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Revista Colombiana de Matemáticas
versión impresa ISSN 0034-7426
Rev.colomb.mat. v.41 n.2 Bogotá jul./dic. 2007
1California Institute of Technology, Pasadena, USA.. Email: caicedo@caltech.edu
Goodsteins function Ģ:N → N is an example of a fast growing recursive function. Introduced in 1944 by R. L. Goodstein [9], Kirby and Paris [12] showed in 1982, using model theoretic techniques, that Goodsteins result that Ģ is total, i.e., that Ģ(n) is defined for all n Є N, is not a theorem of first order Peano Arithmetic. We compute Goodsteins function in terms of the Löb-Wainer fast growing hierarchy of functions; from this and standard proof theoretic results about this hierarchy, the Kirby-Paris result follows immediately. We also compute the functions of the Hardy hierarchy in terms of the Löb-Wainer functions, which allows us to provide a new proof of a similar result, due to Cichon [2].
Key words: Goodstein function, Hardy hierarchy, fast growing hierarchy, Peano Arithmetic.
2000 Mathematics Subject Classification: 03F30, 03D20.
La función de Goodstein Ģ:N → N es un ejemplo de una función recursiva de crecimiento rápido. Introducida en 1944 por R. L. Goodstein [9], Kirby y Paris [12] demostraron en 1982, usando técnicas de teoría de modelos, que el resultado de Goodstein de que Ģ es total, es decir, que Ģ(n) está definida para todo n Є N, no es un teorema de la Aritmética de Peano de primer orden. Calculamos la función de Goodstein en términos de la jerarquía de funciones de crecimiento rápido de Löb y Wainer; usando esto y resultados clásicos de teoría de la demostración acerca de esta jerarquía, el teorema de Kirby y Paris se sigue de inmediato. También calculamos las funciones de la jerarquía de Hardy en términos de las funciones de Löb y Wainer, con lo que obtenemos una nueva demostración de un resultado similar, debido a Cichon [2].
Palabras clave: Función de Goodstein, jerarquía de Hardy, jerarquía de crecimiento rápido, aritmética de Peano.
Texto completo disponible en PDF
References
[1] Ackermann, W., `Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre´, Mathematische Annalen 114, (1937), 305-315. [ Links ]
[2] Cichon, E., `A short proof of two recently discovered independence proofs using recursion theoretic methods´, Proceedings of the American Mathematical Society 87, (1983), 704-706. [ Links ]
[3] Cori, R. & Lascar, D., Mathematical Logic. A course with exercises. Part II, Oxford University Press, Oxford, United Kingdom, 2001. [ Links ]
[4] Fairtlough, M. & Wainer, S., Handbook of Proof Theory, Elsevier-North Holland, (1998), chapter Hierarchies of provably recursive functions, p. 149-207. [ Links ]
[5] Feferman, S., `Systems of predicative analysis, i´, The Journal of Symbolic Logic 29, 1 (1964), 1-30. [ Links ]
[6] Feferman, S., `Systems of predicative analysis, ii´, The Journal of Symbolic Logic 33, (1968), 193-220. [ Links ]
[7] Gentzen, G., `Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie´, Mathematische Annalen 112, 1 (1936), 493-565. [ Links ]
[8] Gentzen, G., `Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfällen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie´, Mathematische Annalen 119, (1943), 140-161. [ Links ]
[9] Goodstein, R., `On the restricted ordinal theorem´, The Journal of Symbolic Logic 9, 2 (1944), 33-41. [ Links ]
[10] Hardy, G., `A theorem concerning the infinite cardinal numbers´, Quarterly Journal of Mathematics 35, (1904), 87-94. [ Links ]
[11] Ketonen, J. & Solovay, R., `Rapidly growing Ramsey functions´, The Annals of Mathematics 113, 2 (1981), 267-314. [ Links ]
[12] Kirby, L. & Paris, J., `Accessible independence results for Peano arithmetic´, Bulletin London Mathematical Society 14, (1982), 285-293. [ Links ]
[13] Kunen, K., Set Theory. An introduction to independence proofs, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, Nederland, 1980. [ Links ]
[14] Löb, M. & Wainer, S., `Hierarchies of number theoretic functions. i´, Arch. Math. Logik Grundlagenforsch 14, (1970), 39-51. [ Links ]
[15] Simpson, S., Subsystems of second order arithmetic, Springer, Berlin, Germany, 1999. [ Links ]
[16] Wainer, S., `A classification of the ordinal recursive functions´, Arch. Math. Logik Grundlagenforsch 13, (1970), 136-153. [ Links ]
[17] Weyl, H., Das Kontinuum: Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Chelsea, New York, United States, 1973. Reprinted in H. Weyl, E. Landau, B. Riemann. Das Kontinuum und andere Monographien. [ Links ]
Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:
@ARTICLE{Caicedo07,
AUTHOR = {Andrés Eduardo Caicedo},
TITLE = {{Goodstein's function}},
JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
YEAR = {2007},
volume = {41},
number = {2},
pages = {381-391}
}