Este artículo presenta el método para obtener, en coordenadas cartesianas, las líneas curvas paralelas de las curvas cónicas no degeneradas, por métodos analíticos y numéricos. Se define el offset como una función paralela a la función original a una distancia r. El offset de una cónica es importante para los procesos de fabricación de mecanismos, lentes, espejos y moldes; especialmente en el torneado con control numérico computarizado (CNC) de superficies de revolución con secciones cónicas, usando buriles de diamante con punta de radio r. También se presenta una técnica refinada usando interpolación circular segmentaria para construir numéricamente el offset de una parábola, que también puede usarse como modelo para determinar el offset de la elipse y de la hipérbola.

This paper presents the method to obtain, in Cartesian coordinates, the parallel curve lines of non-degenerate conical curves, by analytical and numerical methods. Offset is defined as parallel function to the original function to a distance r. Offset of a conic is important for the manufacturing processes of mechanisms, lenses, mirrors, and molds; especially in the turning with computerized numerical control (CNC) of surfaces of revolution with conical sections, using diamond tools of radio r. Also a refined tip technique using segmental circular interpolation to numerically construct the parabola offset is presented, that also can be used as model to determine offsets of ellipse and hyperbola.

El concepto del offset de las curvas planas ha sido estudiado desde Leibniz en 1692, en Generalia de natura linearum, anguloque contactus et osculi provocationibus allisque cognatis et eorum usibus nonnullis. Numerosos métodos matemáticos y computacionales se han desarrollado con técnicas de análisis numérico (Ablamowicz y Liu, 2006). Gracias al notable avance en el desarrollo de software, hoy es posible obtener soluciones analíticas explícitas para encontrar las raíces de los polinomios característicos de grado superior. Las soluciones explícitas reducen considerablemente el tiempo de cómputo y dan una descripción matemática mucho más simple que la mayoría de las técnicas con análisis numérico (Aigner, 1997).

El offset de líneas rectas o curvas se requiere en las modernas máquinas con control numérico computarizado (CNC) y se especifica comúnmente como la “corrección de herramienta”. La trayectoria de la herramienta de corte se efectúa siguiendo la geometría del offset para obtener la geometría esperada, con una distancia de paralelismo correspondiente al radio r de la punta de la herramienta

Este artículo presenta las soluciones analíticas para el offset de las curvas cónicas no degeneradas, restringidas a una distancia de paralelismo r menor que el mínimo radio de curvatura, ya que su uso se cumple generalmente con esta condición. Adicionalmente se presenta un método numérico para obtener el offset de una parábola.

Se consideran dos parábolas suplementarias con vértices en el origen que se expresan como

donde f es la distancia focal, y el signo está definido según el sentido del maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

En los puntos P(x₀, ± z₀), las ecuaciones de las rectas normales a las parábolas respectivas son de la forma:

donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y convexo.igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo a x₀ se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de maneras recurrente:

con

Reemplazando (4) en (3) se obtiene el offset de la parábola, si y solo si r = 2f, que corresponde al mínimo radio de curvatura en los vértices,

donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset convexo, según el sentido del maquinado, que por lo general se conocen en la industria como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es decir, a la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.

En la figura 1 se presentan dos parábolas normalizadas, es decir, con vértice en el origen y sus respectivos offsets requeridos para el torneado CNC, usando buriles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes deburiles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas computarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.

sea el offset convexo se expresa como:

y el offset cóncavo:

Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como

donde A y B semiejes y A > B, donde el signo esta definido según el sentido del maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo método analítico utiliza do para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.

En los puntos P(x₀, z₀) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:

Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x₀, z₀):

con

Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,

La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.

Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso de offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.

Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como

con A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo algoritmo de las secciones 2 y 3, se obtiene el offset analítico de la hipérbola:

En la figura 3 se muestra un ejemplo del offset de una hipérbola realizado con ayuda de software para verificar la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó para la parábola y la elipse.

La solución recurrente expuesta para el offset explícito de las curvas cónicas es mucho más simple que cualquier método con análisis numérico, ya que se reduce considerablemente el tiempo de cómputo y maximiza el acabado superficial usando interpolación fina de una etapa, en lugar de técnicas usuales como interpolación lineal segmentaria, interpolación circular segmentaria e interpolación circular usando elementos finitos (Aigner, 1997).

Las soluciones presentadas permiten desarrollar software de alta calidad geométrica y numérica para efectuar la corrección de herramienta en el torneado CNC de superficies de revolución, con sección longitudinal correspondiente a una cónica no degenerada, para su uso en la fabricación de lentes y espejos asféricos. Los métodos de interpolación permiten producir la geometría especificando un error máximo e_i predeterminado, que generalmente es inferior a 0,1 μm, magnitud inferior a la longitud de onda de la luz violeta.

Existen circuitos integrados especializados para realizar interpolaciones de orden superior, como los fabricados por Toko en Japón, en especial para la parábola, usando técnicas de interpolación lineal segmentaria sin corrección de herramienta. Como los procesos de análisis numérico son por lo general extensos, se presenta a continuación un refinamiento de la interpolación circular segmentaria para el offset de una parábola. Procesos similares puede desarrollar el lector para cualquier geometría de orden superior.

5.1 Aplicación: Fundamentos matemáticos para la fabricación de moldes cóncavos con sección longitudinal parabólica

Para la fabricación de un molde o un espejo correspondiente a un paraboloide de revolución con resolución y rugosidad total inferior a un cuarto de longitud de onda de la luz ultravioleta (λ/4 ≈ 50 nm) se requiere el siguiente modelo que segmenta una parábola en tramos circulares para compensar la geometría de corte, según el radio de la herramienta rh, utilizando usualmente un buril de diamante con radio (0,5 ±0,001) mm, con líneas de Fourier claramente continuas¹, para tornear la superficie con control numérico computarizado CNC, con interpolación compilada de una sola etapa, ya que los procesos de interpolación multietapa interpretados generan pausas entre instrucciones de segmentación, si el control de la máquina no tiene feed-forward enclavado entre ejes, usando un husillo aerodinámico de mando directo, sin rodamientos y carros cartesianos con lubricación aerodinámica con superficies de apoyo de bronce sinterizado, para minimizar la vibración de la máquina y aumentar la eficiencia del proceso. Dicho modelo se basa en un refinamiento de la interpolación segmentaria(spline) lineal que se describe en la sección 5.1.1.

Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:

El versor² del segmento es:

El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:

El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:

La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρ_s como:

Construyendo una función para la cuerda

Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b

con lo anterior se define el radio total

Como prueba del acierto de la expresión (27), en el límite, cuando b = a + Δx y hallando el límite cuando Δx tiende a 0:

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procemiento para calcular las coordenadas del centro de la circunferencia que pasa por los puntos

y

evaluando el sistema de las ecuaciones (30), (31) y (32), se tiene que:

y

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z (a,f)) es

donde el radio del segmento circular será igual a:

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37)se obtiene

Para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

que de manera recurrente

Se debe considerar también que en el proceso de torneado de superficies cónicas de revolución, con buril de diamante, el maquinado debe efectuarse en el cuadrante apropiado, para que los tornillos de bolas recirculantes del torno CNC estén sometidos a esfuerzos de tracción, y así obtener mayor rigidez, cuando se efectúa el avance del buril, desde la periferia hasta el centro. Además, la altura del filo de corte de la herramienta, sin ángulo de ataque, debe tener un acierto con relación al eje de revolución de husillo, inferior a 0,001mm, posicionando la herramienta, si es posible, mediante el uso de una cámara de video con aumento de 100x. Siempre debe usarse, si se requiere acabado espejo, un husillo aerodinámico. Está demostrado experimentalmente que cualquier velocidad del husillo superior a 6000 r. p. m. no tiene incidencia sobre el buen o mal acabado superficial. El avance es el parámetro con más influencia en el buen acabado. Es preferible usar velocidad de avance radial constante, para maximizar la estabilidad dimensional del sistema de control.

Es válido concluir que es mucho más fácil usar el offset explícito de una curva cónica no degenerada que un método de interpolación con análisis numérico, para los procesos de manufactura de lentes y espejos, ya que los cálculos son más simples y más rápidos; y si para la parábola es más complejo el offset numérico será aun más complejo para la elipse y la hipérbola, ya que se involucran muchos radicales enclavados.

Notación

¹ Las líneas de Fourier son causadas por la difracción de la luz en el filo, que indican su estado. Si las líneas de Fourier observadas bajo el microscopio con un aumento típico de 400x tienen cambios abruptos, es porque el filo de la herramienta está deteriorado en sus vecindades.

² Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario, cuyo empleo debería rescatarse.

Ablamowicz, R. and Liu, J. (2006). On the parallel lines for nondegenerate conics. http://arxiv.org/ PS_cache/math/pdf/0602/0602248v1.pdf.        [ Links ]

Kincaid, D. y Cheney, W. (1994). Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana        [ Links ]

Aigner, K. (1997). Symbolic computation of and with offset curves. http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/2577/ftp:zSzzSzftp.risc.unilinz.ac.atzSzpubzSztechreportszSz1997zSz97-21.pdf/aigner- 97symbolic.pdf.        [ Links ] ]]> 2006 1994 1997