Transformação conforme para prescrever curvatura escalar à esfera
Conformal transformation for prescribing scalar curvature on sphere
Claudia Granados-Pinzón1 y Wilson Olaya-León2
1 Magíster en Ciencias matemáticas, cigranad@uis.edu.co, profesora, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga-Colombia.
2 Magíster en Ciencias matemáticas, wolaya@uis.edu.co, profesor, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga-Colombia.
(Recepción: 12-nov-2009. Modificación: 22-feb-2010. Aceptación: 22-feb-2010)
Resumen
]]> Granados, en [1], ha demostrado la existencia de una familia de métricas conformes a la usual de la esfera unitaria con curvatura escalar n(n − 1). En el presente artículo se halla otra solución al problema de prescribir la curvatura escalar de Sn por medio de una transformación conforme adecuada. Más aún, si se conociera una familia de soluciones al problema general, se obtendría otra familia de soluciones.Palabras claves: métrica conforme, curvatura escalar, espacio de Hilbert, transformación conforme.
Resumo
Granados [1] mostrou a exisência de uma familia de métricas conformes à usual da esfera unitária com curvatura escalar n(n − 1). No presente artigo encontra se uma outra solução ao problema de prescrever a curvatura escalar da Sn por meio de uma transformação conforme adecuada. Mais ainda, se conhêceramos uma familia de soluçoes ao problema geral, obteriamos uma familia de soluçoes.
Palavras chaves: métrica conforme, curvatura escalar, espaço de Hilbert, transformação conforme.
Abstract
In [1], Granados proved the existence of a whole family of conformal metrics to the Euclidean metric on Sn having scalar curvature n(n −1). In this paper, we find another solution to the problem of prescribing scalar curvature on Sn. Furthermore, if a family of solutions of the general problem is known, we get a new family of solutions.
Key words: conformal metric, scalar curvature, Hilbert space, conformal transformation.
Sea Sn ={(x1, x2, . . . , xn+1) ∈ 
n+1: 
} n ≥ 3, la esfera unitaria en n+1 con la métrica usual g0 = 
. Sn tiene entonces curvatura escalar constante igual a K0 = n(n − 1) Si g es otra métrica riemanniana en Sn , se dice que g es una deformación conforme de g0 si y sólo si existe una función u suave positiva tal que g = 
g0. Un problema clásico en geometría diferencial es determinar las funciones K definidas sobre Sn para las cuales existe una métrica conforme a la métrica g0 con curvatura escalar prescrita K en Sn.
Dada la función K, la existencia de dicha g equivale a la existencia de una solución positiva suave u, definida en Sn con valores reales, a la ecuación diferencial
donde g = g0.
Si K(x) es constante, el problema es conocido como la conjetura de Yamabe, el cual fue estudiado por Yamabe (1960), Trüdinger (1968), Aubin (1976) y finalmente demostrado por Richard Shoen en 1984, ver [2, 3, 4]. Para una función de curvatura K(x) no constante el problema sigue sin resolver. Aunque son numerosos los intentos y los resultados concluyentes encontrados en relación al problema, en la actualidad sigue abierto ya que la gran dificultad en la solución de estos problemas es la falta de compacidad entre los encajamientos de los espacios de Sobolev asociados. El resultado más reciente ha sido presentado en el año 2001 por Wenxiong Chen and Congming Li [5], donde muestran una condición necesaria y suficiente para que el problema tenga solución.
En el caso particular, K(x) = K0 = n(n − 1), todo se reduce a probar la existencia de una función positiva u que resuelva el problema
donde g = g0.
El teorema 1.1 garantiza la existencia de una familia de soluciones a (2) y, así, la existencia de una familia de métricas conformes a la usual en Sn. Su demostración se puede ver en [1] ó [6] aunque el resultado fue presentado en [5] sin dar alguna sugerencia de su prueba.
]]> Teorema 1.1. La ecuación diferencial no lineal (2) tiene infinitas soluciones
donde 0 ≤ r < π es un número real que depende de x y 0 < λ ≤ 1 es la variable que produce las infinitas soluciones de (2).
En la sección 2 se define una transformación conforme adecuada que permite hallar otra solución de (2).
2 Nota sobre la solución u ≡ 1
Considerando el espacio de Hilbert 
(Sn) = {u ∈ L2(Sn) : ▽u ∈ L2(Sn)}, cuya norma está dada por ||u||(Sn)= ∫Sn(|▽u|2 + 
dV)
, se define el conjunto S = {u ∈ (Sn) : ||u||2 = |Sn|, u > 0}, donde |Sn| es el volumen de Sn y tomando además que Sn está centrada en en+1 = (0, . . . , 0, 1).
Siguiendo el bosquejo de la demostración del resultado más general que aparece en [5], se define a continuación la familia de transformaciones conformes T : S → S, dada por
con h : Sn → Sn definida por
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donde 0 < λ ≤ 1 y (r, θ) ∈ Sn con 0 < r < π y θ ∈ Sn−1.
Lema 2.1.
con 0 < λ ≤ 1.
Demostración. La derivada de h en el punto p es la función (dh)p: TpSn→ TpSn definida por (dh)p(v) = 
h(α(t))|t=0, donde α(t) es una curva en Sn que satisface α(0) = p, α′(0) = v.
Para facilitar los cálculos, se extiendeha una función suave 
: n+1→n+1. En consecuencia, se tiene que
donde x1 = θ1sen r, . . . , xn = θnsen r, xn+1 = 1 − cos r, y1 = θ1 sen
,..., yn = θn sen, yn+1 = 1 − cos, con = 2tan−1 (λtan 
) y (θ1 ,...,θn) ∈ Sn− 1 . Así, yi = 
sen, para 1 ≤ i ≤ n. De la expresión para se sigue que sen = 
Por consiguiente, yi = 
, para i = 1,...,n. Además, yn+1 = 1− cos = 1−
. Entonces, 
Por otra parte, la restricción de 
a la esfera Sn es simplemente h y, así, tiene rango n. De hecho, se tiene 
+· · · + 
+(xn+1− 1)2 = 1, lo cual permite despejar xn+1 en función de las xi, 1 ≤ i ≤ n. Por tanto, la última columna de la diferencial tiene componentes nulas. De este modo, el determinante de dh es el subdeterminante de d correspondiente a las xi, 1 ≤ i ≤ n. Es decir,
con 0 < λ ≤ 1. Usando coordenadas esféricas donde xn+1 = 1 − cos r. Entonces,
con 0 < λ ≤ 1.
El teorema 2.1 muestra la solución constante u ≡ 1 de (2) después de aplicar la transformación conforme (4) a la solución (3). Este resultado será generalizado en el teorema 3.1.
Teorema 2.1. Sean Φ y T definidos en (3) y (4) respectivamente, entonces
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Demostración. Por (3) y el lema 2.1, se tiene que
3 Transformación conforme y problema general
El método de transformación conforme ha sido utilizado para simplificar problemas que incluyen la ecuación de Laplace ya que ésta es invariante cuando se aplica la transformación [4, pág. 183].
Sean γ = τ = 
y la función R(x) = 
K(x). Así, (1) se transforma en
De la primera identidad de Green se sigue que
Se definen las funcionales
y
para u ∈ (Sn).
Se observa que ||u||2 ≡ E(u), es decir, el conjunto S, definido en la sección 2, es simplemente S = {u ∈ (Sn) : E(u) = γ|Sn|, u ≥ 0}, donde|Sn|es el volumen de Sn.
Lema 3.1. Un múltiplo escalar de un punto crítico de J en S es solución de (6).
A continuación se demuestra una importante propiedad de las funcionales J y E. Esta propiedad se conoce como invarianza conforme y permite encontrar, en el teorema 3.1, a otra familia de soluciones de (6).
Lema 3.2. J(Tu(x)) = J (u(x)) y E(Tu(x)) = E(u(x)), para u ∈ (Sn).
Demostración. Primero se verá que J (Tu(x)) = J(u(x)), para u ∈ (Sn). En efecto, aplicando la transformación (4) y haciendo el cambio de variables y = h(x) se tiene que
Ahora, se puede ver que E(Tu) = E(u), para u ∈ (Sn).
Por (4) y (5), se tiene que Φ ◦ h(x) = [det dh]
. Además,
Luego,
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Por otro lado,
Así,
La tercera y cuarta igualdad se siguen de φq(h(x)) = (detdh) y T(u(x)) = u(h(x)) Φ−1(h(x)), respectivamente.
En el teorema 3.1, que generaliza el resultado encontrado en el 2.1, muestra que si se conociera una familia de soluciones del problema más general de prescribir la curvatura escalar en Sn , y utilizando la transformación conforme definida en (4), se obtendría otra familia de soluciones. Este resultado se presentó en [5] sin dar sugerencia de su demostración.
Teorema 3.1. Si u es solución de (6), entonces Tu también es una solución.
]]> Demostración. De la definición de la derivada de Gâteaux y puesto que J(Tu) = J (u), se tiene que
donde h−1 es la inversa de h. Si u es solución de (6) entonces J′(u) = 0 y E(u) = γ|Sn|. Así, por (7) y puesto que E(Tu) = E(u) teniendo que J′(Tu) = 0 y E(Tu) = γ|Sn|. Lo cual implica que Tu es también una solución de (6).
4 Conclusiones
Se muestra una forma creativa de encontrar la solución trivial al problema de prescribir la curvatura escalar en la n-esfera con curvatura escalar n(n − 1). También se presenta una transformación conforme que puede ser útil en el problema de prescribir la curvatura escalar a la esfera. Es decir, si se conociera una familia de soluciones del problema general entonces utilizando dicha transformación se obtendría otra familia de soluciones.
El problema de prescribir la curvatura escalar a la esfera ha recibido gran atención en la literatura y varios autores han encontrado condiciones sobre K para la existencia de g, ver [1, 2, 5, 8, 9], pero en la actualidad sigue siendo un problema abierto.
Agradecimientos
]]> Los autores expresan su agradecimiento a los árbitros de la revista por sus valiosas sugerencias y por supuesto a la Universidad Industrial de Santander por el apoyo prestado.
Referencias
1. C. Granados. Un caso particular del problema de prescribir la curvatura escalar en Sn. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, pISSN 0120-6788, eISSN 1900-043X, XV(1), 119-123 (2007). Referenciado en 47, 48, 49, 55 [ Links ]
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