Abel's theorem on the lemniscate
Leonardo Solanilla Ch.*; Óscar Jhoan Palacio M.**; Uriel Hernández R.***
* Ph. D. en Matemáticas, Tulane University. Profesor de planta, Departamento de Matemáticas y Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad del Tolima. Ibagué, Colombia. Correo electrónico: leonsolc@ut.edu.co.
** Profesional en Matemáticas con énfasis en Estadística, Universidad del Tolima. Estudiante de la Especialización en Matemáticas Avanzadas, Facultad de Ciencias, Universidad del Tolima. Ibagué, Colombia. Correo electrónico: tikomania86@hotmail.com.
*** Profesional en Matemáticas con énfasis en Estadística, Universidad del Tolima. Facultad de Ciencias, Universidad del Tolima. Ibagué, Colombia. Correo electrónico: Uriel_501@hotmail.com.
En este artículo demostramos el teorema de Abel para la lemniscata sin la ayuda de la teoría de las funciones elípticas y sin referencia alguna a la moderna teoría de campos. Los ingredientes esenciales de la demostración son las funciones lemniscáticas de Gauss y algunas nociones elementales sobre factorización en el anillo de los polinomios con coeficientes racionales. El procedimiento es muy poderoso. En verdad, no sólo probamos que la construcción geométrica es posible, sino que indicamos las operaciones algebraicas que realizan la construcción.
Palabras clave: división de la lemniscata; funciones elípticas; construcciones geométricas; teorema de Abel; teoría de Galois.In this article, Abel's theorem for lemniscates has been demonstrated without the help of elliptical function theory and without any reference to the modern theory of fields. Essential ingredients of the demonstration are Gauss' lemniscates functions and some elementary on factorization in the ring of rational coefficients. The procedure is very powerful. It was proved that geometric construction is possible. Algebraic operations which indicated the construction were also indicated.
Key words: Lemniscates division; elliptical functions, geometrical constructions, Abel's theorem, Galois' theorem.
INTRODUCCIÓN
La lemniscata es la curva plana dada por la ecuación cartesiana
En este artículo demostramos el célebre teorema de Abel para la lemniscata:
]]> Teorema 1.1 [1] . Si
donde los pi, i = 1, ..., t son primos de Fermat diferentes, entonces es posible dividir la lemniscata en n partes iguales con regla y compás. Es inevitable comparar este resultado con el de Gauss [2] sobre la construcción de los polígonos regulares.
Aun cuando en las demostraciones seguimos el espíritu del texto original de Abel, no usamos la teoría general de las funciones elípticas para probar este notable resultado. En su lugar, empleamos la teoría particular de las funciones lemniscáticas de Gauss. En ello, este artículo difiere del mencionado trabajo de Abel [1] y de la conocida versión contemporánea de Rosen [3] . La historia completa del problema desde sus albores a comienzos del siglo XVIII se puede consultar en el trabajo de Hernández y Palacio [4].
En la sección 2 presentamos los rudimentos indispensables sobre el seno y coseno lemniscáticos de Gauss. Con ayuda de la fórmula de adición del seno lemniscático para el arco doble, se prueba la primera proposición fundamental, a saber:
Teorema 1.2. La lemniscata se puede dividir en 
, partes iguales con regla y compás.
El resto del asunto es más delicado. En la sección 3, estudiamos la forma racional de la fórmula de adición del seno lemniscático para un múltiplo impar de un arco dado. El análisis de la situación nos permite construir un polinomio cuyas raíces resuelven el problema de la división. La sección 4 está dedicada al caso particular en el que el entero positivo impar es un primo de Fermat. En ella se prueba lo siguiente.
Teorema 1.3. Si n es un primo de Fermat, la lemniscata se puede dividir en n partes iguales con regla y compás.
Finalmente, un breve argumento que combina las fórmulas de adición con la teoría de números permite demostrar el teorema 1.1. A manera de conclusión, se bosquejan algunas reflexiones y comentarios sobre el papel de este teorema en la historia del problema de la división de la lemniscata en partes iguales.
1. FUNCIONES LEMNISCÁTICAS
]]> En sus anotaciones personales, Gauss [5] anotó los resultados de su estudio sobre estas funciones. En seguida presentamos un breve resumen de su teoría, el cual sirve de fundamento a nuestra presentación.1.1. Senolemniscático de Gauss
El número
juega el papel de 
en la teoría de las funciones circulares. Consideremos, pues,
La integral de la derecha es la longitud de arco de la lemniscata. Como arcsl es biyectiva, definimos el seno lemniscático como la función impar de periodo 2
que satisface sl=arcsl–1 en el intervalo 
. O sea, 
y su gráfica es similar a la del seno circular.
El seno lemniscático es diferenciable. Más aun, el teorema de inversión (o de la función inversa) del cálculo elemental arroja
El coseno lemniscático es la función
]]>
La identidad pitagórica de la trigonometría circular tiene su contraparte lemniscática en la identidad fundamental
La constructibilidad de un punto de la lemniscata equivale a construir el seno y el coseno lemniscático correspondiente a su arco. Así que, desde el punto de vista de las construcciones geométricas, basta obtener una de las dos funciones lemniscáticas puesto que la otra se obtiene de aquella por operaciones de campo y raíces cuadradas.
También, la fórmula de adición del seno lemniscático es
1.2 Bisecciones iteradas de la lemniscata.
Así pues, la fórmula del seno lemniscático del arco doble es 
. Ella nos conduce a un primer resultado sobre la construcción de las divisiones de la lemniscata.
Proposición 2.1. Si sl(x) es construible con regla y compás, entonces 
también lo es.
Demostración. En
]]>
Ponemos 
para obtener
. De este modo; 
y la fórmula cuadrática arroja que
es construible con regla y compás. Ahora bien, la identidad fundamental produce
En consecuencia, 
De nuevo, por la forma de la solución a la ecuación cuadrática, 
y 
son construibles con regla y compás.
Repitiendo el proceso un número finito de veces a partir de la totalidad de la curva, obtenemos el teorema 1.2.
2. ESTRUCTURA DE sl(nx), n IMPAR
]]> Es fácil probar que 
En general, este hecho se generaliza con ayuda del principio de inducción y la fórmula de adición del seno lemniscático. Ciertamente, no es difícil probar que
Proposición 3.1. Si 
es impar, entonces
donde Ψ es una función racional con coeficientes enteros.
Escribamos ahora
para ciertos polinomios p, q con coeficientes enteros que no tienen factores irreducibles comunes y, por tanto, no tienen ceros comunes. Resulta que los ceros de p son precisamente aquellos que necesitamos para la división de la lemniscata en n (impar) partes.
Proposición 3.2. Si 
es un entero impar, p es un polinomio de grado n – 1 = 2k con ceros distintos no repetidos
donde m toma los valores enteros distintos de cero entre –k y k. Con esto, quedan determinados los ceros distintos de cero de sl(nx) en el intervalo 
Demostración. Si 
entonces 
y así, 
es un cero distinto de cero de p. Con el fin de encontrar todos los ceros de p, observemos que si p(sl(x)) = 0, sl(nx) = 0. Por tanto, la periodicidad del seno implica que 
y, de este modo, 
Afirmamos que los ceros de p en 
son
Veamos que todos ellos son distintos. Ciertamente, si 
entonces 
para cierto entero j. Se sigue que
lo cual es contradictorio con el rango de valores posibles de m y m'. De este modo, p tiene n – 1 ceros diferentes. Hace falta ver que dichos ceros no están repetidos. Al derivar sl(nx)q(sl(x)) = sl(x)p(sl(x)) con respecto a y = sl(x), se obtiene
Si suponemos que p tiene un cero repetido (sl(x), su derivada también se anula en dicho cero y la expresión anterior produce q(sl(x)) = 0. Esto no es posible porque hemos supuesto que p y q no tienen ceros comunes.
Corolario 3.1. La sustitución r = sl2(x) en p produce un polinomio con coeficientes enteros de grado 
en r cuyos ceros distintos y no repetidos son
]]>
3. PRIMOS DE FERMAT
Limitémonos al caso en que n es un primo de la forma 22u + 1, o sea, un primo de Fermat. Partimos, pues, del polinomio
cuyos ceros son
Denotemos por α a una raíz primitiva módulo n, es decir, α es un elemento del campo 
tal que n es el menor entero no negativo que produce 
Ahora bien, el grupo de unidades
contiene el subgrupo {1,-1} y el cociente está formado por las clases
Todo se reduce a considerar la construcción geométrica de los elementos permutados 
Construyamos enseguida
Donde 
es una raíz k-ésima cualquiera de la unidad, es decir, 
Notemos que 
es una función racional de 
digamos,
Para 
Entonces, elevando a la k,
Esta expresión es una función racional y simétrica de los ceros del polinomio; así, se puede reescribir a partir de los coeficientes c0, c1, ..., cm mediante operaciones de campo. Como 
, 
se obtiene a partir de 
mediante raíces cuadradas sucesivas. En breve 
es construible.
Si 
las raíces k-ésimas de la unidad son 
Por la forma de k, todas ellas son construibles con regla y compás en virtud del teorema de Gauss sobre la construcción de los polígonos regulares. Si permitimos que θ tome sus k valores posibles, se obtiene el sistema lineal.
En particular, la primera ecuación de este sistema, correspondiente a θ = 1, produce la suma de raíces
Por fortuna, la matriz del sistema no es singular. Es más, su inversa es
En consecuencia, las raíces de nuestro polinomio p son construibles. Esto demuestra el teorema 1.3.
]]> Supongamos para terminar que n1 es una potencia de dos o un primo de Fermat y que n2 es un primo de Fermat, distinto a n1 en el caso de que éste lo sea. Por lo anterior junto con la fórmula de adición, los números 
Son construibles para enteros cualesquiera k1, k2. Luego, por la fórmula de adición (de nuevo)
también es construible. Ya que n1 y n2 son primos relativos, existen enteros k1, k2 tales que k1n2 + k2n1. Repitiendo este argumento las veces que sea necesario, se logra la demostración del teorema 1.1.
4. A MODO DE CONCLUSIÓN
El teorema de Abel señala el momento histórico de solución del problema de dividir la lemniscata en partes iguales con regla y compás. El problema había tenido un inicio prometedor a comienzos del siglo XVIII. Sin embargo, el método analítico usado para la división en dos, tres y cinco partes se hacía muy difícil para enteros mayores. Siguiendo las enseñanzas de Gauss [2] , Abel [1] pudo resolver el problema por un método que, hoy por hoy, puede considerarse algebraico. El resultado también tiende un puente entre el pasado y el futuro del problema. Entre otros detalles interesantes, señalemos aquí que los polinomios palindrómicos, que los grandes analistas del siglo XVIII encontraban al dividir la curva, se explican con gran claridad en el marco del estudio abeliano del sl(nx), tal como se trata más arriba. De otro lado, Abel también sentó las bases sólidas que llevaron después a probar el recíproco de su teorema, un resultado interesantísimo que queda fuera de este artículo.
REFERENCIAS
]]>[1] N. H. Abel, “Recherches sur les fonctions elliptiques,” Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1827, no. 2, pp. 101-181, 1827. [ Links ]
[2] C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Göttingen: Königliche Gesellschaft für Wissenschaften, 1801. [ Links ]
[3] M. Rosen, “Abel's Theorem on the Lemniscate,” The American Mathematical Monthly, vol. 88, no. 6, pp. 387-395, 1981. [ Links ]
[4] U. Hernández, y O. J. Palacio, “División de la Lemniscata: geometría, análisis, algebra,” Pregrado, Programa de Matemáticas con énfasis en Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad del Tolima, Ibagué, p., 2009. [ Links ]
[5] C. F. Gauss, Lemniscatische Functionen II. Dargestellt durch undendliche producte un durch trigonometrische Reihen Göttingen: Königliche Gesellschaft für Wissenschaften, 1866. [ Links ]
Recibido: 11/09/2009.
Aceptado: 08/10/2010.