1Articulo derivado de la investigación "La Ineficiencia en el control de costos de reducción de la contaminación, para el caso de usuarios industriales y comerciales con vertimiento a la red de alcantarillado en Colombia", financiado por la Universidad los Libertadores durante el año 2011.
2Ph. D en Estadística e Inv. Operativa, Profesor, Escuela de Ingeniería de la Organización, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, alcorrea@unal.edu.co.
3Estudiante de Maestría en Ingeniería Administrativa, Escuela de Ingeniería de la Organización, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, jmcogollof@unal.edu.co
4Estudiante de Maestría en Ingeniería Administrativa, Escuela de Ingeniería de la Organización, Facultad de Minas, Universidad Nacional
Correspondencia: Alexander Alberto Correa Espinal, e-mail: alcorrea@unal.edu.co
Artículo recibido: 17/05/2011, Artículo aprobado: 25/06/2011
Resumen
Introducción. Un aspecto emergente en los sistemas de distribución comercial es reducir el impacto ambiental encontrando las mejores rutas de los vehículos con el fin de minimizar el tiempo o la distancia total del recorrido y, por ende, el consumo de combustible. La teoría de grafos es una herramienta importante para la solución de problemas de ruteo de vehículos con restricciones de capacidad (Capacitated Vehicle Routing Problem, CVRP). Objetivo. Aplicar una herramienta informática basada en la teoría de grafos para analizar y resolver un CVRP en una empresa de transporte de carga de cubrimiento nacional. Materiales y métodos. El análisis se realizó en una flotilla de 13 vehículos con las mismas especificaciones técnicas y capacidad de carga similar (15 toneladas). El origen escogido fue Medellín y los municipios de su área metropolitana. Los destinos se concentraron en 4 ciudades: Cartagena, Bogotá, Buenaventura y Cúcuta. Resultados. Se obtuvieron dos rutas óptimas. La primera ruta es cubierta por un vehículo con un recorrido de 2.347 Km. La segunda ruta es cubierta por un vehículo con un recorrido de 1.761 Km. Conclusiones. Se puede obtener un ahorro de 21.9% en el consumo de combustible dado que las rutas pueden ser cubiertas usando 2 vehículos menos. Es necesario complementar la solución teórica obtenida con una adecuada planeación de rutas para evitar desplazamientos vacíos de los vehículos.
Palabras clave: impacto ambiental, consumo combustible, teoría de grafos, ruteo, optimización, distribución.
Introduction. An aspect that is emerging in the commercial distribution systems is the reduction of environmental impacts, by finding the best routes for the vehicles to take and aiming to reduce time or distance and, thus, fuel consumption. The graph theory is an important tool to solve routing problems for vehicles with a restricted capacity (Capacitated Vehicle Routing Problem, CVRP). Objective. To apply an informatics tool based on the graph theory to analyze and solve a CVRP in a national cargo transportation company. Materials and methods. A 13 vehicles fleet with the same technical specifications and load capacity (15 tons) were analyzed. The c hosen departure place was Medellín and its surrounding towns. Destinations were concentrated in four cities: Cartagena, Bogotá, Buenaventura and Cúcuta. Results. Two optimal routes were found: The first one is covered by a vehicle with a distance of 2347 Km. The second is covered by a vehicle with a distance of 1761 Km. Conclusions. A 21.9% saving in fuel consumption can be achieved because the routes can be covered by the use of 2 vehicles or less. It is necessary to complement the theoretical solution obtained with an adequate route planning in order to avoid moving empty vehicles.
Key words: environmental impact, fuel consumption, graph theory, routing, optimization, distribution.
Resumo
Introdução. Um aspecto emergente nos sistemas de distribuição comercial é reduzir o impacto ambiental encontrando as melhores rotas dos veículos com o fim de minimizar o tempo ou a distância total do percurso e, portanto, o consumo de combustível. A teoria de grafos é uma ferramenta importante para a solução de problemas de roteio de veículos com restrições de capacidade (Capacitated Vehicle Routing Problem, CVRP). Objetivo. Aplicar uma ferramenta informática baseada na teoria de grafos para analisar e resolver um CVRP numa empresa de transporte de carga de cobertura nacional. Materiais e métodos. A análise se realizou numa frota de 13 veículos com as mesmas especificações técnicas e capacidade de carga similar (15 toneladas). A origem escolhida foi Medellín e os municípios de sua área metropolitana. Os destinos se concentraram em 4 cidades: Cartagena, Bogotá, Buenaventura e Cúcuta. Resultados. Obtiveram-se duas rotas ótimas. A primeira rota é coberta por um veículo com um percurso de 2.347 Km. A segunda rota é coberta por um veículo com um percurso de 1.761 Km. Conclusões. Pode-se obter uma poupança de 21.9% no consumo de combustível dado que as rotas podem ser cobertas usando menos 2 veículos. É necessário complementar a solução teórica obtida com um adequado planejamento de rotas para evitar deslocamentos vazios dos veículos.
Palavras importantes: impacto ambiental, consumo combustível, teoria de grafos, roteio, otimização, distribuição.
Introducción
El impacto ambiental de las operaciones llevadas a cabo por las empresas se ha convertido en tiempos recientes en un tema de gran interés, tanto por parte de académicos y profesionales como del personal de dirección de las empresas, debido a su relevancia social y económica; tanto es así que en muchos mercados puede llegar a convertirse en una fuente de ventaja competitiva sostenible, en la medida que los consumidores preferirían adquirir bienes o servicios provenientes de empresas ambientalmente responsables, incluso, si ello implica un mayor costo de adquisición.
Esta tendencia emergente y las regulaciones ambientales cada día más exigentes han impulsado la adición de un componente ambiental a la gestión de los sistemas de distribución comercial y, en general, a la gestión de las cadenas de suministro, dado que sus operaciones tienen un alto impacto ambiental debido a las emisiones provenientes del consumo del combustible (principalmente diesel) por parte de los vehículos utilizados. Es por ello que se hace necesario ahondar en la investigación y aplicación de herramientas de modelamiento que permitan optimizar las rutas de transporte, minimizando las distancias y/o el número de vehículos utilizados, lo cual se asocia directamente con una disminución en el consumo de combustible brindando una enorme oportunidad para reducir el impacto ambiental.
El estudio de los problemas de ruteo surge a mediados del siglo pasado con la proposición del modelo matemático del problema del agente viajero (Traveling Salesman Problem, TSP), a partir del cual muchas investigaciones se han dedicado de lleno a estos problemas en todos los casos particulares y con aplicaciones en el mundo real. En las últimas décadas ha aumentado el desarrollo de herramientas informáticas para la resolución de problemas reales de diseño de rutas de transporte, basados en modelos conceptuales inspirados en sistemas biológicos, inteligencia artificial, teorías matemáticas, entre otros, a los cuales se les programan e incorporan algoritmos y funciones, dependiendo del problema a solucionar.
]]> Teoría de grafosMuchos problemas de planificación de rutas de distribución han encontrado alternativas de solución en la teoría de grafos, dado que se facilita su modelamiento por la similaridad conceptual de las estructuras. Al igual que las rutas de distribución, los grafos son estructuras discretas que constan de vértices conectados mediante arcos. Un grafo dirigido (figura 1) se denota por G = (V, A), donde V es un conjunto no vacío de elementos denominados vértices y A C V x V es un conjunto de arcos. Cada a ∈ A tiene asociados dos vértices de V, i y j, i ≠ j; a i se le denomina origen del arco y a j, destino del arco. El arco a también se denota por (i, j), de esta forma se hace referencia al vértice origen y al vértice destino del arco1
Problema de ruteo de vehículos con restricciones de capacidad
El problema de ruteo de vehículos con restricciones de capacidad (CVRP) es un problema fundamental de optimización combinatoria con aplicaciones en la práctica logística. En las últimas dos décadas se han logrado grandes avances en su solución debido, principalmente, a mejores algoritmos y al aumento creciente de las capacidades de los equipos de cómputo2. En el CVRP se da un conjunto finito de ciudades y los costos de viajes entre ellas; una ciudad específica es identificada como el depósito de los vehículos y el resto como los clientes. Cada cliente corresponde con una localización donde se entrega una cantidad de un único producto. Las cantidades demandadas por los clientes están determinadas previamente y no se pueden dividir, es decir, que tienen que ser entregadas a un vehículo de una sola vez. En la versión más simple se supone que los vehículos son homogéneos y, por lo tanto, tienen la misma capacidad máxima3.
El CVRP también se formula como un problema de teoría de grafos. Se considera un grafo completo G = (V, E), donde V:= {0, 1,. . ., n} es el conjunto de vértices y E el conjunto de aristas entre cada dos vértices. Se denota por 0 el vértice que corresponde con el depósito de los vehículos y los vértices en {1,. . ., n} los distintos clientes. Para una arista e = [i, j] denotamos por ce el costo de ir de i a j. Hay una flota de K vehículos, cada uno de capacidad Q. Finalmente, se denota por di la demanda del cliente i. Una variable binaria xe indica si la arista e está en la ruta de un vehículo o no. Su formulación matemática es4,5:
Sujeto a:
Proyecto Grafos
Grafos es una herramienta informática (software) libre para la construcción, edición y análisis de grafos de utilidad para la docencia, aprendizaje y práctica de la teoría de grafos y otras disciplinas relacionadas como investigación operativa, diseño de redes, ingeniería de organización industrial, logística y transporte, etc. Incorpora algoritmos y funciones que permiten modelar, diseñar y analizar problemas reales8. El proceso del software tiene como pilares el desarrollo de una interfaz para la construcción y edición de grafos y el desarrollo de una estructura de clases y librerías .dll con algoritmos de resolución y análisis de problemas de teoría de grafos.
El usuario puede dibujar libremente el grafo sin preocuparse del análisis o algoritmo que utilizará posteriormente. El programa le avisa en caso de no factibilidad o de cualquier otro requerimiento para un análisis en particular. Esta libertad de cara al usuario implica una mayor complejidad en el desarrollo del código fuente, ya que no sólo hay que contemplar los supuestos aplicables al tipo de análisis o problema a resolver, sino cualquier escenario que pueda generar la interacción con el usuario (incluyendo los de no factibilidad)9.
Grafos permite la construcción tanto de grafos dirigidos como no dirigidos. Los arcos pueden tener valores asociados de costo o distancia, flujo mínimo y flujo máximo. Asimismo, los nodos, además de tener una etiqueta de identificación, pueden tener un valor asociado (peso del nodo, demanda o capacidad de producción). El usuario puede personalizar el grafo con estilos de arco, estilos de nodo, trazos y colores. La distribución del grafo la decide el usuario, aunque el programa le puede ayudar con funciones que dibujan el grafo automáticamente (formato de árbol, radial, orgánico force directed, flujo, aleatorio, etc.). También se pueden importar o exportar las coordenadas de los nodos, con la posibilidad de incorporar un mapa como fondo del grafo. El programa puede, además, calcular la distancia entre nodos e introducir este valor automáticamente (o un costo proporcional) en los arcos del grafo10.
Dentro de la denominación de problemas de rutas o recorridos se engloba todo un amplio conjunto de variantes y personalizaciones de problemas. Desde aquellos más sencillos hasta algunos mucho más complejos que incluso hoy en día son materia de investigación. Todos ellos, sin embargo, además del reto computacional que representan, tienen en común su gran importancia en investigación operativa por su aplicación práctica en la realidad. Al igual que el TSP, la mayoría de los problemas VRP son de complejidad NP-completo, porque el número de posibles soluciones crece exponencialmente con el número de nodos del grafo (ciudades o puntos de paso), y rápidamente sobrepasa las capacidades de cálculo de los computadores más potentes. Para resolver estos últimos, Grafos cuenta con la ayuda de lp_solve; un solver de programación lineal entera mixta de licencia libre (LGPL - GNU lesser general public license), el cual resuelve modelos de programación lineal (mixta) puros, con variables enteras/ binarias, conjuntos semicontinuos y special ordered sets (SOS)11,12.
Algoritmos implementados en Grafos
A continuación se detallan los algoritmos y análisis implementados13:
Algoritmo de Dijkstra (camino mínimo): el problema de la ruta más corta se puede resolver utilizando programación lineal; sin embargo, debido a que el método simplex es de complejidad exponencial, se prefiere utilizar algoritmos que aprovechen la estructura en red que se tiene para estos problemas. Para ello, el algoritmo mantiene un conjunto S de nodos cuyos pesos finales de camino mínimo desde el nodo origen ya han sido determinados.
Algoritmo de Floyd-Warshall: el problema que intenta resolver este algoritmo es el de encontrar el camino más corto entre todos los pares de nodos o vértices de un grafo. Esto es semejante a construir una tabla con todas las distancias mínimas entre pares de ciudades de un mapa, indicando, además, la ruta a seguir para ir de la primera ciudad a la segunda. Existen varias soluciones a este problema, y los algoritmos a aplicar dependen también de la existencia de arcos con pesos o costos negativos en el grafo. En el caso de no existir pesos negativos, sería posible ejecutar V veces el Algoritmo de Dijkstra para el cálculo del camino mínimo, donde V es el número de vértices o nodos del grafo.
Algoritmo de Bellman-Ford: soluciona el problema de la ruta más corta o camino mínimo desde un nodo origen, de un modo más general que el Algoritmo de Dijkstra, ya que permite valores negativos en los arcos. El algoritmo devuelve un valor booleano si encuentra un circuito o lazo de peso negativo. En caso contrario calcula y devuelve el camino mínimo con su coste. Para cada vértice v perteneciente a V, se mantiene el atributo d[v] como cota superior o costo del camino mínimo desde el origen s al vértice v.
Algoritmo de Dijkstra (árbol mínimo): es un algoritmo de trayectoria más corta; rutea cada vehículo a lo largo de la trayectoria de longitud mínima (ruta más corta) entre los nodos origen y destino. Hay varias formas posibles de seleccionar la longitud de los enlaces. La forma más simple es que cada enlace tenga una longitud unitaria, en cuyo caso, la trayectoria más corta es simplemente una trayectoria con el menor número de enlaces. De una manera más general, la longitud de un enlace puede depender de su capacidad de transmisión y su carga de tráfico. La solución es encontrar la trayectoria más corta que contenga pocos enlaces no congestionados; de esta forma los enlaces menos congestionados son candidatos a pertenecer a la ruta.
Algoritmo de Kruskal: el objetivo del algoritmo de Kruskal es construir un árbol (subgrafo sin ciclos) formado por arcos sucesivamente seleccionados de mínimo peso a partir de un grafo con pesos en los arcos. Un árbol (spanning tree) de un grafo es un subgrafo que contiene todos sus vértices o nodos. Un grafo puede tener múltiples árboles. La aplicación típica de este problema es el diseño de redes telefónicas. Otra aplicación menos obvia es que el árbol de coste total mínimo puede ser usado como solución aproximada al problema del viajante de comercio. La manera formal de definir este problema es encontrar la trayectoria más corta para visitar cada punto, al menos una vez. Si se visitan todos los puntos exactamente una vez, lo que se tiene es un tipo especial de árbol. Si se tiene una trayectoria que visita algunos vértices o nodos más de una vez, siempre se pueden soltar algunos nodos del árbol. En general, el peso del árbol total mínimo es menor que el del viajante de comercio, debido a que su minimización se realiza sobre un conjunto estrictamente mayor.
Algoritmo de Prim: consiste en dividir los nodos de un grafo en dos conjuntos: procesados y no procesados. Al principio, hay un nodo en el conjunto procesado que corresponde al equipo central; en cada interacción se incrementa el grafo de procesados en un nodo (cuyo arco de conexión es mínimo) hasta llegar a establecer la conexión de todos los nodos del grafo a procesar. De la misma manera, se puede calcular el árbol de costo máximo.
Algoritmo de Ford-Fulkersson: se puede considerar un grafo como una red de flujo, donde un nodo fuente produce o introduce en la red cierta cantidad de algún tipo de material, y un nodo sumidero lo consume. De igual modo que en redes eléctricas (Ley de Kirchhoff), la suma de flujos entrantes a un nodo debe ser igual a la suma de los salientes (principio de conservación de energía), excepto para el nodo fuente y el nodo sumidero. Por tanto, el problema de flujo máximo se enuncia como: ¿cuál es la tasa a la cual se puede transportar el material desde el nodo fuente al nodo sumidero, sin violar las restricciones de capacidad? Este algoritmo se puede usar para resolver modelos de transporte de mercancías (logística de aprovisionamiento y distribución), flujo de gases y líquidos por tuberías, componentes o piezas en líneas de montaje, corriente en redes eléctricas, paquetes de información en redes de comunicaciones, tráfico ferroviario, sistema de riego y otros.
Materiales y métodos
En las empresas de distribución comercial de bienes, el proceso de asignación de rutas se realiza, generalmente, sin utilizar herramientas científicas, solo bajo el criterio de personas "expertas" en el tema y de acuerdo con los requerimientos puntuales de los clientes, sin consideraciones para la disminución del impacto ambiental que puede darse mediante la optimización del equipo de transporte, encontrando las mejores rutas a seguir por los vehículos que minimicen el tiempo o la distancia total del recorrido.
El problema modelado consistió en una flotilla de 13 vehículos con las mismas especificaciones técnicas y capacidad de carga similar (15 toneladas). El origen escogido fue Medellín y los municipios de su área metropolitana. Los destinos se concentraron en 4 ciudades: Cartagena, Bogotá, Buenaventura y Cúcuta.
Las demandas de carga fueron:
Cartagena : 315 T
Bogotá: 345 T
Buenaventura: 60 T
El desarrollo de la solución del CVRP, aplicando la herramienta informática Grafos, se hizo siguiendo los pasos sugeridos por Rodriguez14: ingreso de la matriz de distancias entre ciudades, generación de los nodos con sus respectivas oferta y demanda de carga, y establecimiento de las restricciones y variables de operación de los vehículos.
Matriz de distancias
En la figura 2 se ilustra el procedimiento de ingreso de la matriz de distancias entre las ciudades origen y destino.
]]>
Generación de nodos
La figura 3 muestra el resultado de la fase de generación del mapa con los grafos correspondientes a la matriz de distancias origen-destino, con las cargas ofertadas (signo positivo) y demandadas (signo negativo) en cada ciudad y las distancias entre ellas (en kilómetros) establecidas en el paso anterior.
Restricciones
Las restricciones de los vehículos están dadas por las condiciones operacionales propias de la empresa, las cuales se rigen por aspectos legales e intrínsecos de este tipo de negocios. Estas restricciones se calcularon teniendo en cuenta que un vehículo trabaja 10 horas diarias, 6 días a la semana, 4 semanas por mes y a una velocidad promedio de 60 Km/h.
Las unidades utilizadas para el ingreso o definición de las restricciones en el modelamiento (figura 4) son las siguientes:
Demanda y oferta de carga, en toneladas/mes.
Costos fijos, en $/mes
Capacidad de carga de los vehículos, en toneladas/mes.
Máxima distancia de los vehículos, en Kilómetros/mes.
Las restricciones finales fueron las siguientes:
Costo fijo = $ 2.400.000 /mes en cada vehículo.
Costo Variable = $ 2.500/ Km en cada vehículo.
Capacidad de carga = 375 toneladas/mes
Máxima distancia recorrida = 14.400 Km/mes
Resultados y discusión
]]> ResultadosLos resultados del modelamiento se resumen en forma gráfica en la figura 5.
Los resultados detallados que arroja el software Grafos son los siguientes:
MÍNIMO COSTE FIJO + COSTE VARIABLE*DISTANCIA RUTA - PROBLEMA DE RUTAS CON VEHÍCULOS CAPACITADOS (CVRP)
-Tiempo de proceso = 60 segundos
RUTA 1: IdVehículo 14: VEH13
Servicio/capacidad = aprovechamiento (%): 375/375 = 100 %
Servicio/capacidad = aprovechamiento (%): 375/375 = 100 %
Distancia total = 4108 unidades
Coste variable total = 1,027E+07
Coste fijo total = 4800000
Coste total (CF+CV)= 1,507E+07
Resuelto con Grafos - v.1.2.9
Discusión
Los resultados obtenidos usando el software Grafos en la solución del CVRP propuesto están limitados a las restricciones del modelamiento definidas anteriormente. El modelo asume un vehículo con capacidad de carga 375 toneladas/mes y una distancia máxima recorrida de 14,400 Km/mes, que son los datos de capacidades de trabajo promedio de los vehículos analizados en dicho periodo de tiempo.
Teniendo en cuenta estas limitantes se tienen, entonces, los siguientes resultados:
]]> RUTA 1: IdVehículo 14: VEH13Servicio/capacidad = aprovechamiento (%): 375/375 = 100 %
(Demanda) cliente > ubicación:
Así, la ruta 1 puede cubrirse con un vehículo con aprovechamiento de capacidad del 100% (375 t/mes) y un recorrido de 2,347 Km/mes.
RUTA 2: IdVehículo 4: VEH4
Servicio/capacidad = aprovechamiento (%): 375/375 = 100 %
La ruta 2 es cubierta por un vehículo con aprovechamiento de capacidad del 100% (375 t/mes) y un recorrido de 1,761 Km/mes.
El resultado consolidado es:
Distancia total = 4108 unidades
Coste variable total = 1,027E+07
Coste fijo total = 4800000 ]]>
Este resultado consolidado se interpreta operativamente así: se requieren recorrer 4,108 Km/mes con una capacidad de carga de 375 T/mes. Trasladando este resultado a la capacidad de los equipos se tiene:
375 Toneladas = 25 Viajes de 1 camión de 15 toneladas.
25 viajes * 4,108 Km = 102,700 Km
Para cubrir este recorrido se necesita:
(102,700Km)/( 14,400 Km / Equipo) = 7.1319 camiones
El análisis se hizo en una flotilla de 13 camiones que están dedicados en un 70.25 % a las rutas analizadas, es decir, 9.1325 camiones. Por lo tanto, la disminución en el número de equipos de transporte a utilizar es de 2 camiones, lo cual representa un ahorro de 21.9% en la movilización de los camiones y, por ende, impacta en la misma proporción en la disminución del consumo de combustible para el caso en estudio.
Este ahorro se obtiene siguiendo literalmente las recomendaciones del software, aunque se debe analizar, por ejemplo, que hay algunos desplazamientos vacíos innecesarios en los recorridos Cartagena-Medellín y Cúcuta-Medellín, que se podrían aprovechar en otras rutas, lo cual se debe a las restricciones que se establecieron para modelar el problema.
Conclusiones
Con el desarrollo de la aplicación de la teoría de grafos a través de la herramienta informática utilizada se demostró su pertinencia para abordar problemas de gestión de cadenas de suministro que tienen impacto ambiental debido a la alta tasa de consumo de combustible, en el caso específico de sistemas de distribución usando vehículos con restricciones de capacidad de carga.
]]> El establecimiento de las restricciones para el modelamiento de problemas de ruteo de vehículos juega un papel importante en la obtención de una solución óptima en la medida que se pueden obtener resultados operativamente inviables o ineficientes. En estos casos, es preciso complementar la solución teórica con una adecuada planeación de rutas para evitar, por ejemplo, desplazamientos vacíos de los vehículos.Referencias
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4. Ibid., p. 1-22. [ Links ]
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