En su orden se describe la información y metodología utilizada (Sección 1), los resultados obtenidos (Sección 2) y las principales conclusiones obtenidas (Sección 3).
1. INFORMACIÓN Y METODOLOGÍA
1.1. Información utilizada
Los datos con que se elaboró este estudio corresponden a la demanda total de electricidad del sistema interconectado colombiano, en miles de GWh mensuales, entre 1995:8 y 2008:6, los cuales están disponibles en el sistema Neón1 y recogen las características históricas desde la creación del mercado mayorista de electricidad.
Franco et al. (2008) encontraron que la serie presenta un patrón estacional determinístico de periodo anual y una tendencia estocástica de largo plazo; su tendencia reciente indica que existe un crecimiento sostenido desde el año 2000 hasta la fecha. La tendencia subyacente de largo plazo está relacionada con el crecimiento porcentual del producto interno bruto.
1.2. Metodología empleada
Las redes neuronales artificiales son modelos matemáticos que emulan, a un nivel muy simplificado, el procesamiento de información realizado por el cerebro. En términos estadísticos, ellas pueden ser entendidas como modelos no lineales de regresión (Sarle, 1994) que pueden aproximar cualquier función continua definida en un dominio compacto (Cybenko, 1989; Funahashi, 1989; Hornik, Stinchcombe y White, 1989). La revisión del estado del arte realizada por Zhang, Patuwo y Hu (1998) demuestra que estos modelos han sido ampliamente usados en la predicción de series de tiempo. Una de las falencias más importantes en este tópico es que no existe una metodología que sea aceptada de forma generalizada por la comunidad científica, sino más bien un grupo de pasos críticos que son adaptados a partir de heurísticas generales, la experticia propia del pronosticador y el conocimiento particular que se tenga de la serie analizada. Estos aspectos son discutidos en detalle por Kaastra y Boyd (1996) y Masters (1993, 1995). Una discusión más general sobre la problemática vigente en la predicción con modelos no lineales es presentada por Clements, Franses y Swanson (2004). Existe un volumen importante de experiencias reportadas que señalan la efectividad de los modelos de redes neuronales para el pronóstico de series de tiempo, entre los que se incluyen Conejo, Contreras, Espínola y Plazas (2005), Ghiassi, Saidane y Zimbra (2005), Heravi, Osborn y Birchenhall (2004), Swanson y White (1997a, 1997b) y Teräsvirta, Van Dijk y Medeiros (2005).
En este trabajo se emplea un modelo conocido como red neuronal autorregresiva (ARNN), cuyo uso ha sido poco difundido, y el cual está compuesto por un modelo lineal autorregresivo más un perceptron multicapa con una única capa oculta (Lee, White y Granger, 1993; Teräsvirta, Lin y Granger, 1993; White, 1989). En un modelo ARNN, la variable dependiente yt (que en este caso corresponde a la demanda) es obtenida después como una función no lineal de sus valores pasados yt-p como en la Ecuación 1; en donde ei son los residuales del modelo y para los cuales ei = σet , σ es la desviación estándar de los errores, et es una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar, β es un término constante que representa el peso de la conexión entre una neurona adaptativa y la neurona de salida, φp son los coeficientes de la componente autorregresiva del modelo, βh son los parámetros asociados a las conexiones de la capa oculta hacia la neurona de salida, λh son los parámetros asociados a las conexiones de la neurona adaptativa hacia las neuronas de la capa oculta, αp,h es la conexión de la neurona de entrada p hacia la neurona oculta h, G (.) es la función de activación de las neuronas de la capa oculta, H es el número de neuronas en la capa oculta, y es la desviación estándar de yt y su uso evita tener que transformar y para restringir sus valores al rango de la función G (.).
Los parámetros del modelo
La ecuación (2) es obtenida al suponer que los residuales et siguen una distribución normal con media cero y varianza desconocida. Es bien sabido que el modelo definido en (1) posee múltiples configuraciones que dan el mismo resultado para una entrada determinada. Dichas configuraciones son obtenidas al permutar las neuronas de la capa oculta, de tal forma que las conexiones que entran y salen de ellas son arrastradas al realizar la permutación. Esto es, las neuronas de la capa oculta intercambian su posición generando modelos diferentes cuyo comportamiento es idéntico.
Igualmente, se sabe que en algunos casos existe duplicidad de modelos. Esto se da para algunas especificaciones de G(.) para las cuales la contribución que llega de cada neurona oculta a la salida, permanece constante si los pesos de las conexiones que entran y salen de dicha unidad oculta son multiplicados por -1. Esto genera juegos de pesos que difieren en el signo, o sea, diferentes redes neuronales de comportamiento idéntico. Se ha argumentado que es adecuado imponer restricciones a los parámetros del modelo tal que se eviten los problemas mencionados; no obstante, no hay evidencias contundentes que indiquen que esta práctica permita obtener mejores modelos de redes neuronales. Por esta razón, no se impuso ningún tipo de restricciones para la estimación de los modelos.
A partir del modelo definido por (1) es posible obtener un modelo autorregresivo de orden P si se obliga a que H = 0. Igualmente, si se impone la restricción de que los parámetros φp sean cero con H > 0 , el modelo (1) equivale a un perceptron multicapa, ya que esto representa eliminar el modelo autorregresivo.
Lee et al. (1993), Teräsvirta et al. (1993) y White (1989) desarrollaron procesos de especificación para modelos ARNN a partir del uso de contrastes estadísticos. Este procedimiento permite seleccionar la cantidad H de neuronas de la capa oculta, así como los rezagos de la serie yt que deben incluirse en el modelo. Sin embargo, el objetivo fundamental de esta investigación es conseguir el mejor pronóstico posible y, ya que el procedimiento estadístico de especificación no garantiza esto, es necesario realizar una búsqueda exhaustiva entre los modelos posibles.
]]> 2. RESULTADOS OBTENIDOS Y DISCUSIÓNEn esta sección se presentan los resultados obtenidos al pronosticar el logaritmo natural de la demanda mensual de electricidad en miles de GWh para el periodo comprendido entre 1995:8 y 2008:6 usando un modelo ARIMA, un perceptron multicapa y una red neuronal autorregresiva. La serie consta de 155 datos; los primeros 131 (entre 1995:8 y 2006:6) fueron usados para estimar los parámetros de los modelos; los 24 restantes se usaron para evaluar su capacidad de predicción. Con el fin de analizar la influencia del horizonte de predicción sobre los resultados obtenidos, se consideraron horizontes de 12 (entre 2006:7 y 2007:6) y 24 (entre 2006:7 y 2008:6) meses, respectivamente.
Debido a que la serie estudiada presenta una clara componente de tendencia y un ciclo de periodicidad anual (Franco et al., 2008), se aplicó una diferenciación simple y una diferenciación estacional de periodo 12 al logaritmo de la demanda de electricidad. De esta forma, los parámetros de los modelos y los estadísticos de ajuste fueron obtenidos para la serie wt que fue obtenida como:
Donde dt es la serie de demanda mensual en miles de GWh, B es el operador de diferenciación, por definición Byt = yt-1; en consecuencia, B12yt = yt-12 (Box y Jenkins, 1976).
La popularización de los operadores de diferenciación utilizados es debida a que son una parte fundamental de la estrategia de especificación de los modelos SARIMA (Box y Jenkins, 1976), para los cuales se exige que la serie modelada sea estacionaria. Su fundamento teórico está basado en los conceptos de procesos con raíces unitarias y raíces estacionales. Estos conceptos se derivan de la condición de linealidad de la serie y no existen equivalentes teóricos para el caso de los modelos no lineales, tales como las redes neuronales; consecuentemente, su aplicación no está justificada desde la teoría.
No obstante, Masters (1993) recomienda el uso de los operadores de diferenciación en la predicción de redes neuronales ya que se eliminan características fácilmente identificables de la serie (la tendencia y el patrón estacional) y así, la red neuronal artificial puede concentrarse en aprender relaciones más sutiles y que son difícilmente identificables en los datos. Zhang y Qi (2005) presentan evidencia empírica para indicar que la sugerencia de Masters (1993) permite obtener predicciones más precisas. No obstante, la pregunta de cómo deben tratarse la tendencia y el ciclo estacional cuando se pronostica con modelos no lineales sigue abierta, ya que las soluciones planteadas en la literatura no son completamente satisfactorias.
El número máximo de rezagos fue obtenido como el mínimo orden P de un modelo autorregresivo, AR(P), tal que las autocorrelaciones de los residuales obtenidos al modelar la serie wt con dicho modelo no fueran significativamente diferentes de cero. Se encontró que P debería ser 24. Este es un criterio puramente heurístico con el cual se busca establecer el rezago más lejano que debería ser tenido en cuenta en la búsqueda del mejor modelo de predicción. En esta investigación se consideró que todos los modelos tenían como entradas los valores rezagos de la serie desde 1 hasta p para p=1,…, P; nótese que no se consideraron todos los subconjuntos de rezagos que pueden obtenerse (224-1≈16,7 millones de combinaciones), ya que resulta inviable computacionalmente.
La bondad del ajuste de los modelos a las muestras de calibración y predicción fue medida mediante la sumatoria del error cuadrático medio (SSE, por sus siglas en inglés) de los residuales, et, ya definido en (4) y su desviación media absoluta (MAD, por sus siglas en inglés):
En primera instancia, se consideró que la serie wt podría ser pronosticada usando un modelo autorregresivo. Para ello, se estimaron modelos cuyas entradas corresponden a la serie wt rezagada desde 1 hasta P meses usando la información disponible hasta 2006:6. Con el modelo calibrado, se calculó el pronóstico para el próximo mes usando la muestra de predicción y se estimaron los estadísticos de ajuste presentados en la Tabla 1. El modelo ARIMA-24 presenta los propiamejores estadísticos de ajuste a la muestra de calibración y a las muestras de predicción de 12 meses y 24 meses; este es seguido, en su orden, por los modelos ARIMA-23 y ARIMA- 22. Teniendo en cuenta el error de entrenamiento (calibración) y los errores de predicción, se obtiene que la SSE calculada sobre la muestra de entrenamiento y los horizontes de 12 y 24 meses es de 0,0161 y 0,0208; respectivamente. Estos modelos son usados como un benchmark respecto a las otras aproximaciones no lineales consideradas.
En segunda instancia, se estimaron varios MLP cuyas entradas corresponden a la serie wt rezagada desde 1 hasta P meses y con H neuronas en la capa oculta, para H = 1,…, 4. Para cada grupo de MLP con rezagos desde 1 hasta P y diferente número de neuronas en la capa oculta, se seleccionó el modelo con mejores estadísticos globales de ajuste. Los mejores modelos obtenidos para cada grupo de rezagos y sus correspondientes estadísticos de ajuste son presentados en la Tabla 2. El modelo MLP-19 presenta los mejores resultados de ajuste a la muestra de calibración (entrenamiento) con una SSE de 0,0181, seguido por el modelo MLP-23 con una SSE de 0,0191 (es decir, se da un incremento del 5%).
No obstante, el modelo MLP-23 presenta los mejores estadísticos de ajuste a las muestras de predicción con horizontes de 12 y 24 meses. Igualmente, este modelo es el que mejor se ajusta a la totalidad de los datos, con unas SSE de 0,0206 y 0,0262 cuando el estadístico es calculado usando simultáneamente la muestra de calibración y las muestras de predicción para los horizontes de 12 y 24 meses, respectivamente. En comparación con el mejor modelo ARIMA obtenido (ARIMA-24), el desempeño del modelo MLP-23 es inferior; sus SSE son del 133%, 88%, 111%, 128%, 126% para las muestras de entrenamiento, predicción a uno y a dos años y entrenamiento más predicción a uno y dos años, respecto los mismos estadísticos obtenidos por el modelo ARIMA-24.
Es de esperarse que el MLP tuviera un mejor comportamiento, o al menos igual, al del modelo ARIMA, pero acá se presenta una situación contraria; esto puede explicarse, al menos parcialmente, porque los modelos MLP y ARIMA son no intersectados; esto es, de un modelo no puede obtenerse el otro imponiendo restricciones sobre sus parámetros, causando que el MLP deba tener una arquitectura compleja para aproximar un comportamiento lineal que es fácilmente capturado por un ARIMA.
En tercera instancia, se estimaron varias ARNN siguiendo el mismo procedimiento descrito para los MLP. Se estimaron modelos cuyas entradas son la serie wt rezagada desde 1 hasta P meses y con 1 hasta 4 neuronas en la capa oculta. Los resultados obtenidos para el mejor modelo para cada grupo de rezagos considerados son presentados en la Tabla 3. En este caso, el desempeño de los modelos no es tan uniforme, y diferentes modelos podrían ser considerados como los mejores, dependiendo del criterio de selección usado. El modelo ARNN-18 presenta el mejor ajuste a la muestra de calibración con un SSE de 0,0085; pero tiene poco poder de pronóstico en comparación con otros de los modelos ARNN presentados en la Tabla 3. El modelo ARNN-23 presenta una arquitectura compleja con 4 neuronas en la capa oculta que le permite realizar la predicción más precisa entre todos los modelos ARNN considerados para los horizontes de 12 y 24 meses; en términos comparativos, los SSE obtenidos para el modelo ARNN-23 son el 47% y el 51% de los obtenidos para las muestras de predicción por el modelo ARNN-18. Al considerar el ajuste global a la muestra de datos, se encuentra que el modelo ARNN-18 presenta la menor SSE, con un valor de 0,0129, al considerar simultáneamente la muestra de calibración y la muestra de predicción de 12 meses. El modelo ARNN-24 tiene la menor SSE para la totalidad de los datos, con un valor de 0,0182; este corresponde al 80% del SSE (0,0230) obtenido por el modelo ARNN-18. Dados los estadísticos globales de ajuste, el modelo ARNN-24 presenta el mejor ajuste entre todos los modelos ARNN considerados.
]]>
El modelo ARNN-24 revela el mejor ajuste a la muestra de calibración; las SSE obtenidas por los modelos ARIMA-24 y MLP-23 son el 192% y el 145% respecto al correspondiente estadístico para el modelo ARNN-24. De los tres modelos (ARNN-24, ARIMA-24 y MLP-23) la ARNN presenta las magnitudes más altas en los SSE para los horizontes de pronóstico de 12 y 24 meses, que corresponden a incrementos, de al menos, el 117% y 17% de los obtenidos por los modelos ARIMA-24 y MLP-23. No obstante, estos incrementos en los errores de predicción son compensados por el ajuste a la muestra de calibración, causando que el modelo ARNN-24 presente el mejor ajuste a la totalidad de los datos.
En el Gráfico 1 se presenta el logaritmo de la demanda y la predicción para el mejor modelo de cada tipo. La línea gris corresponde a los datos históricos y la línea negra a la predicción obtenida con cada modelo. Los datos para el gráfico fueron obtenidos realizando la transformación inversa de los procesos de diferenciación definidos en (4); esto es, se aplicaron los operadores de integración simple y estacional de periodo 12 para revertir el proceso realizado por la diferenciación. Para visualizar mejor la diferencia entre las predicciones obtenidas con cada modelo, se graficaron los residuos de la predicción para el siguiente mes (Gráfico 2).
La comparación entre los pronósticos y los residuos obtenidos para cada modelo permite indagar mejor sobre el comportamiento puntual de cada modelo. Se observa en primera instancia, una similitud importante entre la magnitud y el signo de los adelanteresiduales para los modelos ARIMA-24 y ARNN-24 (explicada por la inclusión del modelo ARIMA en el ARNN), así como también, que este patrón se conserva para el modelo MLP-23 sólo para algunas regiones. A simple vista, se nota que el modelo MLP-23 presenta errores mayores para las observaciones 1997:4, 2005:2, 2005:4 y 2008:3. Igualmente, la magnitud y el signo de los residuos del modelo MLP-23 difieren respecto a los de los otros modelos en los años 1998, 2002 y 2004; esta es, posiblemente, la causa de que el desempeño del modelo MLP-23 sea inferior respecto a los modelos ARIMA y ARNN. Los residuos de los modelos ARIMA-24 y ARNN-24 tienen el mismo signo, pero se presenta una reducción de su magnitud para el modelo ARNN-24 haciendo que este último tenga un mejor ajuste a la muestra de calibración. Las diferencias más importantes entre ambos modelos (ARIMA-24 y ARNN-24) para la muestra de predicción se observan en 2006:12 y 2007:2, lo que explica la diferencia presentada en los estadísticos de ajuste. Esto permite concluir que la componente MLP del modelo ARNN captura relaciones no lineales sutiles que el modelo ARIMA por sí solo no puede manejar.
3. CONCLUSIONES
]]> En este artículo se compara el desempeño de un modelo ARIMA, un perceptron multicapa y una red neuronal autorregresiva para pronosticar la demanda mensual de electricidad en Colombia para el siguiente mes adelante. Los datos disponibles fueron divididos en dos conjuntos, el primero para estimar los parámetros del modelo y el segundo para la capacidad de predicción por fuera de la muestra de calibración. Los resultados revelan que la red neuronal autorregresiva es capaz de pronosticar la demanda con mayor precisión que los otros dos modelos cuando la totalidad de los datos es considerada. Este resultado señala que existe una componente sutil de carácter no lineal en la información que el modelo ARIMA no puede capturar debido a su naturaleza lineal. También se encontró que el MLP presenta un comportamiento diferente, tal como lo evidencia la diferencia entre la magnitud y el signo de sus residuales cuando son comparados con los residuales obtenidos por los otros modelos considerados.Los resultados reportados aquí, permiten recomendar el uso de de los modelos ARNN para la predicción de la demanda de electricidad. No obstante, en este trabajo no se agotan todas las posibilidades respecto a la investigación realizada. Es necesario indagar si otros modelos no lineales pueden pronosticar con mayor precisión la serie estudiada, tales como diferentes tipos de redes neuronales difusas y nuevos tipos de arquitecturas de redes neuronales artificiales.
NOTAS AL PIE DE PÁGINA
1. Neón es un servicio de información gratuito que permite la consulta interactiva de las principales variables relacionadas con la evolución del mercado eléctrico colombiano; este servicio es prestado por XM Compañía de Expertos en Mercados S. A. ESP, a través de su página WEB (www.xm.com.co)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Abdel-Aal, R. y Al-Garni, A. (1997). Forecasting monthly electric energy consumption in eastern Saudi Arabia using univariate time series analysis. Energy, 22(11), 1059–1069. [ Links ]
2. Abdel-Aal, R., Al-Garni, A. y Al-Nassar, Y. (1997). Modelling and forecasting monthly electric energy consumption in eastern Saudi Arabia using abductive networks. Energy, 22(9), 911–921. [ Links ]
3. Al-Saba, T. y El-Amin, I. (1999). Artificial neural networks as applied to long-term demand forecasting. Artificial Intelligence in Engineering, 13(2), 189–197. [ Links ]
4. Barrientos, A.F., Olaya, J. y González, V.M. (2007). Un modelo spline para el pronóstico de la demanda de energía eléctrica. Revista Colombiana de Estadística, 30(2), 187-202. [ Links ]
5. Beenstock, M., Goldin, E. y Nabot, D. (1999). The demand for electricity in Israel. Energy Economics, 21(2), 168–183. [ Links ]
6. Benavente, J., Galetovic, A., Sanhueza, R. y Serra, P. (2005). Estimando la demanda residencial por electricidad en Chile: El consumo es sensible al precio. Cuadernos de Economía, 42, 31–61. [ Links ]
7. Box, G.E.P. y Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, CA: Prentice Hall. [ Links ]
8. Castaño, E. (2008). Reconstrucción de datos de series de tiempo: una aplicación a la demanda horaria de electricidad. Revista Colombiana de Estadística, 30(2), 247–263. [ Links ]
9. Chaveza, S.G., Bernata, J.X. y Coallab, H.L. (1999). Forecasting of energy production and consumption in Asturias (northern Spain). Energy, 24(3), 183–198. [ Links ]
10. Clements, M.P., Franses, P.H. y Swanson, N.R. (2004). Forecasting economic and financial time-series with non-linear models. International Journal of Forecasting, 20(2), 169-183. [ Links ]
11. Conejo, A.J., Contreras, J., Espínola, R. y Plazas, M.A. (2005). Forecasting electricity prices for a day-ahead pool-based electric energy market. International Journal of Forecasting, 21(3), 435-462. [ Links ]
12. Cybenko, G. (1989). Approximation by superpositions of a sigmoidal function. Mathematics of Control: Signals and Systems, 2, 202–314. [ Links ]
13. Ediger, V. y Tatlidil, H. (2002). Forecasting the primary energy demand in turkey and analysis of cyclic patterns. Energy Conversion and Management, 43(4), 473–487. [ Links ]
14. Egelioglu, F., Mohamad, A. y Guven, H. (2001). Economic variables and electricity consumption in northern Cyprus. Energy, 26(4), 355–362. [ Links ]
15. Franco, C.J., Velásquez, J.D. y Olaya, Y. (2008). Caracterización de la demanda mensual de electricidad en Colombia usando un modelo de componentes no observables. Cuadernos de Administración, 21, 36, 221-235 [ Links ]
16. Funahashi, K. (1989). On the approximate realization of continuous mappings by neural networks. Neural Neworks, 2, 183–192. [ Links ]
17. Ghiassi, M., Saidane, H. y Zimbra, D.K. (2005). A dynamic artificial neural network model for forecasting time series events. International Journal of Forecasting, 21, 341-362. [ Links ]
18. Harris, J. y Liu, L.M. (1993). Dynamic structural analysis and forecasting of residential electricity consumption. International Journal of Forecasting, 9(4), 437–455. [ Links ]
19. Harvey, A. (1989). Forecasting, structural time series models and the Kalman filter. Cambridge, MA: Cambridge University Press. [ Links ]
20. Heravi, C., Osborn, D.R. y Birchenhall, C.R. (2004). Linear versus neural network forecasts for European industrial production series. International Journal of Forecasting, 20(3), 435-446. [ Links ]
21. Hornik, K., Stinchcombe, M. y White, H. (1989). Multilayer feedforward networks are universal approximators. Neural Networks, 2, 359–366. [ Links ]
22. Kaastra, I. y Boyd, M. (1996). Designing a neural network for forecasting financial and economic series. Neurocomputing, 10, 215–236. [ Links ]
23. Lee, T.H., White, H. y Granger, C.W.J. (1993). Testing for neglected nonlinearity in time series models. Journal of Econometrics, 56, 269-290. [ Links ]
24. Masters, T. (1993). Practical Neural Network Recipes in C++ (1ra. ed.). San Diego, CA: Academic Press Professional. [ Links ]
25. Masters, T. (1995). Neural, Novel and Hybrid Algorithms for Time Series Prediction (1ra ed.). New York, NY: John Wiley and Sons. [ Links ]
26. Medina, S. y García, J. (2005). Predicción de demanda de energía en Colombia mediante un sistema de inferencia difuso neuronal. Revista Energética, 33, 15–24. [ Links ]
27. Mirasgedis, S., Sarafidis, Y., Georgopoulou, E., Lalas, D., Moschovits, M., Karagiannis, F. y Papakonstantinou, D. (2006). Models for mid-term electricity demand forecasting incorporating weather influences. Energy, 31(2–3), 208–227. [ Links ]
28. Mohamed, Z. y Bodger, P. (2005). Forecasting electricity consumption in New Zealand using economic and demographic variables. Energy, 30(10), 1833–1843. [ Links ]
29. Murillo, J., Trejos, A. y Carvajal, P. (2003). Estudio del pronóstico de la demanda de energía eléctrica utilizando modelos de series de tiempo. Scientia et Technica, 23, 37–42. [ Links ]
30. Murray, F. y Ringwood, J. (1994). Improvement of electricity consumption forecasts using temperature inputs. Simulation Practice and Theory, 2(2), 121–139. [ Links ]
31. Nasr, G., Badr, E. y Dibeh, G. (2000). Econometric modelling of electricity consumption in post-war Lebanon. Energy Economics, 22(6), 627–640. [ Links ]
32. Nasr, G., Badr, E. y Joun, C. (2003). Backpropagation neural networks for modelling gasoline consumption. Energy Conversion and Management, 44, 893–905. [ Links ]
33. O’Neill, B. y Desai, M. (2005). Accuracy of past projections of us energy consumption. Energy Policy, 33(8), 979–993. [ Links ]
34. Saab, S., Badr, E. y Nasr, G. (2001). Univariate modelling and forecasting of energy consumption: the case of electricity in Lebanon. Energy, 26(1), 1–14. [ Links ]
35. Sarle, W. (1994). Neural networks and statistical models. Documento presentado en The Nineteenth Annual SAS Users Group International Conference, Cary, NC, Estados Unidos. [ Links ]
36. Steiner, F. (2000). Regulation, industry structure and performance in the electricity supply industry. OECD Economics Department Working Papers, 238. [ Links ]
37. Stoft, S. (2002). Power System Economics. New York, NY; Wiley-Interscience. [ Links ]
38. Swanson, N. y White, H. (1997a). Forecasting economic time series using flexible versus fixed specification and linear versus nonlinear econometric models. International Journal of Forecasting, 13(4), 439-461. [ Links ]
39. Swanson, N. y White, H. (1997b). A model selection approach to real time macroeconomic forecasting using linear models and artificial neural networks. The Review of Economics and Statistics, 79(4), 540-550. [ Links ]
40. Teräsvirta, T., Lin, C.F. y Granger, C.W.J. (1993). Power of the neural network linearity test. Journal of Time Series Analysis, 14, 209-220. [ Links ]
41. Teräsvirta, T., van Dijk, D. y Medeiros, M. C. (2005). Linear models, smooth transition autoregressions, and neural networks for forecasting macroeconomic time series: A re-examination. International Journal of Forecasting, 21(4), 755-774. [ Links ]
42. Tserkezos, E. (1992). Forecasting residential electricity consumption in Greece using monthly and quarterly data. Energy Economics, 14(3), 226–232. [ Links ]
43. Unidad de Planeación Minero-Energética – UPME. (2004). Plan de Expansión Preliminar 2004–2018. Bogotá, Colombia: Autor. [ Links ]
44. White, H. (1989). An additional hidden unit test for neglected nonlinearity in multilayer feedforward networks. Proceedings of the International Joint Conference on Neural Networks, 2, 451-455. [ Links ]
45. Zhang, G., Patuwo, B. y Hu, M. (1998). Forecasting with artificial neural networks: the state of the art. International Journal of Forecasting, 14, 35–62. [ Links ]
46. Zhang, G. y Qi, M. (2005). Neural network forecasting for seasonal and trend time series. European Journal of Operational Research, 160(2), 501-514. [ Links ] ]]>