Non-uniform Euler-Bernoulli beams´ natural frequencies
Hugo Aya B.1, Ricardo Cano M.2, Petr Zhevandrov B.3
1Físico y M.Sc., en Física-Mathematicas, Universidad Estatal de Kishinev, Moldavia. M.Sc., en Ingeniería Eléctrica, Universidad de los Andes, Colombia. Profesor, Universidad Distrital Franscisco José de Caldas, Colombia. haya@udistrital.edu.co
2Matemático y M.Sc., en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia. Profesor, Universidad de la Sabana, Colombia. ricardo.cano@unisabana.edu.co
3Ph.D., en Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Estatal de Moscú, Rusia. Profesor, Universidad de la Sabana, Colombia. petr.zhevandrov@unisabana.edu.co
RESUMEN
En el presente trabajo se estudia el problema de frecuencias propias de la viga Euler-Bernoulli de sección no uniforme; se comparan las soluciones del problema obtenidas numéricamente con la solución asintótica lograda mediante el método Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Se establece que la precisión de las fórmulas WKB es mayor del 3% para frecuencias altas (número de modo ≥ 4).
Palabras clave: viga Euler-Bernoulli, método WKB.
ABSTRACT
]]> This paper has studied the problem of natural frequencies for Euler-Bernoulli beams having non-uniform crosssection. The numerically-obtained solutions were compared to asymptotic solutions obtained by the Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) method. It was established that WKB formula precision was higher than 3% for high frequencies (≥ 4 mode).Keywords: Euler-Bernoulli beam, WKB method.
Recibido: septiembre 9 de 2009. Aceptado: febrero 10 de 2011
Introducción
Vibraciones de vigas no uniformes han sido estudiadas desde el siglo XIX (ver, p. ej., Todhunter, 1893, §1302, sobre las investigaciones de Kirchhoff). Estudios relativamente recientes se pueden ver en Abrate (1995) y en Hsu-Lai-Chen (2008), donde se pueden encontrar referencias y un repaso de resultados. En Abrate (1995) se obtienen las frecuencias propias de vigas Euler-Bernoulli (EB) en el caso especial de coeficientes para los cuales las soluciones de la ecuación EB se expresa en términos de funciones elementales.
Para la ecuación de barra no uniforme (problema de Sturm-Liouville) con parámetros como densidad o sección transversal arbitrarios, cuando la ecuación no se integra ni siquiera en funciones especiales, se usa el método Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), también conocido en la literatura como la aproximación de Liouville-Green (Akulenko-Nesterov, 2005; Geist- McLaughlin, 2001), para encontrar la asintótica de las frecuencias altas. Este método consiste en la obtención de series asintóticas en potencias del pequeño parámetro del problema. No encontramos aplicaciones de esta técnica a la ecuación EB, que es del orden 4 (en contraste con la ecuación de vibraciones de barras, que es del segundo orden), a pesar de que el método WKB está desarrollado para ecuaciones del orden n (Fedoryuk, 1993).
En el presente artículo presentamos los resultados de dicha aplicación. Resulta que el método WKB proporciona resultados que coinciden con los resultados numéricos con el error de menos del 3% inclusive para los números de modos igual a 4, y este error sigue disminuyendo para los modos más altos.
Solución asintótica para una viga no uniforme
Las vibraciones transversales de una viga no uniforme en la aproximación Euler-Bernoulli las describen Tijonov-Samarsky (1972):
| [1] |
Buscamos los modos naturales de oscilación de la viga en la forma
Por lo tanto, al reemplazar en la ecuación (1), resulta:
De esta manera, la ecuación (1) se transforma en la ecuación
 | [2] |
Para condiciones de frontera formuladas en la sección 3 (ver abajo), los autovalores w = wn de (2) tienden al infinito cuando n → ∞ (Akulenko-Nesterov, 2005); por lo tanto, ε = w- 1/2 n → 0 cuando, n → ∞ y podemos considerar a como un parámetro pequeño de nuestro problema.
]]> Método WKBSiguiendo la receta tradicional del método WKB, buscamos la solución de la ecuación (2) en la forma
 | [3] |
donde:
y las funciones desconocidas Φ(x) y Aj(x), j = 0,1,2,... son suaves.
Sea, w2 = 1 / ε4 la ecuación en el problema (2) se transforma en la ecuación
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 | [5] |
Luego de algunos cálculos, se obtiene a partir de la ecuaciones (3) y (4) que al separar los términos en el orden de potencias de ε resulta:
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 | [7] |
De los órdenes de potencia , εn, n ≥ 2 , se pueden obtener ecuaciones para An - 1(x), n ≥ 2, que son de la misma forma que (7) con términos que dependen de Aj, j ≤ n - 2, en la parte derecha.
De la ecuación (6) se obtiene que
 | [8] |
De la ecuación (7) se obtiene
 | [9] |
Por lo tanto, reemplazando (8) en (9) se puede expresar la función A0(x) en la siguiente forma:
 | [10] |
Por lo tanto, la solución v(x) de (2) se puede expresar en la forma:
 | [11] |
Donde
La fórmula (11) representa la combinación lineal de cuatro funciones que aproximan las cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación (2) (Fedoryuk, 1993).
Las soluciones WKB en los casos cuando la solución de (2) se puede obtener en términos de funciones elementales (S, J = constantes, viga uniforme; o S = S0 (1 + αx)4, J = J0 (1+ αx)4 ; en el último caso (Abrate, 1995), la sustitución w(x) = (1 + αx)2 v(x) reduce la ecuación a la de una viga uniforme) coinciden con las soluciones exactas; en estos casos las correcciones para las amplitudes An. n ≥ 1 se anulan idénticamente.
]]> Ecuación para las frecuencias propiasPara completar el enunciado de nuestro problema, especificamos a continuación las condiciones de frontera para la función v(x) en (2) considerando los casos de una viga empotrada y una viga voladiza.
Viga empotrada en sus dos extremos
Las condiciones de frontera en este caso están dadas por
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Viga no uniforme
Al sustituir la solución (11) en las condiciones de frontera (12) obtenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones para los coeficientes Ci, i= 1,2,3,4. Este sistema tendrá soluciones no triviales cuando
 | [13] |
Donde
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La ecuación (13) es la ecuación secular para las frecuencias propias wn = ε-2
Viga uniforme
Si la viga es uniforme tenemos γ = δ, α = 0 y β = 0 por lo tanto, el determinante en (13) se transforma en
 | [14] |
De lo cual resulta
que coincide con el resultado clásico (Landau-Lifshitz, 1975).
Fórmulas WKB truncadas
]]> Hablando estrictamente, hemos obtenido la asintótica del sistema fundamental de soluciones con la precisión 0(ε) , por lo tanto, tenemos que despreciar los términos de este orden y los órdenes más altos (por ejemplo, e- L/ε = 0(ε∞)) en (13). Esto simplifica notoriamente los cálculos, de manera que el determinante en (13) se convierte en | [15] |
De lo que resulta
y se tiene entonces que
 | [16] |
Este último resultado lo vamos a llamar WKB(t) por truncado. Sin embargo, resulta que (13) proporciona una mejor aproximación a los eigenvalores, lo que vamos a ver en la sección 3.3. La retención de términos 0(ε) en (13) no está rigurosamente justificada, pero su inclusión, primero, no presenta mayor dificultad para la obtención de wn , y segundo, seguramente no empeora el resultado: las soluciones de (13) poseen la misma propiedad (16) de las soluciones de (15) y en la práctica pueden ser de mayor utilidad. Enfaticemos que las fórmulas truncadas no pasan en las fórmulas exactas cuando el problema admite una solución exacta; en cambio, la fórmula (13) sí pasa en la ecuación secular exacta en los casos cuando esta última se conoce (p.ej., el caso de coeficientes constantes).
Viga voladiza
Las condiciones de frontera para el caso de una viga voladiza4 están dadas por
]]> | [17] |
Viga uniforme
De manera similar al caso anterior, al sustituir la solución (11) en las condiciones de frontera (17) obtenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones para los coeficientes Ci, i=1,2,3,4
Este sistema tendrá soluciones no triviales cuando:
 | [18] |
de lo que resulta
Fórmulas WKB(t)
Igual como en la subsección (3.1.3), despreciando los términos del orden O(ε) y los de órdenes más altos en (18), obtenemos:
]]> Este sistema tendrá soluciones no triviales cuando: | [19] |
De lo que resulta
y se tiene entonces el mismo resultado (16).
De manera análoga, se pueden considerar otras condiciones de frontera.
Resultados
A continuación se presentan las frecuencias adimensionales de los seis primeros modos de oscilación para una viga cónica de un metro de longitud, obtenidas mediante el paquete Ansys y las fórmulas WKB y WKB(t). En este caso se tiene para el radio (en milímetros) r (x)= 1 +nx
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Con n = 1, 5 , 9, respectivamente (x se mide en metros).
En las primeras tres tablas se muestran los resultados obtenidos para una viga empotrada en sus dos extremos, en la cual el extremo izquierdo tiene un radio de 1 mm y el extremo derecho un radio de 2, 5 y 10 mm, respectivamente.
En las últimas tres tablas se ofrecen los resultados obtenidos para una viga voladiza, en la cual el extremo izquierdo está empotrado y tiene un radio de 2, 5 y 10 mm, respectivamente, y el extremo derecho está libre y tiene un radio de 1 mm.
En todas las tablas que se presentan a continuación, radio 1 significa el radio del extremo izquierdo, y radio 2 el del extremo derecho.
Primer caso (viga empotrada en sus dos extremos)
Conclusiones
Los resultados numéricos presentados en la sección 3.3 muestran que la aproximación WKB proporciona valores de las frecuencias propias con precisión mayor del 3% para los modos con números n ≥ 4. Cabe señalar que el método de elementos finitos para altas frecuencias ( n ≥ 10 p. ej.) presenta serios problemas en aplicaciones. Los programas estándares para n ≥ 10 ofrecen inestabilidades computacionales. Se ve claramente que la retención de términos exponencialmente pequeños (fórmulas WKB vs. fórmulas WKB(t)) en la ecuación secular mejora sustancialmente los resultados numéricos. Aunque esta conclusión no es consecuencia de un análisis riguroso, es natural porque las fórmulas WKB (en contraste con WKB(t)) pasan en la ecuación secular exacta para el caso de coeficientes constantes y es el único caso conocido (Abrate,1995) cuando la solución se expresa en términos de funciones elementales.
Agradecimientos
H. Aya expresa su agradecimiento a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Distrital por el apoyo económico en el marco del Proyecto Curricular de Ingeniería Electrónica.
R. Cano y P. Zhevandrov expresan sus agradecimientos a la Universidad de La Sabana por el apoyo económico en el marco del proyecto ING-112, y P. Zhevandrov al Conacyt, México, por el apoyo mediante el proyecto 61351.
]]> NOTAS AL PIE4 Extremo izquierdo empotrado, extremo derecho libre.
Referencias
Abrate, S., Vibration of non-uniform rods and beams., Journal of Sound and Vibration, Vol. 185, 1995, pp. 703-716. [ Links ]
Akulenko, L. P., Nesterov, S. V., High-precision Methods in Eingenvalue Problems and Their Applications., Chapman & Hall, 2005. [ Links ]
Fedoryuk, M. V., Asymptotic Analysis., Linear Ordinary Differential Equations, Springer, 1993. [ Links ]
Geist, B., McLaughlin, J. R., Asymptotic formulas for the eigenvalues of the Timoshenko beam., J. Math. Anal. Appl., Vol. 53, 2001, pp. 341-380. [ Links ]
Hsu, J-Ch., Lai, H-Y., Chen, C. K., Free vibration of non-uniform Euler-Bernoulli beams whit general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method., Journal of Sound and Vibration, Vol. 318, 2008, pp. 965-981. [ Links ]
Landau, L. D., Lifshitz, E. M., Theory of Elasticity, Course of Theoretical Physics, Vol.7, Pergamon Press, 1975. [ Links ]
Tijonov, A. N., Samarsky, A. A., Ecuaciones de la Física Matemática, Editorial Mir-Moscú., 1972. [ Links ]
Todhunter, I., A History of the Theory of Elasticity and the Strength of Materials., Vol. II, Pt.2, Cambridge. Univ. Press, 1893. [ Links ]