Tripletas asociadas a diagramas de nudos
virtuales^*

MARGARITA TORO^★, JOSÉ GREGORIO RODRÍGUEZ
Universidad Nacional de Colombia, Escuela de Matemáticas, A.A. 568, Medellín, Colombia.

Resumen. En este artículo estudiamos el conjunto T de las tripletas (E,A,B), donde E ∈ {-1, 1}ⁿ, A ∈ ℤⁿ y B es una matriz antisimétrica de orden n con componentes enteras, n ∈ ℕ∪{0}. Definimos una relación de equivalencia sobre el conjunto T y estudiamos propiedades de sus clases de equivalencia. La motivación para estudiar estas tripletas proviene de la teoría de los nudos virtuales, ya que mostramos cómo asignarle una tripleta a cada diagrama de un nudo virtual. Esta asignación depende del diagrama y en sí misma no es un invariante de nudos virtuales. La relación de equivalencia definida en T busca resolver este problema.
Palabras claves: tripletas, diagramas de nudos virtuales, nudos virtuales, matrices basadas, códigos nudales, nudos combinatorios.
MSC2000: 57M27, 57Q45, 05–XX.

Triplets associated to virtual knot diagrams

Abstract. In this paper we study the set T of triplets (E,A,B), where E ∈ {-1, 1}ⁿ, A ∈ ℤⁿ and B is an integral antisymmetric matrix of order n, n ∈ ℕ∪{0}. We define an equivalence relation on the set T and then we study properties of its equivalence classes. We describe a method to assign to each virtual knot diagram a triplet, and this is the motivation to study the set of triplets. As the assignation of a triplet depends on the virtual knot diagram, it is not a virtual knot invariant. But we try to solve this problem by using the equivalence relation defined on T. ]]> Keywords: triplets, virtual knots diagrams, virtual knots, based matrix, nudal codes, combinatorial knots.

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Referencias

[1] Cairns G. and Elton D., "The Planarity Problem for Signed Gauss Words", J. Knot Theory Ramifications, 2, No. 4 (1993), 359-367.         [ Links ]

[2] Kauffman L.H., "Virtual knot theory", European J. Combin. 20 (1999), 663–690.         [ Links ]

[3] Kaufman L.H. and Manturov V.O., "Virtual knots and links" (Russian), Tr. Mat. Inst. Steklova 252 (2006), 114–133.         [ Links ]

[4] Kawauchi A., A survery of knot theory, Birkhäuser Verlag, Basel, 1996.         [ Links ]

[5] Manturov V., Knot theory, Chapman & Hall, Boca Raton, FL, 2004.         [ Links ]

[6] Rodríguez J.G., Nudos virtuales, Tesis Doctoral, Universidad Nacional de Colombia. 2011.         [ Links ]

[7] Rodríguez J.G. and Toro M., "Virtual knot groups and combinatorial knots", Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences 3, 1 (2009), 297–314.         [ Links ]

[8] Toro M., "Nudos combinatorios y mariposas", Rev. Acad. Colomb. Cienc. 28, 106 (2004), 79–86.         [ Links ]

[9] Toro M., Programación en Mathematica con aplicaciones a la Teoría de Nudos. Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, 2004.         [ Links ]

[10] Toro M. y Rodríguez J.G., "Nudos combinatorios: una nueva visión de los nudos virtuales", preprint, 2009.         [ Links ]

[11] Turaev V., "Cobordism of knots on surfaces", Journal of Topology 1, No. 2 (2008), 285–305.         [ Links ]

^*Parcialmente financiado por COLCIENCIAS, proyecto 1118-521-28160.
^★Autor para correspondencia: E-mail : mmtoro@unal.edu.co.
Recibido: 20 de agosto de 2011, Aceptado: 8 de noviembre de 2011.