REGRESSION AND CORRELATION OF OPTICAL SURFACES OF REVOLUTION IN CANONICAL FORM KNOWN THE RADII OF CURVATURE

Juan Camilo Valencia*,Álvaro Hernán Bedoya**

* Ingeniero de Producción y Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT. Profesor Asistente, Escuela de Ingeniería de Antioquia. Medellín, Colombia. jucava@eia.edu.co

** Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de Antioquia. Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT. Profesor, Institución Educativa Manuel José Sierra. Girardota, Antioquia, Colombia. rigelbach@hotmail.com

Discusión abierta hasta junio de 2010

RESUMEN

Se presentan tres modelos matemáticos para la regresión y correlación de una nube de N puntos en R3 con coordenadas cartesianas x_j, y_j como abscisas, con su respectiva ordenada ri como radio de curvatura de la sección axial o sagital, pero que no corresponde a la curvatura gaussiana, con un paraboloide, elipsoide e hiperboloide de revolución en forma canónica. Este modelo acepta que los datos están debidamente centrados, es decir, el vértice de las superficies de revolución está preestablecido en el origen, por lo cual es aplicable a la córnea humana.

PALABRAS CLAVE: córnea; correlación; elipsoide; hiperboloide; queratometría; paraboloide; regresión; topógrafo corneal.

KEY WORDS: cornea; correlation; ellipsoid; hyperboloid; keratometry; paraboloid; regression; corneal topographer.

RESUMO

Apresentam-se três modelos matemáticos para a regressão e correlação de uma nuvem de N pontos em R3 com coordenadas cartesianas x_j, y_j como abscissas, com sua respectiva ordenada ri como rádio de curvatura da seção axial ou sagital, mas que não corresponde à curvatura gaussiana, com um paraboloide, elipsoide e hiperboloide de revolução em forma canônica. Este modelo supõe que os dados estão devidamente centrados, isto é, o vértice das superfícies de revolução está preestabelecido na origem; pelo qual é aplicavel à córnea humana.

PALAVRAS CÓDIGO: córnea; correlação; elipsoide; hiperboloide; queratometria; paraboloide; regressão; topógrafo corneano.

El primer modelo que se desarrolla en el presente documento es útil en particular para el control de calidad de la geometría de una superficie especular con sección parabólica, como en espejos para telescopios, o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos de spin-casting para lentes de contacto (Wichterle y Wichterle, 1970) y espejos líquidos con fluidos en rotación libre (Angel et al. 2008). También este modelo puede usarse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana con un paraboloide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados.

El segundo modelo es útil para el control de calidad de la geometría de una superficie especular con sección elíptica que se aplana hacia la periferia, como en espejos para instrumentos, o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo puede usarse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana (Davis et al., 2005) con un oblate elipsoide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados. Es importante mencionar que las superficies elípticas tienen reflexión perfecta de foco a foco y también presentan refracción perfecta en el foco más lejano al vértice, si los rayos son paraxiales, por lo tanto, son ideales para modelar córneas, si se supone visión lejana. Adicionalmente, también se incluye el modelo de regresión y correlación de un prolate elipsoide de revolución en forma canónica, útil para verificar la superficie corneal post-keratomileusis in situ (Huang, Shekhar y Tang, 2003), a pesar de que no presente refracción perfecta.

Y el tercer modelo es útil para el control de calidad de la geometría de una superficie especular con sección hiperbólica como en espejos para instrumentos, o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo puede emplearse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana con un hiperboloide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados. Conviene mencionar que las superficies hiperbólicas tienen reflexión perfecta de foco real a foco virtual y también presentan refracción perfecta paraxial para los rayos que provienen de un foco cercano, por lo cual son aplicables para modelar córneas si se supone visión cercana, en especial en casos de alta miopía corneal comunes a todos los queratoconos.

Los métodos de regresión y correlación de sistemas no lineales se resuelven usualmente mediante dos técnicas:

La primera técnica usa un algoritmo (Bates y Watts, 1988) que permite iterativamente aproximar los valores de los parámetros desconocidos, obteniendo un estimado lineal para sus cambios (Valencia y Bedoya, 2009).

La segunda técnica usa un algoritmo directo que permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales en varias variables de forma iterativa mediante el uso de herramientas de cómputo. Esta técnica es la que se recomienda para el uso práctico de este trabajo (Ortega y Rheinboldt, 2000), lo cual no es objeto de este estudio.

2. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN

Para la verificación de la calidad de una superficie óptica correspondiente a un paraboloide de revolución se usan instrumentos modernos como topógrafos computarizados, microscopios y nanoscopios, queratómetros computarizados que permiten generar una imagen bidimensional con zonas de nivel o tridimensional con superficies de nivel que caracterizan la superficie. Algunos de estos instrumentos generan las elevaciones métricas en un sistema de coordenadas cilíndricas (r, θ, z); existen muchos instrumentos que suministran la información de la superficie con un sistema de coordenadas experto que incluye la curvatura (r, θ, k) o, en su lugar, radios de curvatura (x, y, ρ) en coordenadas cartesianas. A continuación se muestra un sistema equivalente que permite unificar los tres sistemas de medición usando como modelo (x, y, ρ). La figura 1 muestra la imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular.

Se observa en la figura 1 la queratometría que muestra las zonas isocurvatura con curvas de nivel en colores o con puntos que tienen la misma curvatura. Por norma internacional, se acepta que la información presentada por estos instrumentos permite calcular los radios de curvatura ρ como función de la curvatura k, en milímetros, equivalentes para cada pixel a

donde 1,3375 es equivalente al índice de refracción del sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand. Algunos fabricantes de estos instrumentos adoptan como índice de refracción 1,3376.

Los métodos de regresión han sido ampliamente usados como algoritmos de análisis numérico y estadístico para determinar la geometría que mejor se adapta a los datos correspondientes a una nube puntos en R² o en R³ con una función matemática preestablecida, que en este caso particular corresponde a un paraboloide de revolución en coordenadas cilíndricas

para determinar la distancia focal ƒ_a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición.

2.1 Método de los mínimos cuadrados con las ordenadas

Para hacer la regresión de la imagen topográfica de una nube con N puntos de la forma (x_j, y_j, ρ_j) con eje centrado, se reduce el problema a R² con

así, la nube de N puntos toma la forma (r_j, ρ_j) para efectuar la regresión por el método de los mínimos cuadrados en R² con un error total de la forma

]]> Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al paraboloide de revolución puede ser expresada con

Así, también los radios de curvatura principales del paraboloide de revolución se calculan con

Para cada punto de la topografía (r_j, ρ_j), se determina la ordenada correspondiente z mediante las soluciones reales de

la cual es

donde Sgn (ƒ_a) corresponde al signo de la distancia focal para indicar el sentido del paraboloide con relación al eje z. Si se supone el signo positivo por simplicidad, los valores obtenidos para z_j serán siempre positivos, ya que el mínimo radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal.

Sustituyendo (8) con el signo positivo en (4) se obtiene

]]>

Para minimizar el error total Et se deriva (9) con relación a la variable desconocida ƒ_a:

Simplificando y expandiendo (10) se obtiene

con donde la solución real y más positiva para la ecuación (11) puede ser obtenida por métodos numéricos, usando modelos matemáticos estándares (Kincard y Cheney, 1994).

2.2 Método de los mínimos cuadrados con las curvaturas de la córnea humana

Este método alterno permite minimizar el error total como función de las curvaturas,

donde

]]>

Minimizando el error total

Así, la solución para ƒ_a puede obtenerse con métodos numéricos. Es importante considerar que este método hace énfasis en la zona central de la córnea, ya que es más curva en el centro y se aplana hacia la periferia, por lo tanto, puede dar mejores resultados prácticos y clínicos para ƒ_a que los obtenidos con (11).

Es más conveniente usar para la regresión y correlación corneal el método de los mínimos cuadrados con las curvaturas que con los radios de curvatura, ya que en la periferia los radios de curvatura son muy grandes y el modelo haría énfasis en la zona periférica, que por lo general no tiene mucho interés óptico, debido a que la mayoría de la luz que ingresa al ojo es central.

2.3 Índice de correlación

Como es usual para las regresiones con líneas curvas, se define el índice de correlación cc como un número adimensional entre cero y uno, para indicar la bondad del ajuste. Así,

reemplazando (8) definida positiva en (14) y la función del paraboloide

]]> con la distancia focal ƒ_a obtenida en la regresión.

3. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

En este caso, la geometría de la regresión corresponde a un elipsoide de revolución en coordenadas cilíndricas con vértice en el origen definido por

donde n_a es el índice de refracción de una lente o de la córnea humana con un valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado n_a = 1,3375, para determinar los semiejes o la distancia focal ƒ_a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición. Para facilitar la comprensión del lector se supondrá el signo positivo en las ordenadas del elipsoide de ahora en adelante.

La figura 2 muestra otra imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular usando otro instrumento.

3.1 Regresión de un oblate elipsoide

La nube de N puntos toma la forma (r_j, ρ_j), para efectuar la regresión por el método de los mínimos cuadrados en R² con un error total de la forma

]]>

para las funciones (16) y (17) respectivamente. Se observa claramente que la regresión debe calcular los dos semiejes usando (18), o si se desea, se supone la superficie con refracción perfecta para calcular sólo la distancia focal ƒ_a usando (19).

Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al elipsoide de revolución puede expresarse con

o respectivamente

Así, también los radios de curvatura principales del elipsoide de revolución se calculan con

o respectivamente

para calcular

con la solución

o respectivamente si se supone refracción perfecta

que corresponde a

Substituyendo (25) o (27) en (18) o (19) respectivamente y simplificando para calcular

y desarrollando

o si se supone refracción perfecta

y desarrollando

Para minimizar el error total Et se derivan (28) y (30) con relación a las variables desconocidas A_a, B_a o ƒ_a , según el criterio de diseño sin refracción perfecta central o con ella. Como los sumandos no son funciones lineales de las variables desconocidas, se hace necesario el uso de un método numérico con la linealización de los kernels o sin ella, usando series de Taylor alrededor del origen, pero recordando que los desarrollos generan errores considerables cuando se alejan del origen, por eso es importante considerar el mayor número de términos que sea posible.

]]>

para construir un sistema de dos ecuaciones con incógnitas A_a y B_a.

Y si se supone refracción perfecta

con

para determinar con métodos numéricos la distancia focal ƒ_a.

Aceptando que la córnea humana se ajusta para visión lejana, con el modelo simplificado córnea-humor acuoso n_a = 1,3375, la expresión anterior se reduce a

]]>

Y si se acepta refracción perfecta en la interfase córnea-humor acuoso n_a = 1,376:

con

3.2 Regresión de un prolate elipsoide

En este caso no se aplica la refracción perfecta central. Usando el mismo procedimiento utilizado para la regresión de un oblate elipsoide de revolución con coordenadas cilíndricas, en forma canónica za = ± (B_a – B_a √1-r² /A_a ²) con A_a > B_a, la solución final es equivalente a (32) y (33) pero con el intercambio de semiejes A_a y B_a, así:

para construir un sistema de dos ecuaciones con incógnitas A_a y B_a.

Como caso especial, si los semiejes de la elipse son iguales, el sistema degenera en el caso esférico donde el radio A_a de la esfera que mejor se ajusta a la nube de puntos satisface

donde la solución real no negativa para Aa puede obtenerse con métodos numéricos.

3.4 Regresión de un oblate elipsoide usando el método de los mínimos cuadrados con las curvaturas de la córnea humana

Este método alterno permite minimizar el error total como función de las curvaturas,

Minimizando el error total

Así, las soluciones para A_a y B_a pueden obtenerse con métodos numéricos.

Si se supone refracción perfecta

y si n_a =1,3375

y si n_a =1,376

con ƒ_a y r_j en milímetros.

3.5 Índice de correlación

Reemplazando (25) en (14) y la función del elipsoide

con las constantes A_a y B_a obtenidas en la regresión.

Suponiendo refracción perfecta, el índice de correlación cc se obtiene al reemplazar (27) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:

con la distancia focal ƒ_a obtenida en la regresión.

El índice de correlación para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand con n_a =1,3375 es:

]]> El índice de correlación para la interfase aire-córnea para uso en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con n_a =1,376 es:

con la distancia focal ƒ_aobtenida en la regresión.

La figura 3 muestra la imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular.

4. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN

En este caso corresponde a un hiperboloide de revolución en coordenadas cilíndricas con vértice en el origen definido con

donde n_a es el índice de refracción de una lente o de la córnea humana con un valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado n_a = 1,3375; y así, determinar los semiejes o la distancia focal ƒ_a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición. Al igual que en el elipsoide, para facilitar la comprensión del lector, se supondrá el signo positivo en las ordenadas.

4.1 Regresión de un hiperboloide En este caso el error total es

o

para las funciones (52) y (53) respectivamente. Se observa con claridad que la regresión debe calcular los dos semiejes usando (54), o si se desea, se supone la superficie con refracción perfecta para calcular sólo la distancia focal ƒ_a usando (55).

Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al hiperboloide de revolución puede expresarse con

o respectivamente

Así, también los radios de curvatura principales del hiperboloide de revolución se calculan con

o respectivamente

]]>

para calcular

Para cada punto de la topografía (r_j, ρ_j), se determina la ordenada correspondiente z mediante la solucione real de

que corresponde a

o respectivamente si se acepta refracción perfecta

que corresponde a

]]>

Sustituyendo (61) o (63) en (54) o (55) respectivamente y simplificando para calcular el error total como función de los radios de curvatura se tiene

y desarrollando

si se supone refracción perfecta

y desarrollando

Para minimizar el error total Et se derivan (64) y (66) con relación a las variables desconocidas A_a, B_a o ƒ_a, según el criterio de diseño sin refracción perfecta central o con ella.

]]>

para construir un sistema de dos ecuaciones con incógnitas A_a y B_a.

Y si se supone refracción perfecta

con cuyo desarrollo se reduce a

para determinar con métodos numéricos la distancia focal ƒ_a.

4.2 Regresión de un hiperboloide usando el método de los mínimos cuadrados con las curvaturas de la córnea humana

Este método alterno permite minimizar el error total como función de las curvaturas,

]]>

donde

Minimizando el error total

Que se pueden sumar para obtener una expresión más simple

Así, las soluciones para A_a y B_a pueden obtenerse con métodos numéricos.

Si se supone refracción perfecta

]]> y si n_a =1,3375 para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand

y si n_a =1,376 para la interfase aire-córnea para usarse en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior

con ƒ_a y r_j en milímetros.

Se debe aclarar que, aunque histológicamente la córnea humana tiene diferentes tipos de células con diferentes índices de refracción, el estroma corneal es el tejido más abundante, que prácticamente configura el índice de refracción promedio n_c = 1,376; sin embargo, debe recordarse que las células epiteliales de la primera y delgada superficie tienen un índice de refracción de 1,401. Los modelos matemáticos que se desarrollen en el futuro posiblemente considerarán estos detalles. Algunos sistemas láser con pulsos de femtosegundos (10-12 s) usados para la keratomileusis in situ aprovechan las diferencias ópticas que existen entre las diversas capas de células corneales para iniciar la cirugía desepitelizando la córnea, creando un alerón de células epiteliales con la membrana de Bowman y así exponer el estroma a la ablación (remoción de tejido por evaporación), sin los riesgos comunes que implica el uso del microqueratomo² (Carriazo-Barraquer, 2001) con anillo de fijación.

4.3 Índice de correlación

Reemplazando (61) en (14) y la función del hiperboloide

con las constantes A_a y B_a obtenidas en la regresión.

]]> Si se supone refracción perfecta, el índice de correlación c_c se obtiene al reemplazar (63) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:

con la distancia focal f_α obtenida en la regresión.

El índice de correlación para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand con n_α =1,3375 es:

El índice de correlación para la interfase aire-córnea para su utilización en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con n_c = 1,376 es:

5. CONCLUSIONES

Nomenclatura

A_α Semieje mayor anterior

B Variable recurrente

B_α Semieje menor anterior

C Variable recurrente

c_c Coeficiente o índice de correlación

c_j Variable j-ésima recurrente

D Variable recurrente

E_t Error total

f_α Distancia focal geométrica u óptica anterior

K Poder queratométrico corneal

k Curvatura o queratometría

k_j Queratometría j-ésima

N Número de puntos

n_α Índice de refracción relativo al aire

r Radio polar

r_j Radio polar j-ésimo

x Abscisa cartesiana

x_j Abscisa j-ésima cartesiana

y_j Abscisa j-ésima cartesiana

z Ordenada cilíndrica

z_α Ordenada cartesiana anterior

z_j Ordenada j-ésima cartesiana

θ Ángulo polar

ρ Radio de curvatura

ρ_j Radio de curvatura j-ésimo

REFERENCIAS

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