Articulos/Investigación
Juan U. Vásquez Pinzón, 1 Stella C.Méndez-Sánchez 2 Jonny E. Duque Luna3
1 Matemático. M. Sc. Matemáticas. Programa de Matemática y Computación. Universidad del Quindío, Armenia, Colombia. E-mail: juanv@uniquindio.edu.co ]]>
2Química. Escuela de Investigación en Biomatemática. Universidad del Quindío, Armenia, Colombia. E-mail: biomat@uniquindio.edu.co; - caroquimica@hotmail.com 3Licenciado en Biología y Educación Ambiental. Especialista en "Creación de Modelos" M. Sc. (Candidato) Entomología, Universidad Federal do Paraná, Becario CAPES. Escuela de Investigación en Biomatemática. Universidad del Quindío. Armenia, Colombia . Laboratorio de Entomología Médica y Veterinaria, Departamento de Zoología, Universidad Federal de Paraná, Curitiba-Brasil.E-mail: jonny@bio.ufpr.br; - jonnybiomat@hotmail.com.RESUMEN
ObjetivoUn modelo describiendo el comportamiento de la malaria mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Metodología Se tuvieron en cuenta para la construcción del modelo, la interacción del hombre con el vector de la Malaria y diferentes estados de infectividad e inmunidad. También se consideraron los estados correspondientes al efecto de vacunación mediante una vacuna bloqueadora de infección y parámetros que representan el control de larvas y adultos del vector.
ResultadosEl modelo desarrollado permite simular el comportamiento de la enfermedad malárica en diferentes escenarios: en forma natural sin intervención, con control del vector o vacunación y considerando control y vacunación.
Conclusiones Se obtienen numéricamente condiciones para la existencia de un estado de equilibrio no trivial, condicionada a la existencia de una única raíz real positiva de un polinomio de cuarto grado. Este es un problema que queda abierto.
Palabras Clave: Inmunidad, Control de mosquitos, Plasmodium falciparum (fuente: DeCS, BIREME).
ABSTRACT
ObjectivesA model describing malaria behavior through a system of ordinary differential equations.
MethodsA descriptive study was performed on the deaths from road accidents. Autopsy reports, body removal reports, death certificates and blood concentration reports, available at the National Institute for Forensic Sciences and at the local hospitals, were reviewed. ]]>
Key Words: Immunity, mosquito control, Plasmodium falciparum (source: MeSH, NLM).
La inmunidad en malaria ha sido estudiada intensamente en los últimos quince años y los conocimientos existentes muestran claramente que la respuesta inmune a los protozoos es compleja y dificulta la acción de una vacuna efectiva debido a las variaciones antigénicas del Plasmodium falciparum (Eucoccidiida:Plasmodiidae). Además, los anticuerpos y la inmunidad mediada por células son otros factores importantes del huésped en la respuesta a la infección por plasmodios, así como la edad (duración de la exposición), los determinantes de la formación de antígenos en el hombre (HLA) y la función de filtro natural del bazo. Sin embargo, la infección persiste en zonas endémicas, el riesgo de enfermedad severa es máximo en los niños de 1 a 4 años (1-3).
Aspectos como los anteriores determinan que es pertinente entender mejor este proceso con la integración de métodos de control y vacunación, lo cual se ha tenido en cuenta para la obtención del modelo que se presenta a continuación.
EL MODELO
Se ha construido un modelo con 15 ecuaciones diferenciales que representan la dinámica de Malaria por Plasmodium falciparum en el hombre y en mosquitos las cuales se incluyen más adelante (ecuaciones e.1 a e.15). Para mayor entendimiento de las ecuaciones puede seguirse el diagrama de flujos de la Figura 1.
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Las ecuaciones e.1 a e.5 representan la dinámica de la población humana no vacunada, su interacción con el vector y los diferentes estados por los que pasa una persona que contrae el protozoario y son: latente, infeccioso, infeccioso semi-inmune e inmune. Los casos de muerte por enfermedad se encuentran en el estado infeccioso; es de aclarar que la inmunidad sólo se mantiene si el individuo continúa en exposición permanente a las picaduras de mosquitos infectados.
Las ecuaciones e.6 a e.10 representan la dinámica de la población humana que fue vacunada. Se considera que las vacunas tienen un grado de efectividad, por lo cual se tienen en cuenta las personas que adquieren inmunidad por vacunación y aquellas que aunque fueron vacunadas no desarrollaron inmunidad; éstos últimos siguen el mismo proceso de una persona no vacunada al contraer el patógeno.
Las ecuaciones e.11 a e.15 representan la dinámica de los diferentes estadios del vector exceptuando el de huevo, que son: larva (todos los estadios se resumen en esta variable), pupa y adulto; los adultos se dividen en susceptibles, infecciosos y no infecciosos. Para el control del mosquito se propone un control integrado con Bacillus thuringiensis y químicos adulticidas.
Los supuestos del modelo son:
Las poblaciones totales de humanos y de vectores son variables a través del tiempo, la dinámica de transmisión en la población humana es de tipo SIRS (Susceptible-Infeccioso-Removido-Susceptible), la dinámica de transmisión en la población de vectores es de tipo SI (Susceptible-Infeccioso) y la vacuna es parcialmente efectiva, es decir, las personas vacunadas pueden adquirir la enfermedad.
VARIABLES Y PARáMETROS DEL MODELO
Población humana sin vacunación
Población humana con vacunación
Población del vector Anopheles spp. (Diptera:Culicidae)
Parámetros
El sistema de ecuaciones que describe la poblacion humana es:
por causa diferente al controlador biológico.
• Equilibrio trivial
El equilibrio trivial
se obtiene en ausencia de enfermedad, (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
En ausencia de enfermedad y con vacunación preventiva tenemos
El estado de equilibrio trivial, indica que toda la población en ausencia de enfermedad y sin vacunación tiende a ser susceptible; en ausencia de enfermedad y con vacunación las población se encuentra repartida en los estadios de susceptible no vacunada, susceptible vacunada e inmunes vacunados.
• Equilibrio no trivial
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Los cuales resultan ser funciones de x15*siendo x15*la raiz real del polinomio de cuarto grado 
El estado de equilibrio no trivial, es decir, en presencia de la enfermedad, no fue hallado explícitamente aún debido a que el número elevado de ecuaciones dificulta bastante el proceso.
Sin embargo, numéricamente se obtiene que los coeficientes del polinomio f(Z) , a saber, Y3, Y2, Y1 toman siempre valores negativos y como Y1<0 y Y4> 0 ; por la ley de signos de Descartes se deduciría la existencia de una raíz real que es positiva. Esto garantizaría la existencia de un único punto de equilibrio no trivial. La deducción analítica de los signos de Y3, Y2, Y1 está en proceso.
Se espera posteriormente con una simulación numérica más exhaustiva del modelo, analizar el comportamiento de la dinámica en ausencia y presencia de malaria, así como establecer criterios que al aplicarlos permitan disminuir la incidencia de la enfermedad.
APLICACIóN DEL MODELO
El modelo sirve para simular numéricamente, utilizando valores de los parámetros y condiciones iniciales disponibles en la literatura, tres tipos de zona: hipoendémica, endémica e hiperendémica. En cada una de ellas se pueden tener en cuenta cinco escenarios: sin ningún control del vector y sin vacunación, con sólo control biológico de larvas, con control biológico de larvas y químico de adultos, con solo vacunación y por último con manejo integral mediante control biológico de larvas, químico de adultos y vacunación.
De los resultados de la simulación se espera establecer algunos criterios acerca de la efectividad de la combinación de las diferentes estrategias de control de la enfermedad malárica, precisando algunos niveles de aplicación de cada una de ellas interpretando valores explícitos de los parámetros
Agradecimientos. A la Universidad del Quindío, Armenia, Colombia, por el financiamiento del proyecto; al Grupo de Investigación "Escuela de Investigación en Biomatemática" y a Gregorio Carbajal Arízaga, Laboratorio de Química del Estado Sólido de la Universidad Federal de Paraná, por la revisión del manuscrito.
REFERENCIAS
]]>1. Aron JL. Mathematical Modeling of Immunity to malaria. Mathematical Biosciences. 1988; 90: 385-396. [ Links ]
2.Baird JK, Purnomo BH, Bangs MJ, Andersen EM, Jones TR, Masbar S, Harjosuwarno, S, Subianto B, Arbani RP. Age specific prevalence of hyperendemic Plasmodium falciparum among six populations with limited histories of exposure to endemic malaria. American Journal of Tropical Medicine and Hygiene.1993; 49(6):707-719. [ Links ]
3. Gupta JK, Day KP. A theoretical framework for the immunoepidemiology of Plasmodium falciparum malaria. Parasite Immunology. 1994; 16:361-370. [ Links ] ]]>