1. Introducción

Sea ( M , ɡ) una variedad Riemanniana n-dimensional, compacta, conexa y con frontera suave ∂M. El problema

donde ν es un número real, se conoce como el problema de Steklov ¹. Los valores propios para este problema son los mismos que los valores propios del operador Dirichlet-Neumann ¹ y son a menudo llamados valores propios de Steklov ².

El primer valor propio no cero ν ₁(M) es conocido como el primer valor propio de Steklov y está caracterizado variacionalmente por

donde R(φ) =∫M ∇φ2dv∫∂Mφ2dσ es llamado cociente de Rayleigh. Para la bola n-dimensional unitaria B ₁(0) ⊂ ℝ ⁿ , el primer valor propio de Steklov es ν ₁ (B) = 1.

Al igual que en el problema de Dirichlet y de Neumann, en el problema de Steklov se han hecho estimativos geométricos para el primer valor propio. Para dominios acotados y simplemente conexos en el plano xy, en 1954, Weinstock ³ demostró que ν ₁ ≤ 2π/L , donde L representa el perímetro de la curva frontera, con igualdad si y sólo si el dominio es un círculo. En 1970, para dominios convexos en el plano, Payne ⁴ demostró que ν ₁ ≥ k, donde k es el valor mínimo de la curvatura sobre la frontera del dominio. Posteriormente, en el año 1997, Escobar ⁵ generalizó el resultado de Payne para variedades bi-dimensionales con curvatura de Gauss no negativa, reemplazando k por la curvatura geodésica k _ɡ de la frontera. El resultado de Escobar es el siguiente:

Teorema 1.1. Sea ( M , ɡ) una 2-variedad Riemanniana compacta con frontera. Asumamos que M tiene curvatura Gaussiana no negativa, K y que la curvatura geodésica k _ɡ de la frontera de M, verifica la desigualdad k _ɡ ≥ k > 0. Entonces, el primer valor propio no cero del problema de Steklov, ν ₁ (M) satisface ν ₁ (M) ≥ k. La igualdad se tiene solamente para la bola euclidiana de radio 1/k.

En el mismo artículo, para dimensiones mayores, Escobar obtiene el siguiente resultado:

Teorema 1.2. Sea ( M , ɡ) una variedad Riemanniana compacta con frontera y dimensión n ≥ 3. Asumamos que Ricci(ɡ) ≥ 0 y que la segunda forma fundamental π satisface π(υ,υ) ≥ k |ʋ|² sobre ∂M, k > 0. Entonces

Dos años después, Escobar ⁶ enuncia la siguiente conjetura:

2. Segunda forma fundamental

En esta sección encontramos la mejor cota inferior para la segunda forma fundamental sobre el n-elipsoide. Sea

donde

La frontera de M, ∂M, es el elipsoide n-dimensional

Dado que

es un campo unitario exterior y normal a ∂M la segunda forma fundamental en x evaluada en υ ∈ 𝔛(∂M) (Campos tangentes a ∂M) está dada por

π(υ,υ) = ⟨D _υ N,υ⟩,

donde ⟨∇ F, υ⟩ = 0. Por lo tanto,

En nuestro caso, tenemos:

Tenemos, entonces, la desigualdad:

La igualdad se obtiene en x = a _n e _n y υ = e₁, es decir ana12 es la mejor cota inferior para π.

3. Cociente de Rayleigh

Dada φ: M → ℝ suave, comparamos el cociente de Rayleigh R(φ) sobre el elipsoide M definido en (4) con el cociente de Rayleigh R(φ o f) sobre la bola B, donde

y

Con el fin de simplificar los cálculos, introducimos las siguientes variables y conjuntos: x = (x ₁ ,...,x _n ), w = (x ₁ ,...,x _n-1 ), u = (u ₁ ,...,u _n ), z = (u ₁ ,...,u _n-1 ), x = f(u).

Con la notación precedente, tenemos:

Es decir,

4. Conjetura de Escobar para n-elipsoides

Sea ψ primera función propia asociada al valor propio ν₁(M) y 𝑎 tal que φ = ψ + 𝑎 satisfaga

Dado que ψ es función propia, entonces ∫∂B(ψ + a)dσx = α,A  con A = ∫∂Bdσx Por lo tanto,

De (11) se deduce que:

Tenemos entonces que ν₁(M) es mayor o igual a la mejor cota inferior para π. La igualdad se obtiene si y sólo si a₁ = a _n . En tal caso, M es una bola de radio a₁ y ν₁(M) = 1/α_1. La Conjetura de Escobar se satisface para n-elipsoides.