2. PRELIMINARES

Para lo que sigue del artículo fijaremos la siguiente notación: todos los anillos tienen identidad, es un cuerpo, todas las álgebras son ℝ -álgebras y el símbolo ⊗indicará ⊗ .

Un álgebra A es finitamente generada como álgebra si existen elementos α1,...,αη∈ A tal que el conjunto {ai1ai2…aim │1│≤ij≤n,m≥ 1} U{1} genera a A como un -espacio vectorial. Un álgebra ℕ es N-graduada si tiene una descomposición en -espacios vectoriales A = ⊗n≥ ₀ A _n tal que A _¡ A _j ⊆ A _¡+j , para todo i, j ≥ 0. Se dice que A es conexa si A₀ = ℝ. Un elemento x en A es homogéneo si x∈Α _n para algún n. Un ideal izquierdo I de A es llamado homogéneo o graduado si es generado por elementos homogéneos, o equivalentemente, si I = ⊗ _n≥0 (I ∩ A _n ). En el álgebra libre A = 〈x1,...,x _n 〉, la longitud de una palabra x_ilx_i2…x¡ _m es m y la longitud de 1 es 0. Notemos que A es ℕ -graduada conexa, donde A_i es el -subespacio generado por todas las palabras de longitud i. Por simplicidad en la escritura, para m≥0, la suma ⊗ _n ≥ _m A _n se notará como A> _m .

Dada A un álgebra ℕ -graduada conexa finitamente generada, se dice que A es finitamente presentada si existe un ideal homogéneo I generado por finitos elementos homogéneos, I=(f ₁,..., f _m) tal que A ≅ , 〈x1,…,xn〉/I. Al cociente 〈x ₁ ,...,x _n 〉/(f1,...,f _m ) se le llama una presentación de A con generadores x ₁ ,...,x _n ״ y relaciones f ₁,…, f _m · Las álgebras finitamente graduadas fueron definidas por Rogalski en ^[21], un álgebra A es finitamente graduada si A es ℕ ℕ -graduada conexa y finitamente generada como un álgebra.

Sea A un álgebra ℕ -graduada. Un A-módulo M es graduado si M tiene una descomposición en -espacios vectoriales M = ⊗ _{n∈ ℤ} M _n tal que AjMi ⊆ M _¡+j para todo ¡ ∈ ℤ,j∈ ℕ. Dado un A-módulo graduado M se define M(i), i ∈ ℤ, como el módulo graduado que es isomorfo a M como un A-módulo, el cual tiene una graduación dada por M(i) _n - M¡ _+n . De forma análoga, dada un álgebra graduada A, se define el álgebra graduada A(i), con i ∈ ℤ. Si M y N son A-módulos, el conjunto de los A-homomorfismos de M en N se denotará como Homa(M, N). Si M y N son graduados, para un l∈ ℤ, se dice que f es un homomorfismo l-graduado si f(M _n ) ⊆ N _n+ l para todo n. Si l = 0, se dice simplemente que f es graduado.

El plano de Jordan aparece en diferentes contextos en matemáticas y física, además de presentarse como un ejemplo básico en los inicios de la geometría algebraica no conmutativa.

Definición 1. El Plano de Jordan es el álgebra libre 〈x,y〉, sujeta a la relación yx = xy+x ² , es decir, A =〈x, y〉/(yx - xy - x2), donde (yx - xy - x2) es el ideal bilátero de 〈x,y〉 generado por el polinomio yx - xy - x ²

Proposición 2. El plano de Jordan A = 〈x,y〉 I (yx - xy - x ² ) es un álgebra finitamente graduada y finitamente presentada.

Demostración. El álgebra libre 〈x,y〉 es finitamente generada como álgebra, además de ser graduada y conexa. El ideal de relaciones I = (yx - xy- χ ² ) es homogéneo de grado 2, luego el cociente -es decir, el plano de Jordan-resulta finitamente generado, graduado y conexo. Como I es finitamente generado, el álgebra A es además finitamente presentada.

Definición 3. Si A es un álgebra finitamente generada, la dimensión de Gelfand-Kirillov (GK-dim) de A se define como

donde V es un -subespacio de dimensión finita de A, que genera a A como un álgebra y 1∈v

En [¹⁴] se encuentran las propiedades básicas de la dimensión de Gelfand-Kirillov. Una de estas propiedades es la no dependencia en la elección de V [14, Lema 1.1 y Lema 2.1].

El siguiente resultado es de gran utilidad para decidir si algunas álgebras son dominios o cumplen la condición de ser noetherianas. Recordemos que un elemento x∈A es normal si xA- Ax.

Lema 4 ([²¹], Lema 1.11). Sean A un álgebra finitamente graduada y x∈Ad un elemento normal homogéneo, para algún d ≥ 1.

(i) Dado x un elemento no divisor de cero en A, si A/Ax es un dominio entonces A es un dominio.

(ii) Si A/Ax es noetheriana, entonces A es noetheriana.

Un álgebra A = ⊗n≥0An es generada en grado uno si A es generada por A1. Un álgebra generada en grado uno es llamada cuadrática si el álgebra está determinada por relaciones pertenecientes a A1 ⊗A1. Por lo tanto, un álgebra cuadrática A está determinada por un espacio vectorial de generadores V = A1 y un subespacio arbitrario de relaciones cuadráticas I ⊂zA1 ⊗A1.

Proposición 5. El plano de Jordan A = 〈x,y〉/(yx-xy- x ² ) es un álgebra cuadrática.

Demostración. Como A₁ es el espacio vectorial generado por x, y, entonces A es generada en grado uno. Además, yx - xy-x ² ∈A ₁ ⊗A₁ =A₂, luego el plano de Jordan es un álgebra cuadrática.

3.1 Extensiones de Ore

Se dice que A es una extensión de Ore del anillo R si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) R es un subanillo de A.

(ii) Existe en A un elemento x tal que A es un R-módulo libre a izquierda con base {·x^k}k≥0, es decir, cada elemento de A se expresa unívocamente como una suma finita Σ_i r _i x ⁱ con r¡ ∈ R.

(iii) xr ∈Rx+R , es decir, xr = σ (r)x+ δ(r) para algunos σ (r), δ (r) ∈ R, con r∈R.

De (iii) se obtiene que σ : R → R es un endo-morfismo de anillos, mientras que δ : R → R es una σ - derivación; es decir:

En particular, σ(1) = 1γδ(1)=0. La extensión de Ore del anillo R se nota por A = R[x; σ, δ].

Proposición 6. El plano de Jordan A = 〈x,y〉/ (yx - xy - x ² ) es una extensión de Ore del anillo de polinomios [x].

Demostración. Sean σ : .[x] → .[x], con σ = id_[x], y δ: [x] → .[x], tal que

Sean f,ge [x], entonces f = Σa _i x ⁱ , y g= Σb _i x ⁱ , así

luego, δ es una σ-derivación.

Sea A= 〈x,y〉/(yx-xy - x ² ), si consideramos en A el elemento yx - xy - x ² - 0, se tiene que yx = xy + x². Si σ, δ : 〈x,y〉 → 〈x,y〉son como antes, entonces σ(x) = x y δ(x) = x ² y así yx = σ(x)y + δ(x).

Sea n ∈ ℕ tal que yx ⁿ = σ(x ⁿ )y + δ(x ⁿ ), es decir yx ⁿ = x ⁿ y + /nxⁿ⁺¹, entonces,

Por tanto, para f = ⅀a_¡xⁱ ∈ .[x], se tiene que:

Por lo anterior se puede concluir que:

(i) [x] → 〈x,y〉/(yx - xy- x ² ).

(ii) Existe en 〈x,y〉/(yx - xy- x ² ) un elemento y tal que 〈x,y〉/(yx - xy- x ² ) es un [x] - módulo libre a izquierda con base{y^k}k≥0

(iii) yr∈ [x]y + [x], es decir, yr = σ (r)y + δ (r), para algunos σ (r), σ δ (r) ∈ [x] con r ∈ [x].

Con lo cual,

〈x,y〉/(yx-xy-x ² ) ≅ [x][y; σ,δ].

3.2 Extensiones PBW torcidas

Definición 7. Sean R y A dos anillos. Se dice

que A es una extensión PBW (Poincaré-Birkho-ff-Witt) torcida de R si cumple las siguientes condiciones:

(i) R⊆A;

(ii) Existen elementos x ₁ ,...,x _n ∈ A tal que A es un R-módulo libre a izquierda, con base el conjunto Mon(A) de los monomios estándar,

(iii) Para cada 1 ≤ 1 ≤ n y cada r ∈ R\{0}, existe un elemento c_i,r ∈ R \ {0} tal que x _¡ r - c _i,r Xi ∈ R.

(iv) Para l≤i,j≤n existe c_i,j ∈R\{0} tal que

Bajo estas condiciones A se denota como A = σ (R)(x1,...,x _n ). También denotaremos | α | := α ₁ + α ₂ + ··· + α _η .

Proposición 8 (^[6], Proposición 3). Sea A una extensión PBW torcida de R. Para cada 1 ≤ i ≤ n, existe un endomorfismo inyectivo σ_i: R→R → R y una σ_i־ -derivación δ _i : R → R tal que

Definición 9 (^[25], Definición 2.3). Sea A una extensión PBW torcida de y Δ := {δ₁,..., δη}, donde σ_־ y δ_i (1≤i≤ n) son como en la proposición anterior.

(a) A es llamada pre-conmutativa si la condición (iv) en la Definición 7 es reemplazada por: para cualesquiera 1 ≤ i, j ≤ n, existe c¡j ∈ R\{0} tal que

(b) A es llamada cuasi-conmutativa si las condiciones (iii) y (iv) en Definición 7 son reemplazadas por

(iii) para cada 1≤i≤n y todo r ∈ R\{0}, existe c _i,j ∈ R\{0} tal que

(iv') para cualesquiera 1 ≤ i,j ≤ n, existe c _¡,j G R\{0} tal que

(c) A es llamada biyectiva si σ_־ es biyectivo para cada σ_i־ ∈ Σ y c_i־ j es invertible para cada 1 < י ≤ j <n.

(d) Si σ _i , = id _R para cada σ _i e ∈י se dice que A es una extensión PBW torcida de tipo derivación.

(e) Si δί = 0 para todo δ _i ∈ Δ, se dice que A es una extensión PBW torcida de tipo endomorfismo.

(f) Un elemento r de R tal que σ_i־(r) = = ry δ_i (r) = 0 para todo 1 ≤i≤n será llamado una constante. A es llamada constante si todo elemento de R es constante.

(g) A es llamada semi-conmutativa si A es cuasi-conmutativa y constante.

Estas extensiones y sus subclases han sido bastante estudiadas recientemente (véase por ejemplo ^{[6,8,16,19,22,23,24,25]}).

3.3 El plano de Jordan como una extensión PBW torcida

Proposición 10. El plano de Jordan es una extensión PBW torcida biyectiva y pre-conmutativa.

Demostración. Considérese el plano de Jordan A =(x,y)/(yx-xy - x ² ), entonces se tiene que:

(i) [x]CA.

(ii) Existe y ∈ A tal que A es un [x]-módulo con base {y ⁿ |n ∈ ℕ }.

(iii) Como en A se tiene que yx - xy - x ² = 0, entonces yx - xy - x ² ∈ ־ [x].

Por tanto el plano de Jordan puede expresarse como una extensión PBW torcida, es decir,

Además, como yx - xy + x ² , se debe tener que para el endomorfismo σ y la σ-derivación δ de la Proposición 8, σ(χ) - xy δ(χ) - x ² , coincidiendo con el automorfismo σ y la σ -derivación σ del plano de Jordan como extensión de Ore del anillo [x]. Así, se puede concluir que el plano de Jordan es una extensión PBW torcida biyectiva y pre-conmutativa.

3.4 Extensiones PBW torcidas graduadas

Como una generalización de las extensiones de Ore iteradas graduadas, en ^[22] fueron definidas las extensiones PBW torcidas graduadas.

Proposición 11 ^([22], Proposición 2.7). Sea R = ⊗m ≥ ₀ R _m un álgebra ℕ -graduada y sea A = σ (R) 〈x\,...,x _n 〉 una extensión PBW torcida biyectiva de R que satisface las siguientes condiciones:

(i) σ _¡ es un homomorfismo de anillos graduados y δί : R(-l) → R es una σ _¡ - derivación para todo 1 ≤ i ≤ n, donde σ _¡ y δ _i son como en la Proposición 8.

(ii) x _j x _i - C _i,j x _i x _j ∈R ₂ + R ₁ x ₁ +…+-----R ₁ x _n , como en (1) y c _¡,j ∈R ₀.

Para p ≥ 0, sea A _p el-espacio generado por el conjunto

Entonces A es un álgebra ℕ-graduada con graduación

Definición 12. Sea A = σ (R)(x1,...,xn) una extensión PBW torcida biyectiva de un álgebra N-graduada R = ⊗m ≥0Rm Se dice que A es una extensión PBW torcida graduada si satisface las condiciones (i) y (ii) en la Proposición 11.

Proposición 13. El plano de Jordan es una extensión PBW torcida graduada.

Demostración. Por la Proposición 10 tenemos que el plano de Jordan 〈x,y〉/(yx-xy - x ² ) es una extensión PBW torcida biyectiva y pre-conmutativa de [x], que resulta ser un álgebra N-graduada, con la graduación usual dada por el grado de los monomios. Además, el endo-morfismo σ y la σ-derivación δ de la Proposición 8 están dados por

Luego, σ es un homomorfismo de anillos graduados y δ : [x](-1) → [x] es una σ-derivación. Por tanto,A= 〈x,y〉/(yx-xy - x ² ) es una extensión PBW torcida graduada de [x].

4. ÁLGEBRAS ARTIN-SCHELTER REGULARES VERSUS ÁLGEBRAS CALA-BI-YAU TORCIDAS

Reyes, Rogalski y Zhang en [20, Lema 1.2] demostraron que en el caso de álgebras graduadas conexas, las álgebras Calabi-Yau torcidas y las álgebras Artin-Schelter regulares coinciden.

4.1 Álgebras Artin-Schelter regulares

Las álgebras Artin-Schelter regulares son una clase de álgebras graduadas introducidas por Artin y Schelter en ^[4]. En tal artículo los autores clasificaron las álgebras Artin-Schelter regulares generadas en grado uno y de dimensión global menor o igual a 3.

Definición 14. Sea A = ⊗A ₁ ⊗A ₂ ⊗… un álgebra graduada finitamente presentada. El álgebra A se dice Artin-Schelter (AS) regular si satisface:

(i) A tiene dimensión global finita d, es decir, todo A-módulo graduado tiene dimensión proyectiva menor o igual a d.

(ii) A tiene dimensión de Gelfand-Kirillov finita.

(iii) A es Gorenstein, es decir,

En la definición anterior se considera a como un A-módulo, de la siguiente manera: dado α∈A, α=k ₀+ α _d1 +… α _dr con k ₀ ∈ y α _di ∈ A _di Entonces para k∈ y a∈ A se define a-k:= k _o k.

Sea A como en la definición anterior. Podemos definir el homomorfismo canónico de A-módulos j :A→y, con j(α) := k _o para cada a a ∈ A.

Proposición 15 (^[4], Página 173). La sucesión de A-módulos

es exacta.

A continuación se presentan dos ejemplos de sucesiones exactas de A-módulos del cuerpo como A-módulo, las cuales serán de utilidad para mostrar ejemplos de álgebras Artin-Schelter regulares.

Ejemplo 16. Considérese la -álgebra A = 〈x,y〉 sujeta a la relación xy = qyx, con q ∈ *, es decir, A - 〈x,y〉/(xy - qyx) (A es conocida como el plano cuántico). Entonces r ₁ =2,y r ₂ = 1, con f ₁ =xy- qyx.

Sean para todo a, b, c ∈ A. Por tanto

es una sucesión exacta de A-módulos proyectivos de como A-módulo. Además dado que A/Ax≅ [y] es un dominio noetheriano, por el Lema 4 se tiene que A es un dominio noetheriano y por tanto h _M resulta ser inyectiva, con lo cual

es una resolución proyectiva de como A-módulo.

Ejemplo 17. Sea A = 〈x,y〉/(yx-xy - x ² )el plano de Jordan. Entonces r₁ = 2 y r ₂ = 1, con f ₁ = yx - xy - x².

Por tanto

es una sucesión exacta de A-módulos pro-yectivos de como A-módulo, donde h'(α) = α

para todo a, b, c ∈ A.

Análogo al plano cuántico, A/Ax ≅ [y] es un dominio noetheriano, luego h' resulta ser inyectiva, y por tanto

es una resolución proyectiva de como A-módulo.

El cálculo hecho en el Ejemplo 17 es similar al realizado en [21, Ejemplo 1.25], salvo que la resolución allí obtenida es de módulos libres graduados.

Sea A un álgebra finitamente graduada y M un A-módulo graduado acotado a izquierda, es decir, M _n = 0 para n«0. Sea {m_i} ⊆Mun conjunto de elementos homogéneos que generan a M minimalmente como A-módulo. Entonces, existe un A-homomorfismo graduado sobreyectivo Φ י ⊗ _i A(-di) → M, con di: = deg(m_i־) (i.e.,m_i es un elemento homogéneo de grado d¡. En tal caso φ es llamada una sobreyección minimal de un módulo libre graduado sobre M.

Una resolución libre graduada de un A-módulo M de la forma

es llamada minimal si cada d _i es una sobreyección minimal en Im(d _¡ ) para todo i ≥ 1 y ε : ⊗_i¿A(-α_1,i) → M es una sobreyección minimal sobre M (véase [21, Página 9]).

Proposición 18. ( ^[21] , Lema 1.24) Una resolución libre graduada P. de M es minimal si y solo si para todo i≥1 se tiene que Im(di) ⊆ A≥1P _i .

Definición 19. Sean A un álgebra finitamente graduada y M,N A-módulos Z-graduados.

• Hom _gr - _A (M,N) := {f : M → N|f es un A-homomorfismo graduado}.

•

• ExtiA(M,N) es definido tomando un resolución libre graduada de M, aplicando el funtor HomA(-,N) y calculando la i-ésima homología.

En la definición anterior Homg,._A (M, N) es un grupo abeliano; más aún, si f ∈ Homgr_A(M,N) y k ∈ , entonces se define (k f) (m) := k · f(m), para m∈ M, con lo cual Homgr-a(M,N) resulta ser un -espacio vectorial.

Sean S := Homgr_A(M,N) y sd:= Homgr-A (M,N(d)), para cada d ∈ ℤ, fácilmente se muestra que la colección {Sd}d∈ℤ define una graduación de S.

Observación 20 ([²¹], Página 10). Sean A un álgebra finitamente graduada A y M, N A-módulos Z-graduados.

(i) Existe una inclusión natural HomA (M,N) → HomA (M,N).

(ii) Si M es finitamente generado, entonces

Es importante entender la acción del funtor HomA(-,A) en funciones entre módulos libres graduados. Si N es un módulo graduado sobre el álgebra finitamente graduada A, entonces HomA(N,A) es un A-módulo izquierdo vía [α-ψ](x) =αψ(x). Dado un homomorfismo de A-módulos graduados φ : Ni → N2, entonces induce el homomorfismo de A-módulos

A continuación presentamos algunos resultados preliminares que se usan en la demostración de la Proposición 24.

Lema 21 ([²¹], Lema 1.28). Sea A un álgebra finitamente graduada.

(i) Para cada módulo libre graduado, existe un isomorfismo de A-módulos graduados canónico

(ii) Sea Dado un homomorfismo de A-módulos graduados Φ : Ρ →Q, representado por la multiplicación por la matriz M, entonces aplicando HomA(-,A) se obtiene un homomorfismo de módulos Φ * : HomA(Q,A) → HomA(P,A), el cual puede ser identificado canónicamente con una función de módulos graduados usando (i). Entonces Φ * es definido bajo la multiplicación por la misma matriz M.

Proposición 22 (^[21], Proposición 1.30). Sea A un álgebra finitamente graduada. Entonces

y este número es igual a la longitud de la resolución minimal libre graduada de _A.

Proposición 23 (^[24], Proposición 3.5). Sea a = σ (R) (x _i , … ,X _n ) una extensión PBW torcida graduada de un álgebra conexa R. Si R es noe-theriana con dimensión global finita graduada, entonces A tiene dimensión global finita graduada y GKdim(A) < ∞,

4.2 El plano de Jordan como un álgebra Artin-Schelter regular

En ^[4] fueron clasificadas las álgebras Artin-Schelter regulares de dimensión global 3 y afirman que las únicas álgebras Artin-Schelter regulares de dimensión global 2 son el plano cuántico y el plano de Jordan. En esta subsección presentamos una demostración detallada de la propiedad Artin-Schelter regular del plano de Jordan, usando el hecho que el plano de Jordan se puede expresar como una extensión PBW torcida graduada (Proposición 13).

Proposición 24. El plano de Jordan es un álgebra Artin-Schelter regular de dimensión global 2.

Demostración. Sea A = 〈x,y〉/(yx-xy - x2) el plano de Jordan y consideremos la resolución de dada en (4)

donde para todo a,b,c ∈ A.

Sea, entonces

Nótese que:

•, entonces Im(d1) ⊂ A≥1A.

• , entonces Im(d2) C A≥1A⊗2.

Por la Proposición 18, se sabe que la resolución para A es minimal. Así, de la Proposición 22 se sigue que la dimensión global de A es 2.

Aplicando el funtor Hom _A (-,A) a la resolución minimal de , obtenemos la sucesión

por el Lema 21 (i), esta última puede reescribirse como

donde para todo a,b∈A.

En consecuencia

Veamos que: la contenencia es inmediata. Sea α ∈ A≥1, entonces a puede escribirse de la forma α = x α1 +yα2, con α1,a2∈A. Sea .Tenemos

por , con lo que. De la Proposición 20 se tiene que

Por otra parte, note que para todo a ∈ A, de donde se sigue que.

Sea [a b] ∈ ker(d^* ₂)> entonces ya - xa - xb= (yx - xy - x²)f para algún f∈A. Luego α = xf y b = yf, por lo cual [a b] = [xf yf] ∈ Im(d ^* ₁ ). Así, Im(d ^* ₁ ) = ker(d ^* ₂ ) y además Ext ¹ _A (,A) = 0.

Finalmente, Ext ⁰ _A (,A) = Hom _A ( _A ,A) = Im(j*) = ker(d ^* ₁ ) = 0.

Para concluir que el plano de Jordan es un álgebra Artin-Schelter regular, hace falta ver que tiene dimensión Gelfand-Kirillov finita. Considérese a R = ־ [x] ≅ 〈x,y〉 / (y), por la Proposición 15 se tiene que la sucesión de [x]-módulos proyectivos,

es exacta. Además, como R es un dominio se tiene una resolución proyectiva de longitud 2. Por tanto la dimensión proyectiva de como R-mó-dulo es menor o igual a 2. Por la Proposición 22, se tiene que [x] tiene dimensión global finita. Dado que A = 〈x,y〉/(yx - xy - x ²) es una extensión PBW torcida graduada de [x] donde [x] tiene dimensión global finita, se sigue de la Proposición 23 que GKdim(A) < ∞. Por tanto el plano de Jordan es un álgebra Artin-Schelter regular de dimensión global 2.

Notemos que el plano de Jordan tiene la misma serie de Hilbert que el anillo de en polinomios en dos variables, lo cual implica, en particular, que GKdim(A) = 2 (véase ^[15]).

4.3 Álgebras Calabi-Yau torcidas

Si A es un álgebra, el álgebra opuesta A° es el álgebra tal que A° = A como -módulo con producto a * b := ba.

Un A-B-bimódulo M puede ser identificado como un A⊗ B° -módulo izquierdo, definiendo

El álgebra envolvente de A es Ae := A ⊗A°. Como A es naturalmente un A-bimódulo, entonces A es un Ae-módulo.

Sea M un A-bimódulo, ν,μ :A →A dos au-tomorfismos, el A-módulo torcido νΜμ es igual a M como un -espacio vectorial con a-m-b:= ν(α)mμ(b). Así, M es un Ae - módulo con el producto dado por

.

Definición 25. Una -álgebra A es llamada ν-Calabi-Yau torcida de dimensión d, para algún automorfismo ν de A y para algún entero d ≥ 0, si se cumplen las siguientes dos condiciones:

(i) A es homológicamente suave; es decir, A tiene una resolución finita de A-bimódulos pro-yectivos finitamente generados;

(ii) (isomorfismo de Ae - módulos).

La condición (ii) es llamada la condición Calabi-Yau torcida. En este caso ν es llamado el automorfismo de Nakayama de A. Si el automorfismo ν es interno, es decir, v(x) = α-1χα, para algún elemento invertible a ∈ A, se dice que A es Calabi-Yau.

Ejemplo 26. A = [x] es un álgebra Calabi-Yau. En efecto: una base como espacio vectorial de A ^e = A⊗A° =A⊗A es el conjunto {x ⁱ ⊗>x ^j | i,j ≥ 0}· Consideremos la siguiente sucesión

donde μ denota la multiplicación en el álgebra A. Note que esta resulta ser exacta dado que μ es un homomorfismo sobreyectivo.

Sea entonces Como (1 ⊗x) ^J = 1 ⊗x^j,

donde r =

Por lo tanto, ker (μ) = (1 ⊗x-x⊗ 1) = (x⊗1-1⊗ x).

Sean y considere el siguiente homomorfismo

Se tiene entonces la sucesión exacta corta

Aplicando el funtor Hom_A־(-,A^e), se obtiene el complejo

Sea h ∈ ker(d*), es decir hod = 0, donde

Así, 0 = d*(h)(1⊗1)=h(d/(1⊗1)) = h(χ⊗1 - 1⊗x), luego h(x⊗ 1) = h(í ⊗ x) por tanto h = 0.

Entonces ker(d*) = {0}.

Ahora,

Por lo tanto,

es un isomorfismo de módulos y se sigue que

Para i≥2 se tiene que

En consecuencia, el anillo de polinomios [x] es un álgebra Calabi-Yau torcida de dimensión 1, con automorfismo de Nakayama ν = id, y como este automorfismo es trivialmente un automorfismo interno, se sigue que [x] es Calabi-Yau.

4.4 El automorfismo de Nakayama del plano de Jordan

Como el plano de Jordan es una álgebra finitamente graduada (Proposición 2) y Artin-Shelter regular (Proposición 24), es inmediato que esta resulta ser también Calabi-Yau torcida ([20, Lema 1.2]). El objetivo de esta última subsección es usar lo hecho atrás para mostrar que, en efecto, el plano de Jordan es Calabi-Yau torcida de dimensión 2, y calcular efectivamente su automorfismo de Nakayama.

Teorema 27 ^([17], Teorema 3.3). Sea R un álgebra y A = R[x;σ, δ] una extensión de Ore. Suponga que R es ν-Calabi-Yau torcida de dimensión d. Entonces A es Calabi-Yau torcida de dimensión d + 1 y el automorfismo de Nakayama V׳ de A satisface que V'| _R = σ^_1ν y ν׳(x) = ux+b con u,b ∈ R y u invertible.

Observación 28 (^[17], Observación 3.4). Si en el Teorema 27 tomamos σ = id se sigue que v'(x) = x+b. Por otra parte, si δ = 0 entonces v'(x) = ux.

Observación 29 (^[11], Página 338). Sea A un álgebra ℕ -graduada, generada en grado uno. Si A es Artin-Schelter regular de dimensión global 2, entonces A ≅ 〈x1 ,...,x _n 〉/(f), donde (f) es el ideal bilátero generado por el elemento f, con f de la forma f =[x₁,...,x_n]M[x,…,x_n] ^t M es una matriz invertible con entradas en .

Aunque en [¹⁷] se presenta el automorfismo de Nakayama de una extensión de Ore de un álgebra Calabi-Yau torcida, en su demostración no es posible obtener una forma para calcularlo, por esta razón el Teorema 30 nos ayuda a calcular este automorfismo en el caso específico en que el álgebra sea el cociente entre un álgebra libre y el ideal bilátero generado por un polinomio.

Teorema 30 ([¹¹], Proposición 3). Sean A = 〈x1,...,x _n 〉/(f) y M como en la Observación 29. Entonces Ext _A ⁱ _e (A,A ^e ) = 0 para i≠2, y

donde ν es un automorfismo definido por v(g) =para g = α ₁ x ₁ +…+ a _n x _n .

Nótese que si en el teorema anterior A es Ca-labi-Yau torcida de dimensión 2, entonces el automorfismo ν es el automorfismo de Nakayama de A.

Proposición 31. El plano de Jordan es un álgebra Calabi-Yau torcida, con automorfismo de Nakayama ν dado por ν(x) = x y ν(y) = 2x + y.

Demostración. Sea A =〈x,y〉/(yx - xy - x2) el plano de Jordan. Por la Proposición 6 el plano de Jordan es una extensión de Ore de [x], con σ(x) = χ y δ(χ) = χ ² . Como [x] es Calabi-Yau (en particular es Calabi-Yau torcida), entonces del Teorema 27 se tiene que el plano de Jordan es un álgebra Calabi-Yau torcida. Como σ = entonces por la Observación 28 se tiene que el automorfismo de Nakayama de A es de la forma v(x) =xy v(x) =x y v(y)+ p con ρ Ε [x].

Sea f = yx - xy -x ² , entonces f puede ser

reescrito de la forma Por el Teorema 30, dado p(x,y) = ax+by∈A, se tiene que

Como v es un automorfismo de A, necesariamente ν (k) - k, para todo k∈־. Pero x - 1x+0y, entonces v(x) -x+(2x + y)0 = x, y al ser y = 0x+ 1y, se sigue que v(y) -x0 + (2x+y)1=2x+y.

Notemos que el plano de Jordan no es Cala-bi-Yau, pues ν no es un automorfismo interno.

Observación 32. Si A es un álgebra Cala-bi-Yau torcida, entonces A puede ser extendida a un álgebra Calabi-Yau, es decir, si A es Cala-bi-Yau torcida con automorfismo de Nakayama σ, entonces Α[ζ;σ] es Calabi-Yau (véase [9, Teorema 1.1 y Observación 5.1]).

Ejemplo 33. Sea A el plano de Jordan con automorfismo de Nakayama ν como en la Proposición 31, entonces

es una extensión de Ore de A. Por Teorema 27, B es Calabi-Yau torcida con automorfismo de Nakayama v׳ tal que v׳(x) =xy v׳(y) =y y podemos escribir el álgebra B como Β =|x,z| [y; δ] donde δ(x) = x ² . Por otro lado, en Β =A[z;v] tenemos que zy= v(y)z= (y + 2x)z=yz + 2xz, mientras que en B = [x,z] [y;δ] vale yz = zy + δ(ζ). Así, yz -δ(ζ) = 2xz+yz y por lo tanto, δ(ζ) = -2xz. Entonces, yz = zy-2xz = v׳(z)y + δ(ζ), es decir, v'(z) = z. Por lo tanto v׳ = i _B es un automorfismo interno y B resulta ser Calabi-Yau.