Structural behavior and forecast of macroeconomic variables: combining DSGE and VAR

Comportamento estrutural e preditivo de variáveis macroeconômicas: combinando MEEGD e VAR

Daniel Barráez Guzmán ^**; Mariela Perdomo León ^***

^** Doctor y Licenciado en Matemáticas de la Universidad Central de Venezuela, con Postdoctorado en la Université de Paris Sud, Francia. Profesor de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Central de Venezuela y Jefe del Dpto. de Modelos Económicos del Banco Central de Venezuela. Dirección postal: 1010, Esquina Las Carmelitas, Edificio Sede, piso 2, Departamento de Modelos Económicos, Caracas, Venezuela. Teléfono: (58212) 8015490. Correo electrónico: dbarraez@bcv.org.ve ]]> . ^*** Magíster en Modelos Aleatorios de la Universidad Central de Venezuela, Profesora en Matemáticas egresada de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Caracas. Analista Económico en el Banco Central de Venezuela. Dirección postal: 1010, Esquina Las Carmelitas, Edificio Sede, piso 2, Oficina de Investigaciones Económicas, Caracas, Venezuela. Teléfono: (58212)8018818. Correo electrónico: mariperd@bcv.org.ve. Los programas computacionales para efectuar las estimaciones del modelo y los datos correspondientes, están disponibles en la página web de la autora en http://www.redeconomia.org.ve.

Recibido: agosto 13 de 2010 Aceptado: octubre 21 de 2010

Palabras Clave
Modelo estocástico de equilibrio general dinámico, VAR, estimación bayesiana, predicción.

Clasificación JEL: C11, C53, E37.

Contenido ]]> Introducción; 1. El modelo estocástico de equilibrio general; 2.Vector autoregresivo bayesiano; 3. El algoritmo de estimación; 4. Desempeño predictivo; 5.Conclusiones; Bibliografía; Anexos.

Key Words
Dynamic stochastic general equilibrium model, VAR, bayesian estimation, forecast.

JEL Classification: C11, C53, E37.

Content
Introduction; 1. The general equilibrium stochastic model; 2.Bayesian autoregressive vector; 3. The estimation algorithm; 4. Predictive performance; 5. Conclusions; Bibliography.

Palavras-Chave
Modelo estocástico de equilíbrio geral dinâmico, VAR, estimação bayesiana, predição.

Conteúdo
Introdução; 1. O modelo estocástico de equilíbrio geral; 2. Vetor autoregresivo bayesiano; 3. O Algoritmo de estimação; 4. Desempenho preditivo; 5. Conclusões; Bibliografia; Anexos.

Introducción

Los modelos estocásticos de equilibrio general dinámico (MEEGD) y los vectores auto-regresivos (VAR) se han convertido en herramientas estándares en el medio académico y en las instituciones que diseñan y ejecutan políticas económicas. Los MEEGD proveen un marco conceptual que integra en un mismo modelo, la interrelación entre la dinámica del ciclo económico, la inflación y la política monetaria. Su fundamentación microeconómica permite analizar los efectos de los shocks estructurales, o shocks con sentido económico, en la dinámica de una economía. Sin embargo, la utilización de estos modelos en la Banca Central se ha visto limitada por su bajo desempeño predictivo en comparación con otras herramientas. Para las instituciones diseñadoras y ejecutoras de políticas económicas, predecir los efectos de una política determinada es crucial para la toma de decisiones. Los VAR son las herramientas predilectas por estas instituciones debido a su buen rendimiento predictivo. Sin embargo, los shocks que se estiman mediante un VAR son shocks predictivos que no permiten computar la respuesta dinámica a los shocks estructurales. Para identificar los shocks estructurales a partir de los shocks predictivos se ha desarrollado una vasta y sofisticada literatura (Christiano, Eichenbaum y Evans, 1999). Recientemente se han hecho importantes progresos para mejorar la capacidad predictiva de los MEEGD, entre los que destacan los trabajos de Smets y Wouters (2003) y Schorfheide y Del Negro (2004) que combinan ambos tipos de Modelos.

En Schorfheide y Del Negro (2004), con las simulaciones generadas por un MEEGD, se construyen las densidades a priori de los parámetros de un VAR bayesiano (BVAR). Combinando la densidad a priori con la verosimilitud de las series observadas, se estima conjuntamente la densidad a posteriori de los parámetros del BVAR y del MEEG. El BVAR y el MEEGD, resultantes de este proceso de estimación, los denominaremos el BVAR-MEEGD. Entre las principales ventajas de la metodología de Schorfheide y Del Negro (2004) podemos señalar, en primer lugar, que permite estimar de manera conjunta los parámetros del BVAR y del MEEGD. De modo que esta metodología proporciona un modelo dinámico de naturaleza estructural para la comprensión de la dinámica económica y al mismo tiempo un modelo predictivo, altamente valorado para su uso en el diseño de política económica. Además, permite construir densidades a priori de una BVAR fundamentado económicamente, a diferencia de las densidades a priori comúnmente empleadas cuya motivación es de naturaleza estadística. Es computacionalmente eficiente: el cálculo de la verosimilitud del BVAR y del MEEGD no requiere del Algoritmo de Kalman, que es la herramienta con la que usualmente se calcula la verosimilitud de los MEEGD. Provee una solución alternativa a las ya conocidas, al problema de identificación del VAR estructural, de una manera natural y sin mayor costo computacional.

El modelo BVAR-MEEGD presupone que las series de datos observables con las que se efectúa la estimación son estacionarias, un supuesto que no presenta inconvenientes para la economías de países como USA. Las economías de los países latinoamericanos, y los países emergentes en general, presentan un comportamiento menos estable. ¿Los modelos BVAR-MEEGD para estas economías tienen sentido? ¿Es la técnica de estimación lo suficientemente robusta como para superar los problemas de irregularidades de las series de datos observables? En este trabajo se intenta dar respuesta a estas interrogantes, estimando un BVAR-MEEGD para la economía venezolana, cuyo comportamiento es menos estable que las economías desarrolladas, y evaluando su comportamiento tanto predictivo como estructural. Para ello, se considera un modelo estilizado neokeynesiano planteado en Woodford (2003), que tiene como variables observables (que son, a su vez, las variables endógenas del VAR) el producto, la inflación y las tasa de interés. Se presentan comparaciones del desempeño predictivo entre el BVAR-MEEGD y de dos referentes de predicción macroeconómica, un VAR estimado por mínimos cuadrados ordinarios y el BVAR de Litterman (1985). Los resultados de esta comparación muestran que las proyecciones de la inflación y las tasas de interés del BVAR-MEEGD superan a los dos referentes mencionados. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante mínimos cuadrados ordinarios, se observa también un buen desempeño predictivo. Se evalúa el comportamiento estructural de las variables del modelo ante un shock monetario mediante el análisis de las funciones impulso-respuesta del MEEGD. El comportamiento observado es consistente con la teoría económica.

El trabajo está estructurado de la manera siguiente: en la primera sección, se presenta el MEEGD, su loglinealización y las ecuaciones de evolución de las observaciones. En la segunda sección, se construye el BVAR-MEEGD de Schorfheide y Del Negro (2004), su densidad a priori y su densidad a posteriori. En la tercera, se presenta el algoritmo de estimación. En la cuarta sección, se analizan los resultados de las comparaciones de los desempeños predictivos de los distintos VAR y las respuestas del MEEGD ante shocks monetarios. Finalmente, se presentan las conclusiones.

1. El modelo estocástico de equilibrio general dinámico (MEEGD)

En esta sección se presenta brevemente el modelo estocástico de equilibrio general dinámico considerado en este trabajo; para mayores detalles acerca del modelo se puede consultar King (2000), Woodford (2003) o Schorfheide y Del Negro (2004). Es un modelo de un agente representativo, los hogares, un continuo de firmas monopolísticas con una función de costos de ajustes de precios cuadráticos, y una autoridad monetaria que fija las tasa de interés de acuerdo con una regla de Taylor (Taylor, 1993).

Las preferencias de los hogares, en términos de consumo y ocio, y de su balance real¹ de efectivo se expresan en la siguiente función de utilidad.

(1)

Donde E_t es el operador de expectativas, β es el factor de descuento, τ es el parámetro de aversión al riesgo, C_s, A_s y h_s representan el consumo, el factor de productividad y las horas trabajadas en el período de tiempo s, respectivamente. M_s/P_s denota los balances reales, Χ el factor de escala y P_s es el nivel de precios nominal. La inflación en el período de tiempo t la denotaremos mediante π=P_t/P_t-1.

La restricción presupuestaria de los hogares está dada por,

(2)

En este caso B_t / P_t representa los bonos, T_t / P_t los impuestos, W_t el salario real, R_t-1 las tasas de interés y D_t los beneficios de las firmas que son distribuidos uniformemente a los hogares.

La oferta agregada es generada por un continuo de firmas monopolísticas competitivas. La función de demanda de la j-ésima firma está dada por,

(3)

Donde P_t(j) es el nivel de precios que maximiza los beneficios de las firmas para un nivel de producción X_t(j) y v la elasticidad de sustitución entre diferentes bienes. La rigidez de precios se modela mediante la función cuadrática de costos de menú,

(4)

Donde φ representa un parámetro que caracteriza el grado de rigidez de los precios y π^* la inflación del estado estacionario.

La función de producción está dada por,

(5)

Donde A_t el factor de productividad, un proceso auto-regresivo en logaritmos de raíz unitaria.

(6)

y es un AR(1),

(7)

La autoridad monetaria ajusta la tasa de interés nominal siguiendo una regla de Taylor, que responde a las desviaciones de la inflación y de la producción de sus respectivos niveles, es decir,

(8)

Donde, R^*es la tasa de interés nominal, X_t^*es la producción potencial, X_t^* = A_t y Ε_R,t es el shock a las tasas de interés. El parámetro 0 ≤ ρ_R < 1 es el coeficiente de suavizado (Taylor, 1993).

El gobierno consume una fracción ζ_t de cada bien j. Se define y se asume que sigue un proceso AR(1) estacionario,

(9)

Ε _g,t se interpreta como un shock de los gastos del gobierno. El gobierno recauda impuestos para financiar su déficit o efectuar transferencias a los hogares en caso de superávit, es decir, no hay deuda pública.

La restricción presupuestaria del gobierno está dada por,

(10)

Donde, R_t-1es la tasa de interés en el período de tiempo t - 1, y T_t / P_t es el impuesto en el período de tiempo t.

(11)

El estado estacionario del modelo, las condiciones de primer orden del problema de maximización de los hogares y las firmas, y su versión log-linealizada del modelo se presentan en el anexo A.

2. Vector auto-regresivo bayesiano (BVAR)

El BVAR , con u_t normal multivariada N(0,Σ_u), se representará en el formato de un sistema de ecuaciones simultáneas. Esta representación permitirá obtener la función de verosimilitud del VAR de una forma particularmente sencilla y útil.

Denotemos mediante Y la matriz de datos, de dimensión T × n, es decir,

(12)

Sea k = 1 + np y X la matriz con la data rezagada, de dimensión T × k, sea con j = 1,..., p y k = 1,..., n y 1 = (1,...,1), entonces,

(13)

(14)

θ la matriz de coeficientes,

(15)

El BVAR puede ser expresado como Y = Xθ + U con la función de verosimilitud,

(16)

condicional a las observaciones y_1-p,...,y₀.

2.1. La verosimilitud y la densidad a priori

(17)

Factorizando obtenemos,

(18)

el término puede ser interpretado como una densidad a priori de (θ, Σ_u). La información acerca de los parámetros del BVAR está contenida en la data simulada a partir del MEEGD.

En la expresión (17) si se sustituyen los momentos muestrales por los momentos poblacionales (λTΓ^*_yy (θ) , λTΓ^*_yx (θ) y λTΓ^*_xx (θ)) se tiene la siguiente definición,

(19)

con c(θ) el factor de normalización, es decir,

(20)

En (19) tenemos una densidad a priori de ø y Σ_u condicionada por los parámetros del MEEGD.

La densidad a priori condicionada puede ser expresada como producto de densidades conjugadas naturales, lo cual simplifica su cómputo.

Si definimos,

(21)

(22)

entonces,

(23)

(24)

(25)

p(Σ_u,ø | θ) tiene una distribución Inversa Wishart-Normal (Zellner, 1971).

La densidad conjunta de los parámetros del BVAR y los parámetros del MEEGD se obtiene como,

(26)

Por otra parte, como ø^*(θ) (24) es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (en el caso de una regresión lineal el estimador de máxima verosimilitud (emv)) es igual al estimador de mínimos cuadrados ordinarios (mco), ø^*(θ) minimiza el error cuadrático medio (ecm) a un paso.

2.2. Densidad a posteriori

(27)

Con p(ø, Σ_u, θ | Y) la densidad a posteriori de todos los parámetros, p(ø, Σ_u, | Y, θ) la densidad posteriori de los parámetros del VAR dado los parámetros del MEEGD y p(θ | Y) es la densidad a posteriori de los parámetros del MEEGD, que es generada por Metropolis-Hasting y empleando el Algoritmo de Sims (2002).

Además,

(28)

Como la densidad a priori tiene una distribución Inversa Wishart-Normal y la función de verosimilitud tiene una distribución normal, se tiene que son conjugados naturales. Zellner (1971) muestra que la "densidad a posteriori" de θ y Σ_u es Inversa Wishart-Normal, es decir,

(29)

(30)

Donde y son los estimadores de Máximo Verosimilitud (MV) de θ y Σ_u, es decir,

(31)

(32)

Schorfheide y Del Negro (2004), muestran las siguientes relaciones entre la densidad a posteriori y la verosimilitud.

Proposición 1. La densidad posterior conjunta de los parámetros del BVAR y el MEEGD puede ser escrita como,

(33)

La función de verosimilitud puede ser escrita como,

(34)

La función de verosimilitud está dada por la siguiente expresión,

(35)

3. El algoritmo de estimación

De la ecuación (27) se requiere simular p(θ | Y) para determinar p(ø, Σ_u, θ | Y). Es importante destacar que p(ø, Σ_u, | Y, θ ) es una expresión cerrada, es decir, la densidad a posterior de ø y Σ_u es Inv-Wishart-Normal (ver la ecuación 28).

Se supondrá que el espacio de parámetros de λ es finito, es decir, Λ = {l₁,…,l_q}. λ se estima y se genera la distribución a posteriori conjunta de los parámetros del MEEGD y del BVAR usando el siguiente algoritmo:

1. Para λ ∈ Λ se usa el algoritmo de Metropolis Hastings, para generar las simulaciones de p_λ(θ | Y) ∝ p_λ (Y | θ) p(θ). Los pasos necesarios para evaluar p_λ(θ | Y) se basan en la siguiente ecuación:

(36)

p(Y | θ) se calcula condicionado por los parámetros del BVAR y en particular como una expresión cerrada que es función del estimador de mínimos cuadrados ordinarios y los momentos poblacionales.

Para cada θ:

(a) Se resuelve el MEEGD dado por las ecuaciones (7), (9), (a.18), (a.19) y (a.20), con el algoritmo que describe Sims (2002). Esto conduce a una ecuación de transición de la forma,

(37)

Las ecuaciones (a.21) pueden escribirse en forma apilada como:

(38)

En la implementación se elegirá s_t tal que v_t = 0. Se define la matriz de covarianza de los shocks como:

(39)

(b) Se define la matriz de covarianza de los shocks como Γ^*_yy(θ), Γ^*_yx(θ) y Γ^*_xx(θ), desde la representación de estados de (35) y (36). Note que,

(40)

(41)

Donde Ω_ss = E[s_ts_t′]el cual puede ser obtenido por la ecuación de –Lyapunov Ω_ss = TΩ_ssT′ + RΣ_εεR′. Por otra parte, Γ^*_xx(θ) y Γ^*_yx(θ) son submatrices que se obtienen a partir de E[y_t y'_t–h] y E[y_t y'_t–h] Γ^*_xy(θ) = [Γ^*_yx(θ)]'.²

2. Basado en las simulaciones se modifica el estimador de la media armónica para obtener las aproximaciones numéricas de la data p_λ (Y), de acuerdo con Geweke (1998).

4. Desempeño predictivo

Las variables del VAR coinciden con las variables observables del MEEGD, por lo tanto, consideraremos un VAR trivariado con 4 rezagos,

(42)

con z_t = (y_t , π_t , r_t)′. Para las dos primeras variables se consideran los logaritmos de sus incrementos y para las tasas se les aplica solamente el logaritmo.

4.1. Datos seleccionados

Los datos utilizados para la estimación del modelo son series trimestrales observadas de la economía venezolana durante el período comprendido desde el segundo trimestre del 1985 hasta junio del 2009, para un total de 93 observaciones. Las series consideradas son los incrementos logarítmicos del producto, incrementos logarítmicos de la inflación y los logaritmos de las tasas anualizadas, que se corresponden con el vector de observaciones (Δlog X_t, Δlog P_t y log R ^a_t), de las ecuaciones de medida (14). Los datos se desestacionalizaron utilizando el módulo X12 Arima de Eviews. En las gráficas de los datos presentadas en el apéndice B, puede observase el comportamiento irregular de estas series, lo que evidencia las dificultades que plantean estos datos para la estimación de los modelos y la elaboración de predicciones. En la simple inspección visual de las gráficas (corroboradas por los test correspondientes) se puede ver que las series no son estacionarias. En los contrastes de hipótesis (Apéndice C) acerca de la homocedasticidad de estas series, no se rechaza la hipótesis nula para la inflación y las tasas; en el caso del producto, se acoge la hipótesis alternativa de heterocedasticidad. Para los contrastes de hipótesis de raíz unitaria, los incrementos logarítmicos del producto y los precios, no se rechaza la hipótesis nula; se rechaza para los logaritmos de las tasas de interés.

Cuadro 1. Variables log-linealizadas y variables observables.

^{1 y 2}Datos trimestrales, ³datos anuales. ]]> Fuente: adaptado de Schorfheide y del Negro (2004).

Los modelos se estiman de la siguiente forma: una primera estimación se efectúa con los datos hasta el último trimestre del 2006 y se construyen las predicciones para los siguientes cuatro trimestres del 2007. Una segunda estimación se efectúa con los datos hasta el primer trimestre del 2007 y se construyen las estimaciones para los siguientes cuatro trimestres, y así sucesivamente. El último conjunto de estimación contiene los datos hasta último trimestre del 2008 y las predicciones se realizan para los cuatro trimestres del 2009. Luego se calculan los errores cuadráticos medios de predicción para cada uno de los cuatro horizontes de tiempo.

En el cuadro 2 se tabulan los diferentes valores de λλ (proporción de datos simulados en la muestra) y el valor de su verisimilitud computado por el algoritmo de media armónica de Geweke; obsérvese que el valor óptimo es para λ =0,4.

Cuadro 2. Modelos con las medias armónicas.

Fuente: elaboración propia.

En los cuadros 3, 4 y 5 se presentan los errores cuadráticos medios (ecm) en diferentes horizontes de predicción para las variables producción, inflación y tasas de interés, empleando el BVAR-MEEGD de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista respectivamente.

Cuadro 3. Ecm de las proyecciones del producto.

Fuente: elaboración propia.

Cuadro 5. Ecm de las proyecciones de las tasas de interés.

Fuente: Elaboración propia

En general, podemos concluir que al comparar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se observa que el modelo BVAR Schorfheide tiene un mejor desempeño predictivo en el corto plazo para la inflación y las tasas de interés. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante mínimos cuadrados ordinarios, se observa también un buen desempeño predictivo.

4.2. Respuesta del modelo ante un shock de política monetaria

El comportamiento estructural de las variables observadas se analiza mediante las funciones impulso respuesta que se derivan de la representación de espacio de estados del MEEGD. Si se sustituye (41) en (42) e iterando la sustitución se tiene,

(43)

Con las estimaciones de los parámetros estructurales presentados en el cuadro 5, la respuesta a un shock monetario y su mecanismo de transmisión es acorde con la teoría económica, contrae el producto (ecuación a.18) y esta contracción reduce la inflación (ecuación a.19). En términos cuantitativos, un shock a las tasas de interés de un 1%, reduce el producto en un 0.5% con respecto a su estado estacionario, mientras que en la inflación es de una disminución del 0.35%. La persistencia del shock es similar en las tres variables; al paso de 6 trimestres su efecto se disipa. Este análisis evidencia que el MEEGD estimado es una herramienta útil para el diseño y estudio de política monetaria.

Gráfico 1. IR a un Shock de las Tasas de Interés al producto.

Fuente: Cálculos de los autores.

Gráfico 2. IR a un Shock de las Tasas de Interés a la inflación.

Fuente: Cálculos de los autores.

Gráfico 3. IR a un Shock de las Tasas de Interés a las Tasas.

Fuente: Cálculos de los autores.

5. Conclusiones

La combinación de BVAR y MEEGD presentó un buen comportamiento en el corto plazo para la predicción de las series macroeconómicas observadas de la economía venezolana. Se evidenció que el modelo BVAR-MEEGD tiene un mejor desempeño predictivo en el corto plazo para la inflación y las tasas de interés. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante mínimos cuadrados ordinarios, se observa también un buen desempeño predictivo. En cuanto a su comportamiento estructural, la respuesta a un shock monetario y su mecanismo de transmisión es acorde con la teoría económica, contrae el producto y esta contracción reduce la inflación. Un shock a las tasas de interés de un 1%, reduce el producto en un 0.5% con respecto a su estado estacionario, mientras que en la inflación es de una disminución del 0.35%. La persistencia del shock es similar en las tres variables; al paso de 6 trimestres su efecto se disipa. Las funciones impulso respuesta muestran que el BVAR-MEEGD estimado es una herramienta útil para el diseño y estudio de política monetaria.

La combinación del buen desempeño, tanto predictivo como estructural para la economía venezolana, muestra que el BVAR-MEEGD es una herramienta útil para modelar economías como las latinoamericanas y de los países emergentes, cuyo comportamiento no exhibe la estabilidad de las economía de países desarrollados.

La estimación conjunta del BVAR y el MEEGD permite contar, al mismo tiempo, con un modelo estructural microfundamentado y una herramienta de predicción que supera los modelos estándar, que son estadística y económicamente consistentes, lo que resulta particularmente atractivo para efectos de política económica.

El modelo considerado en este trabajo es un modelo estilizado de pequeña escala. Sería interesante considerar modelos que incorporen otros aspectos como, de pequeña economía abierta, diferentes tipos de firmas (domésticas, importadoras y exportadoras), hábitos en el consumo, entre otros. Con la incorporación de estos aspectos al modelaje, pudieran lograrse al mismo tiempo, la estimación de MEEGD más cercanos a la realidad y reproducir mejor la dinámica económica, y mejores predicciones de las variables observables.

Bibliografía

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^* Este artículo es producto del trabajo de investigación realizado para optar al título de Magíster en Modelos Aleatorios en la Universidad Central de Venezuela: "Modelo estocástico de equilibrio general (MEEG) para la construcción de densidades a priori de VAR bayesianos: una aplicación a la economía venezolana", elaborado en el período marzo 2008- noviembre 2008. Las opiniones expresadas en este trabajo son responsabilidad exclusiva de los autores y no comprometen al Banco Central de Venezuela.

[1] Estos balances denotan la demanda de los hogares de saldos reales.

[2] Si el lector está interesado puede obtener una descripción detallada en Perdomo (2008).

ANEXO A

El problema de maximización de los hogares es el siguiente:

(a.1)

sujeto a,

(a.2)

(a.3)

El Lagrangeano de este problema es:

(a.4)

Las condiciones de primer orden con respecto a C_t, B_t y h_tson:

(a.5)

(a.6)

(a.7)

Estado estacionario de las variables

Como el factor de productividad A_t tiene raíz unitaria en logaritmos, el modelo tiene una tendencia estocástica, por lo que el producto y el consumo crecen a una tasa igual A_t. Por lo tanto, X_t / A_t C_t / A_t y λ * A_t son estacionarias. De la ecuación de la función de producción (a.13) se tiene que , luego de normalizar por h_t = 1. Observe que el estado estacionario de la inflación es un parámetro del modelo, y su valor π* está definido por la ecuación (4) de costos de ajuste de menú de Rotemberg, (1982).

El estado estacionario de las tasas reales se obtiene:

De la ecuación (a.7) sabemos que es igual a,

(a.9)

Además,

(a.10)

(a.11)

(a.12)

En estado estacionario,

(a.13)

El problema de maximización de las firmas es el siguiente,

, (a.14)

sujeto a,

(a.15)

(a.16)

(a.17)

El sistema, luego de ser loglinealizado alrededor de su estado estacionario, se reduce a tres ecuaciones:

(a.18)

(a.19)

(a.20)

Las variables con tilde (~) denotan desviaciones logarítmicas del estado estacionario. Por ejemplo . Κ es la pendiente de la curva de Phillips.

La solución del sistema de expectativas racionales conformado por las ecuaciones (7), (9), (a.13), (a.18) y (a.20) se computa con el algoritmo de Sims (2002).

Las relaciones entre las desviaciones del estado estacionario de las variables del modelo y las series observadas del producto, la inflación y las tasas de interés, se expresan en las siguientes ecuaciones de medida:

(a.21)

ANEXO B

Gráfico 4. Producto interno bruto.

Fuente: Cálculos de los autores con información del Banco Central de Venezuela.

Gráfico 5. Inflación. ]]>
Fuente: Cálculos de los autores con información del Banco Central de Venezuela.

Gráfico 6. Tasas de interés.

Fuente: Cálculos de los autores con información del Banco Central de Venezuela.

ANEXO C

Pruebas de heterocedasticidad y raíz unitaria

a. Variable: Δ log X_t
Para el análisis del supuesto de homocedasticidad o varianza homogénea, se realiza la prueba de White Heteroskedasticity Test del software Eviews, donde se contrastan las hipótesis siguientes.

H0: Hay homocedasticidad.
H1: No hay homocedasticidad.

A través de Eviews se obtuvo la salida que se muestra a continuación:

Utilizando el estadístico F, observamos que se tiene una probabilidad menor que el nivel de significación al 5%; en consecuencia, no se asume la hipótesis nula.

b. Variable: Δ log P_t

]]>

Utilizando el estadístico F, observamos que se tiene una probabilidad mayor que el nivel de significación al 5%; en consecuencia, no se rechaza la hipótesis nula.

c. Variable: log R ^a_t

Utilizando el estadístico F, observamos que se tiene una probabilidad mayor que el nivel de significación al 5%; en consecuencia, no hay elementos para rechazar la hipótesis nula.

2. Pruebas de raíz unitaria.

a. Logaritmo del PIB desestacionalizado (primera diferencia):
Para determinar si la serie tienen raíz unitaria utilizamos el test de Dickey-Fuller. Se contrastarán las hipótesis siguientes:

]]> H0: La serie tiene raíz unitaria.
H1: La serie no tiene raíz unitaria.

A través de Eviews se obtuvo la salida que se muestra a continuación:

Al determinar la probabilidad con un nivel de significación al 5%, observamos que no asumimos H0; en consecuencia, la serie no tiene raíz unitaria.

b. Logaritmo de la Inflación desestacionalizado (primera diferencia):

Al determinar la probabilidad con un nivel de significación al 5%, observamos que no asumimos H0; en consecuencia, la serie no tiene raíz unitaria.

c. Logaritmo de las Tasas desestacionalizada:

]]> 1 1999 1 65-148 2 2004 45 2 2 643-673 3 1999 140 2 2 1-126 4 2000 86 45-103 5 1985 274 6 2008 7 1982 49 4 4 517-531 8 2002 20 1 1 1-20 9 2003 1 5 5 1123-1175 10 1993 39 195-214 11 2003 12 1971