¹Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, México. Email: lhuerta@fismat.umich.mx
²Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, México. Email: ariel@zarzamora.com.mx
³Universidad Nacional Autónoma de México, Morelia, México. Email: graggi@matmor.unam.mx
⁴Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, México. Email: valero@fismat.umich.mx

Let G and Q be groups with isomorphic tables of marks, and for each subgroup H of G, let H' denote a subgroup of Q assigned to H under an isomorphism between the tables of marks of G and Q. We prove that if H is cyclic/elementary abelian/maximal/the Frattini subgroup/the commutator subgroup, then H' has the same property. However, we give examples where H is abelian and H' is not, and where H is the centre of G and H' is not the centre of Q. For this we construct (using GAP) the smallest example of non-isomorphic groups with isomorphic tables of marks.

Key words: Group representation, Burnside rings, table of marks.

Sean G y Q grupos con tablas de marcas isomorfas, y para cada subgrupo H de G, sea H' un subgrupo de Q asignado a H bajo un isomorfismo entre las tablas de marcas de G y Q. Demostramos que si H es cíclico/elemental abeliano/maximal/el subgrupo de Frattini/el subgrupo conmutador, entonces H' tiene la misma propiedad. Sin embargo, damos ejemplos donde H es abeliano y H' no lo es y donde H es el centro de G y H' no es el centro de Q. Para esto construimos (usando GAP) el menor ejemplo de grupos no isomorfos con tablas de marcas isomorfas.

Palabras clave: Representación de grupos, anillo de Burnside, tabla de marcas.

Texto completo disponible en PDF

References

[1] R. Brandl and T. Huckle, `On the isomorphism problem for Burnside rings´, Proceedings of the American Mathematical Society 123, 12 (1995), 3623-3626.         [ Links ]

[2] T. G. Group, GAP - Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4, (2006). (http:www.gap-system.org)         [ Links ]

[3] W. Kimmerle, Beiträge zur ganzzahligen Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Vol. 36, Bayreuther Mathematische Schriften, 1991.         [ Links ]

[4] W. Kimmerle, F. Luca, and A. Raggi-Cardenas, `Irreducible components and isomophisms of the Burnside ring´, Journal of Group Theory 11, 6 (2008), 831-844. DOI: 10.1515/JGT.2008.052         [ Links ]

[5] W. Kimmerle and K. W. Roggenkamp, `Automorphisms of Burnside rings´, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 212, (1995), 333-351.         [ Links ]

[6] F. Luca and A. Raggi-Cárdenas, `Composition factors from the table of marks´, Journal of Algebra 244, (2001), 737-743.         [ Links ]

[7] A. Raggi-Cárdenas and L. Valero-Elizondo, `Groups with isomorphic Burnside rings´, Archiv der Mathematik 84, 3 (2005), 193-197. (31/Mar/2005). ISSN: 0003-889X. Publisher: Birkhäuser         [ Links ]

[8] A. Raggi-Cárdenas and L. Valero-Elizondo, `Two non-isomorphic groups of order 96 with isomorphic tables of marks and non-corresponding centres and abelian subgroups´, Communications in Algebra 37, (2009), 209-212. ISSN: 0092-7872, DOI: 10.1080/00927870802243614         [ Links ]

[9] J. Thévenaz, `Isomorphic Burnside rings´, Communications in Algebra 16, 9 (1988), 1945-1947.         [ Links ]

Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX: