ml = masa que ha pasado al estado líquido
Lf = calor latente de fusión ]]>
Aquí la variable que depende de Q es la cantidad de masa ml que está líquida. Esa variable va recorriendo el intervalo 0< ml <m.
Cuando ml =m, toda la sustancia del cuerpo se encuentra en estado líquido, aún a T=Tf.
Si la sustancia continúa recibiendo calor, vuelven a repetirse los procesos anteriores, a saber, el líquido se calienta a un ritmo determinado por clíquido (cl). La temperatura se detiene en T=Tv, que es la temperatura de ebullición o vaporización característica de esa sustancia. Allí se transforma de líquido en gas, controlado por el calor latente de vaporización Lv. Va apareciendo una cantidad mg de gas, hasta que mg=m, que es cuando toda la sustancia está gaseosa; el líquido ha desaparecido, pero suponemos que el gas ha sido recogido. Calentamiento ulterior hará subir su temperatura a un ritmo determinado por cgas (cg).
Todo el proceso descrito queda adecuadamente representado con la gráfica de la Figura 1, (tener en cuenta que, según Riveros H. G. 2008, esta gráfica es teórica, su comprobación experimental tiene muchas dificultades técnicas).
El punto P, de coordenadas (Q,T), representa el estado del cuerpo. Parte del origen y va recorriendo los segmentos de la curva poligonal, ascendiendo o moviéndose hacia la derecha por las llanuras de T constante. Después de la vaporización llega a la zona de gas, como se ilustra con la posición mostrada en la figura. Detalle por ejemplo la llanura AB. En A todo el cuerpo está sólido y no hay líquido. En B toda la sustancia está líquida y ya no queda sólido. En un punto entre A y B hay una mezcla de sólido y líquido. La fracción recorrida de la longitud de la llanura corresponde a la fracción del cuerpo que ha fundido.
Es decir, si P está entre A y B se tiene que
]]>
donde ml es la masa de líquido que ha aparecido, m es la masa total del cuerpo original y por supuesto, m-ml sería la masa que queda aún en estado sólido en ese momento. Algo semejante ocurre para la llanura CD.
Siete constantes son las que caracterizan el comportamiento térmico de la sustancia. Para el agua, que es la referencia en calorimetría, los valores aproximados de esas constantes se dan en la tabla 1.
La gráfica T vs. Q para un sistema de varios cuerpos
Consideremos un sistema formado por dos cuerpos de diferentes sustancias. Partiendo de T=0 K vamos a imaginar calentarlo cuasiestáticamente para que haya en todo momento una temperatura uniforme en el sistema. Vamos a trazar la gráfica de Temperatura versus Calor Total Absorbido. Los cuerpos tienen masas m1 y m2. Cada una de las dos sustancias debe ser caracterizada por las 7 constantes de la anterior tabla, las cuales deben ahora ser indexadas 1 ó 2. Las temperaturas de fusión y ebullición Tf1, Tf2, Tv1, Tv2 pueden tener diferentes relaciones de orden entre sí. Se tomará un orden específico para trazar la gráfica, pero los argumentos pueden ser adaptados fácilmente a otros casos. Supongamos pues que
Esto puede corresponder al caso en que la sustancia 1 es agua y la 2 un metal.
]]> La gráfica de la Figura 2 muestra el resultado. Muestra los calores en cada una de las etapas del proceso. Las coordenadas Q de los puntos notables se calculan por acumulación:
La curva poligonal parte como una recta desde el origen. Esto es debido a que para llegar a un punto con T<Tf1 se requiere un calor
Ahora bien, el promedio ponderado de los calores específicos de los dos cuerpos sólidos es
]]>
Pero m=m1+m2 es la masa total del sistema, de modo que la ecuación 2 se puede escribir:
donde el subíndice ss significa que tanto el cuerpo 1 como el 2 están en estado sólido. Esta es la interpretación de la recta OA de la gráfica: el sistema se comporta como si estuviera hecho de una sola sustancia con calor específico 
.
La temperatura sube según la ecuación (2) hasta que se llega a Tf1, que es la temperatura de fusión de la sustancia 1. Subsecuente calor agregado al sistema hará fundir esa sustancia. Al cuerpo 2 no le ocurre nada, ya que su punto de fusión es más alto. Esto es así sin importar si la inyección de calor proveniente del exterior es aplicada sobre el cuerpo 1 ó el 2. La temperatura del sistema no sube hasta que toda la sustancia 1 funda. Por eso la llanura AB tiene una extensión QAB=m1Lf1.
En el punto B toda la sustancia 1 está líquida, mientras la 2 está sólida. En esos estados ocurrirá el calentamiento subsecuente. El calor necesario para subir la temperatura hasta un valor T en el intervalo Tf1 ≤ T ≤ Tv1 vale
Por eso la gráfica es una recta, con pendiente que podríamos escribir 
.
Para un sistema con tres o más sustancias, los argumentos anteriores se generalizan fácilmente. Cada nueva sustancia presente en el sistema agrega dos llanuras a la gráfica.
Están asociadas a sus transformaciones sólido-líquido y líquido-gas y quedan insertadas a las alturas correspondientes a sus Tf y Tv. También influye en las pendientes de las cuestas, generando un término adicional mc.
Descripción del método
Definamos exactamente el tipo de problema que se pretende resolver. Consiste en la situación en la que se ponen en contacto térmico N cuerpos. Se dan sus masas m1, m2 , ... mN , así como sus temperaturas iniciales T10, T20 , ... TN0. Además se especifica el material o sustancia de que está hecho cada uno de ellos. La incógnita es la temperatura final del sistema. También se requiere hallar, en caso de que esa temperatura coincida con la de un cambio de fase de alguno de los cuerpos, la cantidad de masa de ese cuerpo que queda en cada uno de los dos estados. El sistema formado por los N cuerpos está aislado térmicamente de su entorno (pared adiabática que bloquea el flujo de calor hacia o desde el exterior). Se asume que los procesos a que se ve sometido cada cuerpo son isobáricos, es decir, a presión constante, usualmente la atmosférica.
Comencemos por reparar en el hecho de que las condiciones de aislamiento térmico y presión constante pueden ser incompatibles. Ciertamente la presión actuando sobre la cara externa de la frontera del sistema es constante e igual a la atmosférica. Pero lo que determina el proceso para los cuerpos del sistema es la presión interna. El calor específico que se maneja en la ecuación (1) es el isobárico: debería escribirse cP. Pero si la pared del sistema estuviera sellada, las expansiones o contracciones en diferentes grados de los cuerpos podrían alterar la presión interna. Se necesita por tanto que haya un canal hacia el exterior que mantenga la presión atmosférica dentro del sistema. Pero entonces no puede estar el sistema aislado térmicamente. ¿Cómo reconciliar las dos exigencias? Pensemos en una situación experimental concreta típica. A un calorímetro hecho de cierto material se le introduce agua y algunos cuerpos (hielo sobre-enfriado, bloques sólidos, otros líquidos, vapores, etc.) a diferentes temperaturas. Se le coloca la tapa y se espera a que se establezca el equilibrio térmico. La situación aproxima los requerimientos teóricos si el calorímetro está bien aislado térmicamente y la tapa cierra bien, pero no herméticamente. Entonces habrá poco flujo de calor, ya que los resquicios son conductos de muy pequeña área transversal a través de una sustancia poco conductora como es el aire, lo que hace que corriente calorífica sea exigua. Sin embargo, cumplen con el propósito de comunicar con el exterior y mantener la presión atmosférica en el interior. Podemos decir entonces que el sistema formado por los N cuerpos está aislado térmica mas no mecánicamente del exterior.
Pasemos a la solución teórica del problema. Para cada cuerpo, deberíamos en el caso más general consultar los valores tabulados de las 7 constantes térmicas:
csol, cliq ,cgas , Tf , Tv, Lf y Lv . Toda esa información podríamos consignarla en una tabla de 7 columnas con N filas, para un total de 7N datos adicionales a las N masas y N temperaturas iniciales. El total de datos del problema es 9N. Claro que el número de sustancias diferentes puede ser menor, como en el caso en que hielo, agua y vapor de agua son tres de los cuerpos del sistema. Los renglones de la tabla de constantes pueden referirse entonces no a los cuerpos sino a las sustancias presentes.
No existe fórmula matemática universal que describa el resultado. Se presentan muchos casos diferentes, según los cambios de fase que experimenten los cuerpos del sistema. Lo que desarrollaremos será un método, es decir, una secuencia de pasos bien predeterminada que va haciendo uso de los datos del problema, hasta llegar a la respuesta. En esta sección se busca generar una perspectiva general del método que defina los pasos a seguir. Puede parecer implicar una secuencia larga de cómputos, pero que si se aplica con claridad y correctamente a los problemas normales del texto de física, éstos son resueltos con facilidad y prontitud, sin lugar a bloques de trabajo perdido, esfuerzos mentales innecesarios o incertidumbre sobre las conclusiones.
Estos son los pasos del método:
]]> 1. Selección del estado baseLa Figura 3 representa un sistema de los que nos ocupa. Calorímetro con agua y dos bloques (N=4 cuerpos). Se dibujó tres veces para indicar los diferentes estados que manejaremos. El dibujo de arriba a la izquierda muestra el estado inicial del sistema, con las temperaturas de partida de cada cuerpo. El de arriba a la derecha es el estado final que buscamos, cuando todo ha quedado en equilibrio térmico a una temperatura Tfinal. La doble flecha simboliza el proceso por el que pasa el sistema para cambiar del estado inicial al final.
El método comienza identificando las temperaturas máxima y mínima del sistema en su estado inicial. Se sabe que la temperatura final debe estar dentro de ese intervalo. Esto tiene que ser así o se violaría la ley de conservación de la energía. Por ejemplo, suponga que la temperatura final fuera mayor que la máxima de las iniciales del sistema. En ese caso todos los cuerpos tendrían que haber absorbido calor. Pero el requisito fundamental que deben cumplir los N calores Q1 , Q2 , ... QN que "absorben" los cuerpos hasta que se establece el estado de equilibrio térmico final es que
Esta condición exige que haya algunos positivos y otros negativos.
Ahora imaginaremos que todo el sistema estuviera a la temperatura mínima. A ese lo vamos a llamar el estado base (estado B). Es un estado de equilibrio térmico: la temperatura es homogénea en todo el sistema y la vamos a denominar Tbase. En caso de que esa temperatura sea la de un cambio de fase de una de las sustancias del sistema, puede ocurrir que el estado inicial contenga esa sustancia en las dos fases (por ejemplo: 100 g de hielo y 200 g de agua a 0°C). Por simplicidad conceptual, tomaremos el estado base suponiendo que toda esa sustancia está en el punto extremo izquierdo de su llanura de transformación de estado (300 g de hielo a 0°C).
2. Trazado de la Gráfica temperatura vs. Calor
]]> Partiendo del estado base, se imagina calentar cuasiestáticamente el sistema. Su temperatura será homogénea en todo momento (constante en el espacio), pero cambiante en el tiempo. Se realizan las gráficas T vs. Q. No es necesario extender esa gráfica más allá de la temperatura máxima del sistema en su estado inicial (la más alta de todos los cuerpos dados en el enunciado del problema). En notación matemática queda expresado así:
Rango de la gráfica: Tmin ≤ T ≤ Tmax.
El proceso de calentar homogéneamente el sistema a partir del estado base ha sido representado con la doble línea de la Figura 3. En ese dibujo la doble línea pasa de largo el estado final, porque aún no sabemos cuál sea y por eso la gráfica se lleva hasta T=Tmax.
3. Localización del punto de la gráfica que corresponde al estado final
La gráfica trazada en el paso 2 representa todos los posibles estados de equilibrio térmico del sistema que pueden ser el estado final buscado en el problema. El problema queda resuelto cuando determinemos la coordenada Q de ese estado final. Este número o constante se calculará del siguiente modo. Regresemos al estado base. Calculemos cuánto calor se necesita para llevar al sistema desde ese estado base hasta el estado inicial dado en el enunciado del problema, con calentamientos por separado de cada cuerpo.
Esto quiere decir: tomamos cada uno de los N cuerpos y calculamos el calor requerido para llevarlo del estado base al estado inicial del problema, así:
Ahora ubique en la gráfica T vs. Q el punto con coordenada X= Q'total. Ese es el punto que representa el estado final de equilibrio térmico buscado. Se puede determinar fácilmente su coordenada Y; esa será la temperatura final del sistema.
Si la temperatura final coincide con la de un cambio de estado de alguna de las sustancias presentes, se puede igualmente fácil calcular la cantidad de esa sustancia que ha cambiado de fase. Para ello se aplica una ecuación fraccional o directamente por calor latente.
La ecuación normal de balance energético (3), se puede usar ya para terminar como un chequeo de que el estado de equilibrio encontrado es el correcto.
Ejemplo resuelto
Ilustraremos paso a paso como se implementa el método, usándolo para resolver el siguiente problema tomado del libro de Tipler, P. A., 1992:
Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20°C. Dentro del recipiente se introduce un trozo de hielo de 100 g enfriado a -20°C.
a) Determinar el estado final del sistema.
b) Se añade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20°C. Hallar el estado final del sistema.
Paso 1. Selección del estado base
Este sistema tiene tres cuerpos: N=3, pero sólo dos sustancias diferentes: aluminio y agua. Vemos que la temperatura máxima es 20°C. La mínima es -20°C. En el intervalo -20°C ≤ tc ≤ 20°C el aluminio es sólido; su punto de fusión es mucho más alto. Por eso basta con el dato suministrado csol. En cambio el agua presenta transformación de estado dentro de ese intervalo, a saber, fusión a 0°C. Por eso los tres parámetros dados: csol, Lf y cliq.
El estado base será entonces aquel en el que todo el sistema se encuentra a -20°C. El sistema queda compuesto por 200 g de aluminio junto con 600 g de agua (que a esa temperatura es hielo).
Paso 2. Trazado de la gráfica Temperatura vs. Calor
Ahora imaginamos que el sistema descrito en el párrafo anterior es calentado cuasiestáticamente. La temperatura uniforme del sistema va subiendo a medida que absorbe calor. La Figura 4 muestra la gráfica a escala de tc vs. Q. Lleva los valores numéricos reales que surgen en este caso. Se realizó en °C para el eje Y, en el intervalo -20°C hasta 20°C y en cal para el eje X.
Esos valores se calculan así:
a) Calor necesario para calentar el sistema desde -20°C hasta 0°C:
]]>
b) Calor necesario para fundir el agua a 0°C:
c) Calor necesario para calentar el sistema desde 0°C hasta 20°C:
Paso 3. Localización del punto de la gráfica que corresponde al estado final
Regresamos al estado base. Los tres cuerpos del problema están cada uno a -20°C. Calcularemos el calor necesario para llevarlos, por separado, desde esa temperatura hasta la que define el enunciado del problema (estado inicial dado).
Total:
Q'total =Q'aluminio + Q'hielo + Q'agua = 1720 cal + 0 cal + 55000 cal = 56720 cal
]]> Ahora ubicamos el punto con esa coordenada X en la gráfica T vs. Q. Cae en el intervalo QB ≤ Q'total ≤ QC. La Figura 5 muestra ese punto, rotulado P. También incluye la coordenada Y de ese punto, que corresponde a la temperatura final del sistema.
Ésta última se puede calcular fácilmente por geometría analítica. La recta BC tiene pendiente
La ecuación de una recta de pendiente k que pasa por el punto (X0,Y0) es Y-Y0=k(X-X0). Si tomamos como punto (X0,Y0) el punto B, entonces X0= QB =54860cal; Y0= tB= 0°C. de modo que la ecuación de la recta BC es t = 1,5552 x 10-3 (Q - 54860).
El punto P pertenece a esa recta:
tp= 1,5552 x 10-3 (Qp- 54860) =
1,5552 x 10-3 (56720-54860) = 2,8927 °C
]]> En realidad, algunas de las constantes térmicas dadas aquí con el enunciado del problema no tienen sino 2 cifras significativas. Por esa razón la respuesta, a esa precisión, sería tfinal≈ 2.9°CPero usaremos el resultado que tiene 5 cifras significativas, para el propósito de verificar que es la respuesta correcta, concordante con los datos usados.
Paso 4. Comprobación del resultado:
Ahora consideramos el proceso real espontáneo que toma lugar, partiendo del estado inicial dado en el problema, hasta el estado final que hemos encontrado. Si la respuesta es correcta, debe satisfacer la condición de balance energético (3). Vamos asegurarnos de eso. Calculamos el calor absorbido por cada uno de los 3 cuerpos:
No queda duda de que el estado final del sistema para la parte a) del problema es 200 g de aluminio con 600 g de agua líquida, todo a 2.8927°C.
Solución Parte b)
No se especifica si el segundo bloque de hielo se introduce al comienzo o al final del proceso de la parte a). Sin embargo, el resultado se espera que sea el mismo. Supongamos que es introducido al comienzo.
El estado inicial del sistema sería:
200 g de aluminio a 20°C500 g de agua a 20°C ]]> 300 g de hielo a -20°C.
El estado base del sistema sería:
200 g de aluminio -20°C800 g de hielo -20°C
Se puede ahorrar algo de trabajo si calculamos primero el Q'total del paso 3 del método y después trazamos la gráfica de calentamiento del sistema a partir del estado base (paso 2). De esa forma, tan pronto la coordenada X de la gráfica sobrepase el valor de Q'total se puede dar por terminada.
Calculemos entonces el calor requerido para llevar el sistema desde el estado base hasta el estado inicial, con calentamientos por separado de cada uno de los 3 cuerpos.
Aluminio:
200g de -20°C a 20°C
Q'aluminio =1720cal
300 g de -20°C a -20°C
Q'hielo = 0 cal Agua: ]]> 500 g de -20°C a 20°C
Q'agua = 55000cal Total Q'total= 56720cal
Este es exactamente el resultado del paso 3 de la parte a) porque todo es igual excepto la cantidad de hielo. Pero el hielo no contribuye nada al calor ya que sus temperaturas base e inicial son ambas de -20°C.
La gráfica del paso 2 sí cambia. La Figura 6 muestra esa gráfica, correspondiente al calentamiento homogéneo del sistema, partiendo del estado base a -20°C.
Las coordenadas de los puntos notables de la poligonal van surgiendo así:
calor necesario para llevar 800 g de hielo de -20°C a 0°C ]]>
QAB = calor necesario para fundir 800 g de hielo a 0°C
Ya este punto sobrepasa el punto P que representa el estado final del sistema, porque
La masa de hielo (agua en estado sólido) que queda es
Finalmente vale la pena hacer notar que la solución de la parte b) del problema, en cada una de sus dos posibilidades (segundo bloque al comienzo o al final del proceso de la parte a)), mediante el método de ensayo y error hubiera implicado comenzar de nuevo desde cero el problema. Con el método aquí expuesto se hacen algunas modificaciones al análisis de la parte a) y se obtiene fácilmente la solución de la nueva situación. En particular se prueba que el estado final de equilibrio depende de todos los cuerpos presentes en el sistema y no del orden en que se van agregando al mismo. Esta es una propiedad general de este tipo de procesos.
Demostración teórica del método:
]]> Imaginemos someter al sistema al proceso cerrado mostrado en la Figura 7. Partiendo del estado base (B) calentamos por separado los cuerpos del sistema hasta obtener el estado inicial dado en el problema (I). Luego dejamos que hayan los intercambios espontáneos dentro del sistema que lo dejan en el estado final de equilibrio térmico (F). Por último, enfriamos homogéneamente el sistema hasta regresarlo al estado base. Todo es hecho a presión atmosférica.
Vamos a aplicar la 1ª Ley de la Termodinámica al sistema formado por los N cuerpos que recorre ese proceso cerrado:
ΔE = Q-W (5)
Veamos:
Energía:
El sistema parte del estado base y regresa al estado base. La energía total del sistema es una función de estado. Por tanto
ΔE = 0
Trabajo:
]]> Los cuerpos del sistema pueden sufrir expansiones o contracciones térmicas a lo largo del proceso cerrado. Pero como en todo momento están sometidos a la presión atmosférica, el trabajo que realiza cada uno de ellos se puede calcular según la fórmula isobárica:Wi = Patm ΔVi donde i = 1, 2, ... N
Los resultados obtenidos se dividirán en 4 partes: La primera está relacionada con el diagnóstico de los profesores de un ejercicio de esta índole con solamente dos cuerpos.
La segunda sobre el trabajo de los estudiantes para resolver este ejercicio solamente con dos cuerpos sin ningún método especial.
La tercera sobre la aplicación de este método a dos cursos y su evaluación.
La cuarta sobre la reacción de los profesores cuando se les explicó el método.
I. Se aplicó la siguiente encuesta a los profesores solicitando que nos dieran por escrito la solución del ejercicio y contestaran algunas preguntas:
Encuesta sobre problemas de equilibrio térmico con cambios de fase
1. Resuelva el siguiente problema:
La tabla suministra las características térmicas necesarias para resolver el siguiente problema:
En un recipiente refractario se tiene 20 kg de cobre fundido (a 1200°C). Se introducen dos cuerpos sólidos a 20°C: 5 kg de aluminio y 5 kg de cobre.
]]>
2. Comente sobre las dificultades que se presentan al resolver problemas de este tipo:
a. En el aspecto científico.
b. En el aspecto pedagógico.
3. Si estos problemas los resuelve con sus estudiantes y por qué.
De cinco profesores, solamente uno nos dio por escrito la solución y en ella planteaba el famoso método de ensayo y error. Los demás profesores, de forma oral nos comentaron que era muy extensa la solución y por eso no la hicieron.
II. Este mismo ejercicio se aplicó como trabajo de casa a estudiantes del grupo del profesor Antonio Mejía, en el año 2006, después de haber visto la teoría del texto guía, la cual no tiene un "método" para resolver los problemas, excepto el de "ensayo y error". Ningún estudiante resolvió este problema de forma correcta.
III. En el 2° semestre de 2007, se explicó este método a dos cursos de los autores y en un parcial se preguntó un ejercicio similar, teniendo un alto porcentaje (más del 60%) de estudiantes que resolvieron este problema de forma correcta. Lo cual, contrasta con todos los resultados anteriores.
IV. En este mismo semestre (2°-2007) se organizó un corto seminario, donde a los profesores se les explicó el método, teniendo como resultado la aceptación de todos ellos para aplicarlo, implementarlo y evaluarlo en los siguientes semestres.
Discusión
]]> La gráfica T vs. Q es una aproximación al comportamiento térmico de la sustancia, utilizada en los cursos de física fundamental, no se está manejando el calor Q como si fuera una función de estado, se trata simplemente de la relación entre dos variables (T y Q) en un proceso bien definido como es el calentamiento a presión constante. Las dependencias de cp con la temperatura no invalidan el método, ya que, en la demostración dada (que por supuesto es propuesta y abierta al debate) no se hace uso de los detalles de la relación T vs. Q. Lo que es incuestionable es que el método funciona correctamente para resolver cualquier problema de este tipo dentro del modelo de la física general y lo hace de una manera sencilla. Consideramos que este procedimiento no es sólo una estrategia didáctica; es una nueva herramienta de análisis de ciertos procesos termodinámicos.Conclusiones
Toda nueva metodología parece difícil al comienzo. Pero con la práctica se torna fácil. Se llama la atención hacia el hecho de que todo el procedimiento aquí propuesto para resolver los problemas de equilibrio térmico con cambios de fase se basa en la aplicación repetida de sólo dos fórmulas:
Q = mcΔT
Q = mL
La secuencia dirigida y racional en que se efectúa es lo que hace la diferencia. El estudiante puede buscar problemas propuestos en los textos de física general donde se suministre el estado inicial completo de un sistema y se exija hallar el estado final. Al entrenarse en el uso del método de la gráfica, lo asimilará como herramienta digna de confianza.
Para finalizar, podemos concluir que la utilización de este método no dará lugar a bloques de trabajo perdido, esfuerzos mentales innecesarios e incertidumbre sobre las conclusiones; sin embargo, todavía se debe implementar y generalizar en todos los grupos de la asignatura de fluidos y termodinámica para valorar el grado de efectividad y de receptividad por parte de los estudiantes y de los profesores.
Literatura citada
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ALONSO, M. y FINN, E. Física. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. Wilmington, Estados Unidos. 1995, 969 págs. [ Links ]
ROLLER, D. y BLUM, R. Física: mecánica, ondas y termodinámica. Vol. 2. Editorial Reverté. Barcelona, España. 1986, 458 págs. [ Links ]
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TIPLER, P. Física. 3ª edición. Editorial Reverté. Barcelona, España. 1992. [ Links ]
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