Todas estas suposiciones se cumplen razonablemente bien en la mayoría de los robots móviles actuales. El deslizamiento es de hecho el mayor problema con que se encuentra cualquier robot móvil a la hora de establecer una autolocalización precisa.
Modelo jacobiano
Asumiendo que p representa un lugar en el espacio con n coordenadas generalizadas y q un vector de m variables de actuadores (para n > m), y asumiendo que 
y 
son las respectivas derivadas de tales vectores, entonces el modelo directo es obtenido por la matriz jacobiana, J (p) dado por la ecuación (1).
Esta expresión del jacobiano puede escribirse en la forma mostrada en la ecuación 2:
La ecuación 2 se presenta en forma matricial por la ecuación 3, donde v es la velocidad lineal del vehículo y ω es la velocidad angular, estas ecuaciones pueden ser también escritas en la forma de (1) como
]]> Para
De la ecuación 4 se puede obtener la ecuación 5:
Esto es debido a que el vehículo solamente puede moverse a lo largo de su eje longitudinal. ϕ viene dado por la ecuación 6:
Las anteriores expresiones permiten asegurar que la posición del vehiculó (x, y) y la orientación ϕ no son independientes.
Cinemática directa e inversa
Existen dos problemas fundamentales para resolver la cinemática del robot. El primero de ellos se conoce como el problema cinemático directo, y consiste en determinar cuál es la posición y orientación final del robot con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia. Los valores de las velocidades angulares de las ruedas del robot son conocidos. El segundo, denominado problema cinemático inverso, resuelve el proceso de la determinación de los parámetros de control para llevar al robot a un lugar deseado, proporcionando las velocidades angulares que deben tomar las ruedas del robot para una posición y orientación conocidas.
La cinemática inversa del sistema implica la inversa del jacobiano. Cuando este último no es una matriz cuadrada, es necesario calcular su seudoinversa, multiplicando ambos lados por JT, y resolviendo para , con lo cual se obtiene la ecuación 7:
Donde v está dada por la ecuación 9:
Configuración del robot móvil diferencial
La figura 1 muestra el clásico vehículo de tracción diferencial, el cual usa en ambas ruedas, velocidades independientes (VI y VD, respectivamente), que se mueven en el plano 2D hacia un punto específico (x, y) y una orientación ϕ específica.
Asumiendo para el modelo de tracción diferencial, que ωI y ωD son las velocidades correspondientes de las ruedas izquierda y derecha, dado el radio de las ruedas como r, las correspondientes velocidades lineal y angular están dadas por las ecuaciones 10 y 11 respectivamente
]]> Donde b es la separacion entre las dos ruedas del vehículo. También si las velocidades lineal y angular son dadas, entonces la velocidad angular puede ser obtenida por las ecuaciones 12 y 13:
Sustituyendo las ecuaciones 10 y 11 en el modelo de robot móvil (3) se obtienen las ecuaciones 14 y 15:
IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROLADOR DE POSICIÓN Y MOVIMIENTO DEL ROBOT MÓVIL DIFERENCIAL
El siguiente paso es representar las ecuaciones del modelo cinemático (15) en un diagrama de bloques del SimuLink, el cual permite calcular la posición del robot móvil en cada instante de tiempo. Este bloque se llama cinemática directa diferencial y servirá para probar el control de posición, el cual será diseñado posteriormente. El bloque cinemática directa diferencial se muestra en la figura 2.
Para probar el funcionamiento del esquema de la figura 2 se integraron en un bloque de SimuLink los siguientes elementos: dos modelos de los motores con sus respectivos controles de velocidad manejados por redes neuronales artificiales (RNA), dos bloques reductores de velocidad y el bloque cinemática directa diferencial; a dicho esquema se le aplicaron diferentes señales de control en las entradas de referencia, tal como se muestra en la figura 3.
]]>
En este artículo se ha comprobado que las redes neuronales pueden emular el comportamiento de un controlador PID para controlar los perfiles de velocidad de los motores de tracción un robot móvil tipo diferencial. La configuración de la red neuronal es un punto fundamental para que una aplicación produzca buenos resultados. Si los datos de entrenamiento son correctos, pero la arquitectura de la red no es la adecuada para la aplicación, la red neuronal no se comportará como se espera. Inicialmente se obtuvo un modelo en forma de función de transferencia de todas las partes eléctricas y mecánicas del modelo físico que eran necesarias para la construcción del robot móvil de tracción diferencial. En este modelo no se tuvieron en cuenta las no linealidades del modelo y se consideró el motor libre de carga. Para el diseño del controlador de velocidad se estudiaron diferentes técnicas de control, pero al final se optó por reemplazar un PID sintonizado con la herramienta sisotool por una RNA. Después de tener sintonizado el controlador de velocidad PID se desarrollaron varias arquitecturas de RNA con un tipo de redes de retropropagación (back-propagation), entrenadas con los datos obtenidos del controlador PID. En la figura 4 se muestra la comparación entre estas dos estrategias de control.
Para verificar el correcto funcionamiento del esquema mostrado en la figura 3 se partió de una posición inicial de coordenadas xin = 0 yin = 0, φin = 0 que son las coordenadas del origen. Las simulaciones que se realizaron fueron las siguientes:
Velocidades angulares iguales ωi = ωd.
Velocidad angular ωi = 247 rad/s y ωd = 0 rad/s.
Velocidad angular ωi = 247 rad/s y ωd = -247 rad/s.
Para estas simulaciones se asumieron los siguientes valores:
r = 0,05 m radio de las rueda del robot diferencial.
b = 0,4 m distancia de separación entre las ruedas del robot diferencial.
índice de reducción. Con estos valores y un tiempo de simulación de 500 ms, la primera simulación hizo un recorrido en línea recta de aproximadamente de 1.07 m. Para la segunda prueba se describió una circunferencia perfecta de radio 
y para la tercera se mostró un punto fijo. Los resultados de las simulaciones son presentados en las figuras 5 y 6.
MÉTODO DE PERSECUCIÓN PURA PARA EL SEGUIMIENTO DE CAMINOS EXPLÍCITOS
Considérese un sistema de referencia local asociado al movimiento del vehículo, tal como se muestra en la figura 7.
Del análisis de la figura 7 se deducen las ecuaciones 16 y 17:
]]> Siendo r el radio de curvatura del vehículo.
Despejando d en 16 y sustituyendo en 17, se obtiene la ecuación 18:
De donde el radio de curvatura necesario para que el vehículo se desplace Δx, Δy es dado por la ecuación 19:
Por tanto, la curvatura que es necesario suministrar al vehículo se expresa por la ecuación 20:
Donde el signo viene dado por el sentido de giro necesario para alcanzar el punto objetivo en la figura 7, L es la distancia a la que se encuentra el punto objetivo y Δx es el desplazamiento lateral.
La expresión anterior constituye la ley de control de persecución pura (pure pursuit), lo que permite identificar con claridad la forma de una ley de control proporcional al error lateral (Δx) con respecto al punto objetivo. La constante de proporcionalidad varía con la inversa del cuadrado de L.
En la figura 7 puede verse también que la curvatura de la persecución pura es la inversa del radio de una de las circunferencias que pasa por la posición actual del vehículo y por el punto objetivo.
]]> El algoritmo para la aplicación de esta ley de control solo necesita determinar el punto del camino que se encuentra a una distancia previamente definida L, y calcular el error lateral (Δx) con respecto a la posición actual del centro de guiado del vehículo. Si las coordenadas están en un sistema global, es necesario tener en cuenta la orientación del vehículo para obtener Δx, es decir, si el vehículo está en las coordenadas globales (x, y) con orientación ϕ. El punto objetivo sobre el camino está en las coordenadas globales (xobj, yobj) y se expresa mediante la ecuación 21:
Un método práctico para aplicar la ley de control consiste en obtener a la tasa de muestreo, el punto (xobm, yom) del camino objetivo que está más próximo al vehículo (x, y) y elegir el punto (xob, yob) a una distancia fija s sobre el camino tomado en el sentido de avance a partir de (xobm, yobm) tal como se muestra en la figura 6; posteriormente se calcula L y se aplica la ley de control 20 y 21. El cálculo de L se realiza con el teorema de Pitágoras mediante la ecuación 22:
La ley de control es dependiente de la velocidad, obteniéndose las ecuaciones 23 y 24:
Aislando las velocidades lineales de cada rueda, y sabiendo que v = r*ω estas ecuaciones se pueden reescribir mediante las ecuaciones 25 y 26:
]]> Donde r es el radio de giro, b la distancia entre las ruedas y v la velocidad lineal del móvil.
El algoritmo de persecución pura se puede implementar en SimuLink mediante el bloque de la figura 8.
Este bloque es llamado persecución pura I y consta de una MATLAB Function con nombre pure_p_I que es la encargada de calcular el índice de los valores x_camino y y_camino más próximos a la posición del robot y un sub-bloque denominado cálculo de incremento de x que es la representación de la función 21. Este bloque fue tomado del toolbox Hemero y entrega a su salida el valor de la función 20 que es la curvatura entregada al robot móvil (Vachhani, Mahindrakar y Sridharan, 2011).
Con este bloque se pueden realizar las siguientes simulaciones:
- Se comprobara cómo evoluciona el robot diferencial al momento de seguir una trayectoria rectilínea de la forma y = x.
- Se comprobara cómo se comporta el robot diferencial ante el requerimiento de seguir una parábola de la forma y = x2.
- Se comprobara cómo se comporta el robot diferencial ante el requerimiento de seguir una trayectoria en forma de circunferencia de la forma y = sen (t) y y = cos(t).
Por último, en la figura 9 se muestra el bloque implementado para el control de posición.
]]>
RESULTADOS OBTENIDOS. SIMULACIÓN DEL CONTROL DE POSICIÓN
Se implementó una interfaz gráfica GUI para la presentación de las diferentes trayectorias seguidas por el robot móvil. En la figura 10 se muestra la GUI implementada.
Se simularon trayectorias realizadas controlando solamente el ángulo de giro y utilizando el control de posición mediante el método geométrico de persecución pura implementado. Las simulaciones que se implementaron utilizando el control de posición mediante el método geométrico de persecución pura fueron las siguientes:
- Seguir una trayectoria rectilínea de la forma y = x (figura 11).
- Seguir una trayectoria con forma de parábola de la forma y = x2 (figura 12).
- Seguir una trayectoria en forma de circunferencia de la forma y = sen (t) y y = cos(t) (figura 13). ]]>
Conclusiones
De las simulaciones se puede observar la eficiencia del control de posición para el seguimiento de caminos explícitos, en este caso para el seguimiento de trayectorias rectilíneas y curvilíneas. Como se puede apreciar en estas simulaciones se observa que el control de posición se comporta muy bien al momento de seguir cualquier curva, en especial frente a curvas suaves.
En algunas simulaciones donde se trató de seguir trayectorias rectilíneas muy inclinadas y Δx se hace muy pequeño este controlador presenta fallas, debido a que la función del radio de curvatura para una trayectoria vertical es 
, y en ese momento los perfiles de velocidad serán cero (0) y por este motivo se pierde el control de seguimiento.
El trabajo realizado permite la implementación práctica de las técnicas estudiadas en una plataforma real, garantizando el éxito de dichas técnicas.
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