variable neighborhood search, optimization.
Introducción
Los problemas de corte y empaquetamiento pertenecen a la categoría de problemas de optimización combinatoria denominados Np completos debido a que el espacio de soluciones crece de forma exponencial de acuerdo al número de piezas a ser ubicadas. Si por ejemplo se tienen n piezas a ser ubicadas, entonces el espacio de soluciones estará dado por 2n *n! [1]. Este tipo de problema es fácil de definir intuitivamente aunque no son fáciles de modelar formalmente y presentan grados de dificultad que hacen difícil el manejo computacional. En ellos se tiene un conjunto de piezas de diferentes tamaños y formas que deben ser localizadas sobre un tablero de material de mayor tamaño sin superponerse unas sobre otras. El objetivo de tal disposición es maximizar el área utilizada de forma que se generen la menor cantidad de área desperdiciada. Existen diferentes criterios para clasificar los problemas de empaquetado, como son el tamaño y la cantidad de las piezas, las dimensiones del problema, etc.
Un caso particular de esta familia de problemas, lo constituye el problema de corte de piezas rectangulares desde tableros también rectangulares con el fin de satisfacer una demanda predefinida y determinada con base en las solicitudes de los clientes. Además, todos los cortes deben ser de tipo guillotina, es decir, cortando el tablero o parte de él ortogonalmente de lado a lado se obtiene una pieza o un conjunto de piezas. Se exige además, que el número de veces que una determinada pieza sea cortada desde la placa no supere un valor preestablecido. Los problemas de empaquetado tienen una amplia aplicación en distintas facetas industriales: textil, cristal, piel, madera, entre otras. Sin embargo, diferentes inconvenientes particulares a cada problema determinan la disposición de las piezas sobre el patrón. Entre estos inconvenientes se pueden destacar las propiedades del material del patrón (falta de uniformidad en el color, calidad, textura), la tecnología de corte (que obliga a que exista una determinada distancia entre las piezas).
Para resolver este problema la mayor parte de procedimientos reportados en la literatura se basan en técnicas metaheurísticas. En 1977 Christofides y Withlock [2], propusieron un algoritmo exacto de búsqueda en árbol para resolverlo, utilizando para ello el algoritmo previamente propuesto en 1966 por Gilmore y Gomory [3] quienes resuelven un problema de características similares. Por otro lado en 1983 Wang [4], propone un algoritmo de desarrollo incremental del patrón solución. Tal algoritmo es posteriormente mejorado en los trabajos de Vasko en 1989 [5] y Oliveira y Ferreira en 1990[6]. En 1997, Lai y Chan [7] presentan un procedimiento basado en simulated annealing.
En 1998 Parada [8] presenta la solución del problema mediante el simulated annealing usando una codificación de árbol binario. En 2001, Leung [9] utiliza un algoritmo evolutivo, en el que usan la representación de las soluciones de Lai y Chan . En 2003 Beasley [10] presenta un algoritmo genético para el caso general. El algoritmo está basado en una nueva formulación no lineal para el problema. La formulación también admite extensiones para el problema con más de un tablero, el problema con algunas zonas del tablero que no se pueden utilizar y el problema donde las piezas se pueden rotar.
En 2007 Yaodong Cui [11] presenta un algoritmo exacto que genera cortes homogéneos en dos segmentos de los que publica las características de los casos de prueba y las respuestas obtenidas.
]]> En este trabajo se presenta una propuesta que emplea la codificación de árbol binario y un algoritmo dividido en tres etapas que trabajan con estrategias individuales inspiradas en algoritmos de vecindad variable [12], recocido simulado [13] y técnicas constructivas para lograr la solución del problema, para evaluar la eficiencia de la técnica de solución propuesta se utilizan los casos de prueba usados en la referencia [11].Problema de Corte Bidimensional Tipo Guillotina
El problema de corte de piezas bidimensional restricto para cortes guillotinados consiste en la obtención de un patrón de cortes del tipo guillotina, para una lámina o tablero rectangular, desde donde se desea obtener un conjunto determinado de piezas rectangulares más pequeñas bajo una demanda establecida, con el propósito de minimizar la pérdida de material cortado o maximizar el área utilizada.
Definición del problema
Dado un número finito n de piezas rectangulares de área Ai=xiAyi que deben ser ubicadas en un tablero igualmente rectangular de área AT=xTAyT.El problema se define como restringido cuando se limita el número máximo de piezas (D) a ubicar de cada tipo. No es necesario que todas las piezas sean ubicadas en el tablero. La función objetivo consiste en maximizar el área efectiva utilizada en el tablero principal. Una variante al problema considera la rotación de piezas, aspecto que no será considerado en este trabajo.
El modelo propuesto divide el tablero principal en subespacios (S) asegurando que en cada subespacio se ubiquen piezas de un mismo tipo formando una matriz rectangular de piezas como se muestra en la figura 1(a).
Adicional a esto, los subespacios deben ser seleccionados de tal forma que el corte sea tipo guillotina. Un corte es factible de tipo guillotina si cuando al ser aplicado sobre un rectángulo produce dos nuevos rectángulos, es decir, si el corte va de un extremo a otro del rectángulo original; en otro caso se denomina de tipo no guillotina [3].
En cada subespacio generado por los cortes tipo guillotina debe ser ubicada la mayor cantidad de piezas del mismo tipo de tal forma que el desperdicio total sea minimizado, un forma de lograrlo consiste en ubicar piezas del mismo tipo en un arreglo matricial como se muestra en la figura 1(b). Un arreglo de estas características puede ser generado por una secuencia de cortes guillotina aún en los casos en donde la demanda restrinja posiciones nulas (espacio sin utilizar).
Figura 1 Generación de subespacios
]]> Cuando se resuelve un problema de tipo no guillotina el valor de la función objetivo considerada como el máximo de área utilizada será mayor que si se resuelve el problema donde se consideren los cortes de tipo guillotina, esta restricción hace más complejo el modelo matemático y la solución del mismo. El problema del corte de piezas ha sido ampliamente estudiado, debido a la variedad de aplicaciones prácticas en el ámbito de la Ingeniería y muchas de ellas requieren que los cortes sean de tipo guillotina.Modelo matemático
El problema propuesto puede ser modelado matemáticamente de la siguiente forma:
Sujeto a:
En donde
f : función objetivo : maximizar el área total utilizada.
Ai : área de cada una de las posibles piezas.
xi : ancho de la pieza i
]]> yi : alto de la pieza iUki : número de piezas del tipo i colocadas en el sub espacio k horizontalmente
Vki: número de piezas del tipo i colocadas en el sub espacio k verticalmente
Ns : número de subespacios. (Ec. 9)
N : números naturales (enteros positivos).
n: número de tipos de piezas.
Di : demanda por cada tipo de pieza.
Xk : ancho del subespacio.
Yk: altura del subespacio.
El producto Uki . Vki corresponde al número de piezas totales del tipo i localizadas en el subespacio k, mientras que el número de piezas ubicadas debe ser un número natural tal como se muestra en la Ec.(2). El total el número de elemento de cada tipo debe ser inferior a la demanda del mismo Ec.(3) y en cada subespacio los elementos ubicados en forma de arreglo matricial deben ser factibles lo cual significa que el número de elementos horizontales multiplicados por la longitud de cada elemento debe ser menor a la longitud del subespacio (Xk ) como se muestra en la Ec.(4) y análogamente en la Ec.(5) para el caso vertical.
]]> Para asegurar que las piezas ubicadas en cada subespacio sean del mismo tipo se plantean las Ecs. (6) y (7). Esa restricción además de permitir el desarrollo de un constructivo eficiente, garantiza que los cortes en los subespacios sigan siendo de tipo guillotina. Así mismo, la Ec.(8) indica que el corte debe ser tipo guillotina. La Ec.(8) es la restricción de mayor dificultad a ser modelada matemáticamente por tanto se propone un tipo de codificación que garantice su cumplimiento como se muestra a continuación.Codificación
Para asegurar que los subespacios creados presenten cortes de tipo guillotina se define una codificación de árbol binario complementario el cual además permite un manejo eficiente de la información al utilizar un reducido número de variables para representar una solución.
El número de capas(c) es definido de forma aleatoria y determina el número de variables en la codificación así como el número de subespacios (S) creados. El número de cortes (p) está dado por la Ec. 10:
El número de subespacios (Ns) está dado por la Ec. 11:
Para representar la estructura que genera el subespacio son definidos dos vectores de tamaño igual al número de cortes: el primero 
es un vector de tipo binario que define el tipo de corte (vertical u horizontal), el segundo 
es un vector real con valores entre 0 y 1 que determina la distancia porcentual a la cual se produce el corte con respecto al patrón superior.
Por ejemplo si se decide que el número de capas es 2 entonces se generarán tres cortes que a su vez darán lugar a 4 subespacios como se muestra en la figura 3. Un conjunto de posibles vectores generados aleatoriamente son mostrados en las Ec 12 y 13:
]]> Una ventaja de este tipo de codificación es que cualquier conjunto
es factible siempre y cuando sea binario y este en el intervalo . Por ejemplo, si las dimensiones del tablero base son de 70x42, estas dimensiones representan el 100 % de la primera capa; el primer corte con parámetros T1 = 0 y H1 = 0,65 indica que se hace un corte horizontal al 65% del tablero, esto genera dos espacios de dimensiones 70x14,7 y 70x27,3; el segundo corte T2 = 1 y H2 = 0,4 indica un corte vertical sobre el espacio de 70x27,3. El último corte es aplicado sobre el espacio de 70x14,7. Estos cortes sucesivos generan cuatro subespacios de dimensiones S = {28x27,3 42x27,3 21x14,7 49x14,7}. El proceso se representa mediante el árbol mostrado en la figura 2. Finalmente la figura 3 muestra la división del tablero base. Figura 2 Árbol binario que representa el proceso
Figura 3 Cortes sobre el tablero según el árbol de corte propuesto en la figura 2
Metodología de solución
La codificación propuesta garantiza la factibilidad en cuanto al corte guillotina, esto permite que el problema de optimización con restricciones se transforme en un problema de minimización irrestricto entero mixto en donde las variables T y H son independientes entre sí, esto significa que para cada conjunto de valores de T existe una solución H la cual es óptima (Ec. 14):
De esta forma se puede utilizar cualquier metaheurística para encontrar valores óptimos de T siempre y cuando se utilice un segundo algoritmo que permita encontrar los valores óptimos de H a partir de los valores de T. La ubicación final de las piezas se realiza mediante un tercer algoritmo, esta vez un constructivo que garantiza una solución única para cada conjunto de valores (T,H), este algoritmo es basado en arreglos del mismo tipo como se mostró en la figura 1(b). La figura 4 esquematiza el proceso.
]]> Figura 4 Secuencia de los algoritmosAlgoritmo de búsqueda aleatoria binaria
El algoritmo I determina el valor de la variable binaria T la cual representa el tipo de corte a utilizar y para resolver este algoritmo se utilizó un esquema de vecindario variable [12].
Inicialmente el vecindario de búsqueda consiste en modificar de forma aleatoria una posición en el vector T, posteriormente, si esta modificación no genera una mejora en la función objetivo se procede a modificar dos posiciones y así sucesivamente, en el momento en que la incumbente sea actualizada se regresa nuevamente al primer vecindario. Esta metodología de búsqueda local permite diversificar cuando la función objetivo no es mejorada y hacer una búsqueda local más detallada en el momento de actualizarse la incumbente, de esta forma se logra un algoritmo computacionalmente eficiente.
Algoritmo de búsqueda aleatoria real
El segundo algoritmo determina la variable H a partir de un vector T, para ello utiliza un algoritmo de búsqueda aleatoria que modifica iterativamente una posición del vector H reduciendo paulatinamente el ancho de búsqueda, para ello se utiliza una función delta definida según la Ec. 15:
En donde R corresponde a un número aleatorio en el intervalo [1,1], mientras que k es la iteración actual e IP es el número total de iteraciones del algoritmo. En las primeras iteraciones, el factor que multiplica a R es cercano a 1, por tanto los movimientos son altamente aleatorios, a medida que el algoritmo evoluciona se hace más determinístico por lo cual este factor se acerca a cero. El valor de Hi estará dado por la Ec. 16:
Este algoritmo está inspirado en la filosofía del recocido simulado [13] en donde a medida que el proceso evoluciona entonces el grado de aleatoriedad disminuye.
]]>
Algoritmo constructivo
El algoritmo constructivo ubica las piezas en los diferentes subespacios definidos por los vectores H y T. Como cada subespacio debe ubicar arreglos del mismo tipo solo vasta determinar cuál es el desperdicio para cada tipo de arreglo asegurando que se cumpla la restricción de demanda como se muestra a continuación.
La solución encontrada por este algoritmo es única ya que no incluye ninguna sentencia con aleatoriedad; por ejemplo para el tablero de 70x42 anteriormente descrito con los valores de T y H dados por las ecuaciones (12) y (13) y los parámetros mostrados en la tabla 1, el algoritmo constructivo obtiene el corte mostrado en la figura 5, en donde las áreas punteadas corresponden al material sin utilizar.
Tabla 1 Datos del problema
Figura 5 Solución obtenida
Resultados y discusión
]]> Se tomaron 50 casos de prueba de la literatura especializada que pueden ser obtenidos de [11]. Cada caso presenta 20 tipos de piezas rectangulares a ser ubicadas sin permitir rotación.Después de calibrar los parámetros a través de 1000 ejecuciones del algoritmo para distintos casos, los mejores resultados se obtuvieron con los valores que aparecen en la tabla 2.
Tabla 2 Valor de los parámetros
Las iteraciones globales se refieren al número de iteraciones del algoritmo I mientras que las iteraciones parciales se refieren al número de iteraciones del algoritmo II.
En las tablas 3 y 4 se muestran los 50 casos donde se comparan las respuestas obtenidas en función del área utilizada y el porcentaje de utilización. Para 42 de ellos se obtuvieron mejores respuestas que las mejores conocidas. Cada caso se evaluó 10 veces con los parámetros de la tabla 2.
Tabla 3 Resultados para los casos del 1 al 25
Tabla 4 Resultados para los casos del 26 al 50
]]> En las gráficas 6 y 7, se comparan las mejores respuestas obtenidas para todos los casos con la mejor respuesta conocida en la literatura.En la tabla 5 y la figura 8, se presenta un resumen de los resultados obtenidos con base en el porcentaje de mejora. Se observan respuestas de mejor calidad para la gran mayoría de los casos reportados en [11] y los no superados quedaron muy próximos a la mejor respuesta conocida.
Tabla 5 Resumen de respuestas
Figura 6 Comparación resultados del 1 al 25
Figura 7 Comparación de resultados del 26 al 50
Figura 8 Resumen de respuestas
]]> Con el fin de conocer la eficiencia del algoritmo propuesto se realizaron 90 corridas para el caso 25 cuyos resultados fueron agrupados según la siguiente distribución de frecuencias que se muestran en la tabla 6.Para realizar el ajuste a una distribución de probabilidad fue usado el programa crystall ball 2000.2.2 obteniéndose el resultado mostrado en la figura 9.
Tabla 6 Distribución de frecuencias caso 25
Figura 9 Distribución de probabilidad caso 25
Esta distribución pertenece a una normal con parámetros:
μ = 96,8567 σ = 0,7585
Con base en estos parámetros se calcula la probabilidad de encontrar un valor igual o mejor a la mejor solución reportada en la literatura que para este caso es de 96,019
Finalmente, se desea mostrar la mejor solución lograda por el algoritmo propuesto, se presenta la solución al caso 10 para el cual se obtuvo una solución 4,16 % mejor a lo reportada. En la figura 10 se presenta la configuración óptima en donde las áreas en negro representan el material sin utilizar.
Figura 10 Solución obtenida para el caso 10
Conclusiones y recomendaciones
Se implementó un algoritmo para la solución del problema de corte bidimensional tipo guillotina y se solucionó usando un algoritmo híbrido que combina técnicas inspiradas en búsqueda en vecindario variable, recocido simulado y técnicas constructivas.
Los patrones de corte obtenidos son de fácil implementación práctica, especialmente cuando no se cuenta con máquinas de corte de control numérico ya que se entregan disposiciones homogéneas para cortar las piezas de acuerdo a la demanda.
La escala de los problemas de prueba es comparable con muchos problemas prácticos de corte. Los resultados computacionales fueron satisfactorios comparados con las mejores respuestas conocidas de la literatura especializada.
Se ha realizado un análisis estadístico para demostrar la eficiencia de la metodología propuesta y tener conocimiento sobre el porcentaje de mejora al momento de realizar un ensayo en particular. Para ello se tomaron 90 muestras de un mismo caso, cuyos parámetros se ajustan a una distribución normal. Los resultados obtenidos muestran que el algoritmo propuesto presenta una alta eficiencia en la gran mayoría de los casos estudiados.
El tipo de codificación para representar el problema bidimensional restricto basado en árboles binarios garantiza que los patrones que se obtengan sean de tipo guillotina; por la estructura de la misma, se facilita la generación de soluciones vecinas y el cálculo del valor de la función objetivo.
]]> Se destaca la importancia de aplicar conjuntamente una codificación eficiente con técnicas metaheurísticas que se adapten adecuadamente a la naturaleza del problema en estudio.Dentro de los trabajos futuros podrían resolverse casos de prueba en donde las condiciones del problema permitan rotación de las piezas; además, se podría hacer la extensión para el problema de corte bidimensional cuando las figuras demandadas son polígonos, formulando el problema de forma que pueda realizarse una reducción del problema a uno de empaquetamiento de rectángulos con algunas consideraciones. Adicionalmente, se desarrolla un método de solución eficiente para resolver este tipo de problemas.
Agradecimientos
Los autores desean expresar su agradecimiento a la Maestría en Investigación de Operaciones y Estadística de la Facultad de Ingeniería Industrial y al grupo de Planeamiento en sistemas eléctricos del programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira por su apoyo en la realización de esta investigación.
Referencias
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(Recibido el 20 de febrero de 2008. Aceptado el 30 de junio de 2008)
*Autor de correspondencia: Teléfono: + 57 + 6 + 313 73 00, fax + 57 + 6 + 321 32 06, correo electrónico: alejandrog@ohm.utp.edu.co (A. Garcés).
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