3. MODELO MATEMÁTICO
3.1 Ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera.
Para obtener los perfiles de temperatura en estado transitorio para una superficie esférica expuesta a radiación electromagnética, se consideró que en el proceso de calentamiento la superficie del producto recibe calor por parte de las microondas e intercambia calor con el medio por convección mientras que la variación interna de energía en todo instante de tiempo es causada por el balance entre la transmisión interna de calor por conducción y la variación de la energía interna causada por las microondas.
La ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas con dependencia radial en posición, sistema homogéneo e isotrópico con generación de energía volumétrica que gobierna la variación de la temperatura en el proceso térmico en el tiempo está dada por (Incropera y Dewitt, 1999):
En la cual T es la temperatura del sistema, r es la posición radial, K y a son la conductividad y difusividad térmica del material y Q es la energía generada volumétrica. Una condición inicial para el proceso es:
Las condiciones de frontera para la expresión (1), son realizadas bajo el supuesto que en la superficie de la muestra no hay evaporación de humedad, la transferencia de energía por convecciòn es utilizada para intercambiar calor con el medio y la radiación por microondas a la cual se expone la muestra es usada para calentar internamente la muestra:
Además, se consideró aislamiento o volumen adiabático en el centro geométrico de la esfera:
La suposición de aislamiento en el centro es considerada debido a que la ecuación del calor muestra una singularidad en el centro, así bajo estas circunstancias es preferible simplificar el problema evitando el termino r = 0 en la formulación del problema.
3.2 Ecuación gobernante para la generación de calor.
De acuerdo a Irudayaraj (2001), los dos mecanismos fundamentales que producen el calentamiento por efecto de microondas son la polarización iónica y rotación bipolar, donde la generación interna de calor en los alimentos expuestos a una fuente electromagnética es una consecuencia que fundamentalmente depende de varios mecanismos: el principal es la absorción de las microondas por materiales dieléctricos que crean un incremento en su temperatura interna debido a la energía entregada por parte de las microondas.
Como resultado de las pérdidas dieléctricas, las microondas penetran los materiales dieléctricos y actúan como una fuente de calor distribuida volumétricamente en los alimentos. La generación de calor puede ser modelada según la ley de Lambert´s, la cual expresa que la energía de las microondas es atenuada exponencialmente como función de la distancia de penetración desde la superficie de la muestra según el factor de atenuación. Dicha expresión es una solución analítica a las ecuaciones de Maxwell para ondas planas incidentes y es valida para alimentos que tienen grandes pérdidas (grandes cantidades de agua con contenidos de sal) (Irudayaraj, 2001).
3.3 Ecuación Ley de Lambert’s.
Según Irudayaraj (2001), la expresión analítica que describe la distribución energética debido a las microondas en la esfera es la siguiente:
En el caso particular concerniente en este estudio la energía absorbida por unidad de volumen en una esfera de radio Dr entre 0 y Dr viene dada por:
PDr es la energía neta absorbida en la superficie de la esfera y el término denominador es el volumen de la esfera.
El lado derecho de la expresión (6) se obtiene al hacer que Dr -> 0, esta expresión es utilizada como el término de generación volumétrica de calor así al sustituir P(Z) de la expresión (5) en la expresión (6) y tomando derivada obtenemos:
En la expresión (7) el flujo de energía incidente Po es debido a las microondas en la superficie y representan la intensidad de radiación trasmitida. La energía por unidad de volumen que es la densidad de energía instantánea en un campo eléctrico según Seway 1997 es:
Donde es la velocidad de la luz y es la permisibilidad del espacio libre. La expresión (8) depende del valor máximo del campo, el cual es una consecuencia del aplicador en el horno microondas (Magnetrón) aunque en la práctica Emax varía según ciertas características como el flujo de corriente y la temperatura superficial en el magnetrón, para propósitos prácticos se considero flujo de campo eléctrico constante en la superficie de la muestra tomando un valor de referencia en el aplicador según aplicaciones especiales de la microondas para casos particulares.
3.4 Factor de atenuación.
]]> En la expresión (7) es llamado factor de atenuación de la generación de calor y está dado por la expresión:
El factor de atenuación interviene en la distribución de energía eléctrica dentro del alimento irradiado por microondas y además afecta la eficiencia de la transferencia de energía desde el equipo de procesamiento de microondas al producto. Así el factor de atenuación determinará la distribución de energía dentro de un material biológico (Ayappa et al, 1991).
3.5 Propiedades dieléctricas de los alimentos.
La expresión (9) depende fundamentalmente de la frecuencia de operación (f) y de las propiedades dieléctricas de los alimentos: e' es la constante dieléctrica relativa e indica la habilidad de los alimentos para almacenar energía eléctrica, mientras e'' es la pérdida dieléctrica relativa, indica una medida de la habilidad de los materiales a disipar energía eléctrica. Según Rao y Rizvi (1995), dichas propiedades varían con la temperatura y la frecuencia de procesamiento. En los alimentos para propósitos prácticos, estas propiedades son determinadas según los contenidos de agua y sales asociadas, ya que el agua es el mayor componente de muchos alimentos y además es el mayor componente activo dielectricamente. Así estas propiedades son evaluadas con gran precisión como función del contenido de agua, sales asociadas y por los gradientes de temperatura local según las siguientes correlaciones (Rao y Rizvi, 1995):
Donde:
magua= Es el porcentaje de agua en el alimento.
mcenizas= Es el porcentaje de cenizas el cual es un indicador del total de sal. ]]>
En la expresión (11), el efecto del contenido de cenizas (sales totales) es elevar la pérdida dieléctrica con respecto al agua pura en el alimento, por lo que se aumenta las cargas conductivas que incrementan la pérdida dieléctrica del sistema.
3.6 Factor de pérdida tangente.
En la expresión (9) el término (tan d) es el factor de pérdida tangente y se define como:
El factor de pérdida tangente relaciona la constante dieléctrica relativa y la pérdida dieléctrica relativa.
La expresión (12), indica como el material puede ser penetrado por un campo eléctrico y como la disipación de energía eléctrica es convertida en calor. Como los alimentos tienen muy bajo factor de aislamiento térmico, estos generalmente absorben una gran fracción de la energía cuando están en un ambiente expuestos a las microondas resultando esto en la absorción de las ondas y en el calentamiento instantáneo en el alimento (Ayappa et al, 1991).
3.7 Ecuación de generación interna de calor.
Sustituyendo (8) y (9) en (7) se obtiene la expresión para la generación interna de calor en la esfera debido a las microondas:
3.8 Esquema numérico del modelo.
La transferencia de calor en estado transitorio implica ecuaciones no lineales del tipo parabólico, las cuales poseen propiedades térmicas conocidas y propiedades dieléctricas dependientes de la temperatura en el punto de evaluación.
Para resolver estas ecuaciones se realizó un balance de energía para los volúmenes de control en la esfera, estos satisfacen la conservación de la energía para los nodos a partir de los cuales se puede determinar la temperatura solo en puntos discretos.
El dominio es dividido en un numero tal de pequeñas regiones o volúmenes de control para los cuales esta asociado un nodo. En cada nodo se realizó el balance de energía asumiendo conducción unidimensional para la variación de la temperatura según la variable radial. Para las ecuaciones en diferencias finitas en los nodos del sistema se utilizó el método implícito con el fin de reducir el tiempo de cálculo con respecto a otros métodos. Este método evalúa el valor de la variable dependiente temperatura en un nuevo tiempo i+1 en lugar del tiempo anterior i, proporcionando con ello una aproximación en diferencias finitas hacia atrás para la derivada respecto al tiempo. Como resultado se obtuvo un grupo de ecuaciones para cada volumen de control mediante diferenciación finita por el método implícito las cuales fueron resueltas mediante el método de inversión de matrices.
La modelación se realizó para una esfera de radio r la cual tiene simetría con respecto a la coordenada azimutal f y respecto al ángulo cenital F, por ello se considera solo un octavo de esfera. Así solo hay dependencia directa respecto a la coordenada radial r y el tiempo t. La región tomada fue dividida en N subregiones cada una con un nodo localizado en el radio medio de estas excepto en los nodos localizados en el centro de la esfera.
Figura 1. Formulación en volumen de control
Figure 1. Control volume scheme
3.9 Discretización de la ecuación de energía para un proceso por microondas
]]> 3.9.1 Balance de energía de la superficie.En el modelo matemático para el proceso de calentamiento por microondas de esferas se consideró que la temperatura del alimento en todo instante de tiempo es el resultado del balance entre la rapidez de transmisión de calor por conducción radial y la rapidez de variación de la energía interna. Así la ecuación de difusión de calor gobierna la variación de temperatura durante el proceso de calentamiento:
Figura 2. Volumen de control en la superficie.
Figure 2. Control volume in the surface.
El balance de energía tomando como volumen de control el mostrado en la Figura 2, es: (14)
En este caso el calor que sale del nodo es por conducción al nodo adyacente N - 1, el calor que entra es por irradiación debido a la fuente de energía electromagnética en la superficie del alimento, y además hay un intercambio de calor entre el medio y el nodo superficial debido a convecciòn natural.
El volumen de control no incluye masa ni volumen, así el término de generación en la expresión no es relevante y solo se trata el fenómeno a nivel superficial.
3.9.2 Balance de energía en nodos internos.
Para los nodos internos se considera tanto el calor que ingresa como el que sale por conducción, como también el calor generado internamente debido a la radiación electromagnética el cual es generado volumétricamente y depende fundamentalmente de la expresión de la ley de Lambert `s previamente citada.
]]>
Figura 3. Volumen de control en los nodos internos.
Figure 3. Control volume for the internal nodes.
El balance de energía en los nodos internos de la esfera es el siguiente:
3.9.3 Balance de energía en el centro de la esfera
Figura 4. Volumen de control para la temperatura en el centro de la esfera
Figure 4. Volume of control for the temperature in the center of the sphere
El balance de energía se realizó alrededor del nodo interior obteniendo así:
]]>
Para el desarrollo de esta ecuación en la condición de borde se consideró el aislamiento del centro de la esfera por simetría con el método implícito de diferencias finitas se encontró la predicción de la variación espacial y temporal de la temperatura para un octavo de esfera.
Para la condición de frontera se empleo la condición en la cual el nodo central es adiabático. Luego, para el centro de la esfera se tiene:
A partir de las expresiones (14), (15) y (16) se suministraron N ecuaciones algebraicas simultáneas para N temperaturas nodales desconocidas de la siguiente forma se obtuvo un sistema matricial tridiagonal:
Los coeficientes para n=1 son:
Para :
Teniendo presente lo extenso que resulta la discretización de los nodos en sus balances de energía, lo que hace que en esta publicación se obvie detalles de naturaleza matemática, los autores recomiendan el trabajo de investigación desarrollado por Meléndez y Meléndez (2005) para su complementación.
4. ESQUEMA DEL ALGORITMO
Para el algoritmo las entradas están conformadas por valores que dependen de las propiedades del alimento y variables térmicas. El proceso es el algoritmo que representa la modelación numérica del fenómeno, por medio del cual se obtienen las salidas que dependen de lo que se quiere obtener (Figura 5).
Figura 5. Estructura del algoritmo
Figure 5. Structure of the algorithm
4.1 Variables de entrada.
Para realizar la modelación numérica del proceso de microondas, las siguientes variables son relevantes para el proceso:
- ]]>
Porcentaje de agua
- Porcentaje de cenizas(Sales)
- Calor especifico (J/kgK)
- Conductividad térmica (W/mK)
- Densidad (kg/m3 )
- Temperatura ambiente del horno(oC)
- Temperatura inicial del alimento(oC)
- Frecuencia de operación del sistema (MHz)
- Magnitud máxima del campo eléctrico (W/s2)
- Numero del nodo critico ]]> Tiempo de esterilización (s)
- Coeficiente de transferencia por convecciòn (W/s2K)
- Dimensión radial (m)
- Delta de tiempo (s)
- Numero de nodos en dirección radial (adimensional)
4.2 Proceso.
Es el algoritmo que se utilizó para obtener las variables de salida. Para este caso se realizó la programación en MATLAB 6.5, bajo licencia de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, instalado en los bloques 21, 41 y S2.
4.3 Variables de salida.
Ya que para el proceso de microondas es de alta importancia conocer la distribución de temperatura del material que esta siendo irradiado, la variable de respuesta del modelo de simulación será la curva de penetración de calor evaluada en el centro térmico del alimento, en este caso para r=0.
]]> 5. RESULTADOS5.1 Valores variables de entrada.
Se seleccionan según el tipo de producto (en nuestro caso manzana del tipo Red Delicious). Los valores de las propiedades termo-físicas del producto fueron obtenidos de los valores citados por Rao y Rizvi (1995):
Porcentaje de agua = 86,0 %
Porcentaje de cenizas (sales)= 4,0 %
Calor especifico = 3590 J/kgK
Conductividad térmica = 0,559 W/mK
Difusividad térmica =1,674*10-7s2/s2
Densidad = 884 kg/m3
Para la simulación se consideran tres geometrías del producto, definidas por los siguientes radios:
]]> Radio 1=0,045mRadio 2=0,050m
Radio 3=0,055m
El número de nodos que se utilizó para la simulación en la dirección radial fueron 150, 160, 170, 180, 185 y 190.
Las demás variables de entrada fueron consideradas como:
Temperatura ambiente del horno microondas=298 K Temperatura inicial del alimento = 298 K Frecuencia de operación del sistema = 2450MHz y 915MHz. gnitud máxima del campo eléctrico = 1227 V/m (I0=2000W/s2) Numero del nodo critico = n (superficial) Tiempo de esterilización = 600s Coeficiente de transferencia por convecciòn (natural) = 10W/s2K
5.2 Independencia nodal del algoritmo.
En la Tabla 1, se muestran los valores de temperatura en el nodo crítico de la manzana (nodo superficial), para las diferentes combinaciones de red nodal. Estos valores muestran que para un diámetro de manzana definido, el valor de la temperatura es independiente del número de nodos utilizados para el análisis, se presentan diferencias que no superan el orden del 2%.
Tabla 1. Análisis de independencia nodal para el punto critico
Table 1. Analysis of nodal independence for the critical point.
5.3 Resultados del modelo de simulación (Variables de salida).
5.3.1 Curvas de penetración de calor.
Las Figuras 6, 7 y 8 muestran los perfiles de temperatura para una frecuencia de procesamiento de 2450MHz, las cuales indican que el producto de mayor diámetro es la que más altas temperatura alcanza en la superficie en el proceso de calentamiento por microondas. Esto debido fundamentalmente a que el proceso térmico por microondas es un fenómeno de calentamiento volumétrico, así mientras mayor sea el volumen en la superficie de la manzana, mayores temperaturas se alcanzarán. También se observa como la manzana de menor diámetro alcanza temperaturas más altas en el centro, debido a la mayor profundidad de penetración de las microondas a diámetros más pequeños.
Figura 6. Variación de la temperatura en el tiempo para el radio 1.
Figure 6. Variation of the temperature with the time for the radius 1.
Figura 7. Variación de la temperatura en el tiempo para el radio 2.
Figure 7. Variation of the temperature with the time for the radius 2.
Figura 8. Variación de la temperatura en el tiempo para el radio 3.
Figure 8. Variation of the temperature with the time for the radius 3.
La Figura 9 muestra los perfiles de temperatura para una manzana de radio 3 con una frecuencia de procesamiento de 915MHz, indicando que a menor frecuencia de procesamiento la profundidad de penetración de las microondas es mayor, calentando el centro del alimento mucho mas que para frecuencias de procesamiento mayor, pero se necesitarían tiempos de procesamiento mayores para obtener altas temperaturas.
Figura 9. Comportamiento de la temperatura en el tiempo a 915MHz (radio 3).
Figure 9. Variation of the temperature with the time to 915MHz (radius 3).
6. CONCLUSIONES
El modelo de simulación que se realizó para obtener los perfiles de temperatura para el proceso de calentamiento por microondas para una geometría particular, en este caso esférica, mostró una independencia de red nodal para el incremento del tiempo seleccionado, por ello el modelo implementado proporciona un importante avance hacia el estudio y predicción de comportamientos térmicos de alimentos procesados por medio de irradiación por microondas.
Al utilizar frecuencias de procesamiento mayores (2450MHz) se obtienen altas temperaturas en cortos periodos de tiempo en la superficie, pero en el centro no se obtienen incrementos significativos, debido a la atenuación de las microondas y por ende de la energía de calentamiento a medida que estas penetran en el alimento.
]]> Frecuencias de procesamiento menores (915MHz) proporcionan un calentamiento mas homogéneo en todo el alimento, ya que las temperaturas en la superficie no se encuentran muy alejadas de las del centro, esto debido a que para estas frecuencias de procesamiento la profundidad de penetración de las microondas es mucho mayor que para frecuencias mas elevadas (2450MHz), pero los tiempos de procesamiento que se requieren son mayores.RECOMENDACIONES
Ya que los productos de naturaleza biológica son altamente anistropicos, estudiar tal efecto en el comportamiento térmico del material bajo irradiación con microondas.
Extender el análisis a geometrías irregulares, ya que son características físicas propias de los alimentos.
Incluir en el modelo de simulación, el posible efecto de transferencia de masa ocasionado por la irradiación y su efecto en el proceso térmico.
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