MODEL OF OPTIMAL MULTIPRODUCT PLANT

Gabriel Poveda Ramos
Ingeniero Químico, Ingeniero Electricista. Doctor en Ingeniería. Profesor Emérito Escuela de Formación Avanzada.Universidad Pontificia Bolivariana. mgt@logos.upb.edu.co

Recibido para revisar 15 de Abril de 2005, aceptado 6 de Mayo de 2005, versión final 6 de Mayo de 2005

RESUMEN: Se presenta un modelo matemático para planificar y determinar el tamaño óptimo de una planta industrial de procesos de transformación, que produce varios productos usando unos mismos equipos. Esta es una metodología completamente original del autor, que no aparece en libros ni en artículos de revista sobre Evaluación de Proyectos, Matemáticas Financieras, Diseño de Plantas y disciplinas análogas. El método ha sido aplicado por el autor al planeamiento y al dimensionamiento de varias plantas de industrias de procesos en Colombia.

PALABRAS CLAVE: Economía Matemática, Economía Industrial, Diseño de Plantas, Evaluación de Proyectos, Matemáticas Financieras.

ABSTRACT: This paper presents and explains a mathematical model for planning and dimensioning in an optimal way many kinds of industries which use processes of transformation of matter (so called process industries) and which produce several products using some determinate pieces or set of pieces of equipment. This methodology is completely original of the author  and it does not appear in any book or article on Proyect Evaluation, Financial Mathematics, Plant Design and related subjects. The method has been applied by the author to the planning and dimensioning of several plants in process industries in Colombia.

KEY WORDS: Mathematical Economics, Industrial Economy, Plant Design, Project Evaluation, Financial Mathematics

• Se trata de producir cuatro productos que llamaremos , , y .
• El período de vida útil de la planta será, por lo menos, de 20 años . Se le llama también horizonte de tiempo del proyecto.
]]> Acogiéndose a normas legales existentes en Colombia respecto a plantas industriales que trabajen 24 horas diarias (como deberá hacerlo ésta), ésta se va a depreciar en 10 años. O sea:




• El costo de oportunidad del dinero, a largo plazo, o tasa de descuento de los valores futuros, es del 6% anual acumulativo y en descuento continuo: .
• La producción y las ventas de los cuatro productos al momento de arrancar la planta y de salir al mercado son:
  
  
• La capacidad de una planta de este tipo es la del horno eléctrico en que se fabrican los cuatro productos, y se mide en megavatios. Esa capacidad da los siguientes rendimientos en los cuatro productos. ]]>
  
• Los cuatro productos pueden producirse independientemente unos de otros, pero los estudios de mercado han mostrado que, cuando la planta esté copada en su capacidad, y la producción de los cuatro productos no pueda ya responder a aumentos de las cuatro demandas de los respectivos mercados, la mezcla óptima económica de productos será:
  
  
• Los precios de venta netos, después de gastos variables y de descuentos y costos proporcionales a ellos (que denotamos ), y los costos de sus insumos, comisiones de ventas, energía eléctrica y otros variables, por tonelada de cada producto (que denotamos por ) son los siguientes:
  
  
• Por lo tanto, los valores agregados por unidad de producto, son, respectivamente:
  
]]> 4. LA LEY DE WILLIAMS

En 1947 un ingeniero industrial norteamericano, R. Williams, publicó un descubrimiento suyo según el cual cuando se comparan en su capacidad (Q) y en su precio (K) varias unidades de distinto tamaño de una misma máquina o instalación, se encuentra que se cumple la relación empírica



donde  es un número fraccionario menor que 1.00 (uno) y que frecuentemente está alrededor de 0.6 ó 0.65. La constante A es propia de cada tipo de máquina (tractor, motor eléctrico, reactor químico, etc.). Posteriormente se ha visto en muchísimos casos que ésta relación vale también para muchos tipos de instalaciones industriales, cuando se trata con distintos tamaños de un cierto tipo tecnológico de ellas. Por eso admitiremos esta ley empírica para nuestro caso. El valor de  para esta clase de equipos se averigua en el mercado y vale =0.9.

5. EL PROBLEMA

Consideremos pues que se trata de decidir la capacidad Q óptima económica que debe tener la planta que fabrique los cuatro productos ya dichos. Cada uno de éstos tiene unos requerimientos propios respecto a la capacidad de la presunta planta, exigencia que suele expresarse en la duración de tiempo que una unidad de Q tiene que trabajar para producir una unidad física de cada producto. Más arriba se dieron los rendimientos de la planta en estos cuatro productos.

6.  COSTOS Y GASTOS

Los gastos de esta planta, incluyendo salarios y demás costos laborales van a ser todos gastos fijos, y van a valer, en moneda constante:

F= 300 000 dólares/año

Los gastos variables (no incluyendo insumos, energía y cargos proporcionales, que ya se consideraron) son el 10% de las ventas y ya están cargados a los precios y, por ende también a los valores agregados.

7.  PROYECCIÓN DE LA DEMANDA

Los estudios previos de la demanda permiten pronosticar que la demanda de los cuatro productos va a crecer de manera geométrica, siguiendo las funciones



]]> siendo las cuatro tasas de crecimiento iguales entre ellas:



Puesto que estas tasas son relativamente lentas, las funciones exponenciales se pueden aproximar por parábolas de segundo grado, es decir:



La planta trabajará holgadamente, con capacidad sobrante, hasta el momento cuando ocurra que las cuatro producciones copen su capacidad, lo que será cuando



o sea cuando



Llamemos



]]> y pongamos por abreviar



De este modo la ecuación que fija el momento  cuando la planta queda saturada, puede escribirse



Los coeficientes ,, son evidentemente positivos y por eso Q es mayor que . Resolviendo esta ecuación de segundo grado en  se tiene



que es la raíz real y positiva de la ecuación.

 es la producción del producto i-ésimo, las utilidades por unidad de tiempo, antes de impuestos, pueden escribirse:



en donde  es el valor de los activos depreciables que no dependen del tamaño Q del proyecto.

]]> Por  lo tanto el valor presente de las utilidades de los 20 años, después de impuestos, es:



en donde x es la tasa del gravamen del impuesto sobre la renta.

Para no complicar exageradamente el ejemplo, estamos admitiendo que en toda la historia del proyecto, posterior a , las proporciones de los cuatro productos en el "product mix" van a ser constantes después de copar la planta, y que son las que ya se indicaron.

Volviendo al problema numérico, calculemos los coeficientes que necesitamos para hallar a .  Ellos son:



De estos resultados obtenemos:



Entonces el valor agregado por año y por megavatio de capacidad en uso, cuando la planta se cope, y siga trabajando copada, es



]]> La duración como vida útil que se prevé para la planta es de T= 20 años.

Usaremos en este problema como criterio de optimización del proyecto para calcular su tamaño óptimo, el de hacer máximo el valor descontando de las utilidades de los 20 años, en valor presente, después de impuestos. Esto requiere, como bien se sabe, las dos condiciones



Cuando la planta esté copada (en  y después de ) se tendrá para la producción  de cada producto, que



y la parte  "o cuota" de cada producto en el "product-mix" será



De manera que



Ahora bien. La utilidad contable de los  20 años futuros, descontada a su valor presente en , y después de impuestos, vale

]]>

o, lo que es lo mismo



Derivemos esta expresión respecto a Q, teniendo en cuenta la conocida Regla de Leibniz:



además de la condición de continuidad



Obtenemos así



Sustituyendo lo anterior en la condición

]]>

y despejando a Q se obtiene



o bien (omitiendo escribir las unidades para simplificar la escritura):



Dado que  (como se ve más arriba), y que toma en  el valor



mientras que en  toma el valor , se deduce que la ecuación



tiene una raíz real en el intervalo  si y solo si

]]>

como se ve en la figura anexa.


Figura.  Variación de parámetros
Figure.  Variation of parameters

Para verificar la segunda condición del óptimo, calculamos la segunda derivada de  respecto a Y, para obtener:



Obsérvese que



y además, que

]]>

En este caso es posible calcular primero a  que a Q, igualando las dos expresiones que ya hemos establecido para Q, esto es, escribiendo que



y teniendo en cuenta la ecuación (03), se puede escribir



exigiendo que la solución sea mayor que 0 (cero) y menor que 20 años.

Esta ecuación se resuelve por los conocidos métodos numéricos de Newton, "regula falsis" o bisección, o en el computador con el sencillo "paquete" de Mathcad. Así se obtiene que



y la capacidad óptima es



]]> El valor de la inversión total  que es dependiente de Q, en esta planta, será



Los coeficientes  son:



Además, al realizar las integraciones que se indican a continuación se encuentra que



Luego las utilidades totales futuras de 20 años, descontadas en valor presente y después de impuestos, valen



Los valores de los coeficientes , son:



]]> Así que el valor presente de la utilidades futuras, antes de impuestos, será:



de lo cual queda, después de impuestos



De acuerdo con la expresión que ya obtuvimos para la segunda derivada de Y respecto a Q, el valor de ella en el punto  que hace máxima a Y(Q) es:



que es negativo y que confirma que es efectivamente el óptimo para Y(Q).

Si se quiere obtener el valor presente descontado de la generación de fondos que va a producir el proyecto, basta sumarle a  el valor presente de las futuras depreciaciones. Así se obtiene



El procedimiento para resolver un problema como el anterior sigue las siguientes etapas que constituyen una metodología y un algoritmo para este caso y para casos análogos:

1. Examinar detalladamente todos los aspectos técnicos y económicos del proyecto de planta.
2. Establecer cuantitativamente las proyecciones de crecimiento de la demanda, de la producción y de las ventas esperadas, a corto, mediano y largo plazo. Supondremos en lo que sigue que, en un caso específico dado (como el del ejemplo que se acaba de dar) esas proyecciones son representables y expresables por una función cuadrática del tiempo o por una función exponencial o lineal del mismo.
3. Establecer en sus respectivos mercados los precios netos  de los productos (restándoles los gastos de ventas, los costos variables, los descuentos, etc.), los precios de los insumos  y los valores agregados  por unidad física de cada producto.
4. Confirmar que  cumpla la Ley de Williams y determinar numéricamente los parámetros A y  de esa ley, mediante estudios del mercado de equipos y de bienes de capital para este tipo de plantas.
5. Determinar por medio de estudios técnicos cuáles son los valores numéricos de los valores de los coeficientes .
6. Por estudios económicos y técnicos de la planta que se proyecta, determinar los gastos fijos por unidad de tiempo F, el período de depreciación  y la vida útil que se espera de la planta T. Calcular el coeficiente de depreciación .
7. Calcular numéricamente los coeficientes  mediante las ecuaciones que los definen.
8. Calcular o definir los factores  que expresan la participación de cada producto en el "product-mix" que se desea constituir.
9. Calcular el valor  que da el valor agregado por unidad de capacidad (como unidad de potencia y por unidad de tiempo) de la planta, cuando ésta ya esté copada en su capacidad.
10. Mediante el estudio financiero del mercado monetario, establecer el valor de la tasa r de descuento continuo para valores futuros en dinero.
11. Resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas ]]>
    para obtener la capacidad óptima  y su plazo  para coparse. Esta solución se puede obtener usando métodos numéricos bien conocidos o usando un software de cálculo numérico como el "mathcad" o el "mathlab".
12. Verificar que la función que da a   sea negativa.
13. Calcular los parámetros  y  mediante las fórmulas que los definen.
14. Calcular el valor presente óptimo de las utilidades futuras, después de impuestos, en la vida útil desde  hasta , descontadas al momento del arranque de la planta, es decir, valorar numéricamente la expresión .
15. Decidir administrativamente si la cantidad así encontrada es satisfactoria económicamente para los inversionistas.

Este modelo puede generalizarse en varios sentidos, como lo podrá comprobar el lector interesado en el tema.

REFERENCIAS

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Nota: Ninguna de estas publicaciones contiene nada sobre el tema tratado en este documento, a pesar de que son numerosas publicaciones, a pesar de que son libros muy conocidos, y a pesar de la importancia del tema tratado aquí.        [ Links ][29]RIGGS, James L. Modelos de decisión económica. Madrid: Alianza Editorial, 1973. 508 p.         [ Links ][30]HENDERSON, James M. y QUANDT, Richard E. Microeconomic theory: a mathematical aproach. New York: Editorial, 1958. 291 p.         [ Links ][31]FERGUSON, C.E. y GOULD, J.P. Theoria microeconomica. Mexico: Fondo de Cultura Económica, 1978. 551 p.         [ Links ][32]KAUFMANN, Arnold. The science of decision-making. Londres; World University Library, 1968. 253 p.         [ Links ] ]]> 1 1967 2 2 1980 3 1997 3 4 1973 2 5 1994 6 1994 7 1996 546 8 1997 2 9 1998 10 1979 11 1991 12 1968 13 Departamento Nacional de Planeación 14 1984 15 1977 3 16 1976 17 2000 18 ONUDI 1978 19 1990 20 1973 21 1977 22 2000 4 23 1978 24 1981 25 1948 26 1993 27 1993 28 1964 29 1973 30 1958 31 1978 32 1968