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1 Introducción
Con el rápido desarrollo de la nanoelectrónica, en las últimas décadas diversos investigadores han realizado estudios realcionados con puntos cuánticos (QD's), los cuales son estructuras semiconductoras con aplicaciones en la industria y la nanotecnología contemporánea. Esto ha motivado el crecimiento de QD's con diferentes formas [1]. Los QD's poseen la característica de tener grandes elementos de matriz de transición entre diferentes niveles cuánticos y un espectro de energía, similar a los sistemas atómicos o moleculares. Por lo tanto, manipular estos sistemas con pequeñas perturbaciones es la clave de muchas aplicaciones, como transistores de células solares, LED, imágenes médicas y computación cuántica [2]. Las propiedades ópticas de los puntos cuánticos en especial la rectificación óptica (OR), la generación del segundo armónico (SHG) y la generación tercer armónico (THG) han sido ampliamente investigadas. El estudio de estas propiedades ópticas es de importancia porque la susceptibilidad óptica de estas nanoestructuras se puede ajustar cambiando su tamaño, su forma o el entorno circundante [3]. Sin embargo, en los QD's, los efectos cuánticos inducidos por el tamaño y la forma alteran los espectros de energía de los portadores de carga y controlan sus propiedades ópticas y electrónicas, así la elección del confinamiento y los factores geométricos son aspectos cruciales para diseñar los dispositivos optoelectrónicos más efectivos [4]. Dentro las propiedades ópticas no lineales de segundo orden, la SHG se considera una de las más importantes y la más estudiada en la actualidad, porque solo se manifiesta en sistemas cuánticos asimétricos, además la generación de segundo armónico es una propiedad óptica no lineal utilizada para generar radiaciones con longitudes de ondas diferentes, en aquellos sistemas en los cuales no se cuentan con una fuente se excitación externa como lo son los láseres [5].
El propósito de este trabajo es estudiar el efecto de la concentración de aluminio sobre la SHG en un punto cuántico cilíndrico de AsGa/AsGa 1-x Al x con potencial de confinamiento asimétrico. El artículo está organizado de la siguiente manera. En la Sección 2 se presenta el modelo matemático que permite obtener las energías y funciones propias del sistema cuántico usando la aproximación masa efectiva. En la Sección 3 se presenta la interpretación de los resultados del modelo teórico en estudio y por último en la sección 4 se presentan las conclusiones de esta investgación.
2 Teoría
2.1 Valores propios de energía y las funciones propias del sistema
El sistema cuántico en estudio consiste de un electrón confinado en un punto cuántico con geometría cilíndrica (ver figura 1). En el marco de la aproximación de masa efectiva el Hamiltoniano del sistema está dado por [6, 7]
Donde m* es la masa efectiva,
En la figura 1, se observa un esquema geométrico del CQD constituido por tres regiones, la región III es la región donde se presenta la variación de la concentración de aluminio, la región II solo está constituida por AsGa y la región I está constituida por AsGa0.1Al0.9. Además R es el radio del CQD con un valor de 5 nm y L es la longitud del cilindro con valor de 20 nm. Éstos valores son arbitrarios. El CQD estudiado está constituido por dos perfiles de potencial confinamiento, uno en el eje ρ y otro en el eje Z, donde el perfil de potencial en ρ se encuentra definido como se muestra en la figura 2.
De la figura 2 se observa que, para la dirección ρ el valor de la energía potencial en la región II es cero y en la región I, la energía de potencial es V0 , por lo cual se presenta el siguiente comportamiento;
Donde V0 se encuentra determinada por V0 =
De la figura 3 se observa que la energía potencial dentro del CQD o en la región II es cero, la energía potencial fuera del CQD (región I) toma el valor V0 y para la región III la energía potencial, debido a la variación la concentración de aluminio, tomando el valor de V1, presentándose la siguiente condición matemática;
Donde V1 =
Las funciones de onda y las energías propias del Hamiltoniano se obtienen resolviendo la ecuación de Schrödinger:
la ecuación (5) se puede reescribir, usando coordenadas cilíndricas, como
Para resolver Ec. (6) se usa el método de separación de variables, considerando la siguiente función:
al remplazar (7) en (6) y al dividir el resultado por ψ(ρ, φ, Z) se obtiene
donde se tiene que una parte de la ecuación depende sólo de ρ y otra parte depende solo de Z. Ahora se plantea que E = E ρ EZ tal que:
Al resolver la Ec. (9) cuando ρ < R, donde V ρ (ρ) = 0, se obtiene
con la sustitución
La solución, físicamente aceptable de la Ec. (12), está dada por:
siendo Jm(K1ρ ) la función de Bessel de primera clase.
Al resolver la Ec. (9) cuando ρ > R, donde V ρ (ρ) = V0, entonces queda que:
Al aplicar condiciones de frontera a las ecuaciones (13) y (15) se obtiene la siguiente solución que permite obtener la ecuación trasendental para calcular E ρ :
Para m = 0 la ecuación (19) se reescribe como:
A continuación, se presenta la solución de la Ec. (10), cabe aclarar que para el eje Z existen tres regiones según el modelo planetado.
Las regiones I y III del CQD se encuentran determinadas por las siguientes soluciones matemáticas:
Para la Región I
en el intervalo - ∞ < Z < 0, la solución físicamenete aceptable para la Ec. (21) es
Donde
Para la Región III:
en el intervalo L < Z ∞
con
Para la región II se tiene que:
Donde
La solución de la Ec. (7) está dada por:
Se debe exigir continuidad para la función y su primera derivada en los puntos de frontera, esto es, en los puntos Z = 0 y Z = L, haciendo esto quedan las siguientes ecuaciones:
Al reescribir las ecuaciones (33) y (37) queda:
Dividiendo (39) por k 2 , se obtiene,
Combinandola Ec. (38) y la ec. (41) seobtiene la ecuación trascendental que permite encontrar los valores de energía en el eje Z, esto es:
2.2 Generación de segundo armónico
En este apartado se realizará una derivación para la susceptibilidad de SHG, usando el formalismo de la matriz densidad y un procedimiento perturbativo. El sistema cuántico es excitado por un campo electromagnético que en la aproximación de onda larga [10] se escribe por la siguiente ecuación:
donde ω es la frecuencia de campo externo incidente. Entonces la evolución del operador densidad
donde,
Con la expansión del operador densidad
donde, V es el volumen del punto cuántico, Tr es la traza media o la suma sobre los elementos diagonales de matriz,
Al utilizar el formalismo de la matriz densidad y su procedimiento perturbativo descrito por las Ecs. (45)-(47), la expresión analítica de la susceptibilidad de SHG está dada por [10, 13]:
donde σ
v
es la densidad de electrones en el CQD, E
ij
= E
j
- E
i
es la energía de transición del estado ψi al estado ψj, μi j = | ⟨ψj|eZ|ψi⟩ |es el elemento de matriz del momento dipolar eléctrico de transición ,
3 Resultados y discusiones
En esta sección, se discute cual es el efecto de la concentración de Aluminio sobre la SHG en un punto cuántico de AsGa/AsGa 1-x Al x con geometría cilíndrica. Para la realización de estos cálculos se usaron los siguientes parámetros [8, 13, 14]: QC = 0.7, Eg es la energía de banda del CQD la cual se encuentra determinado por la expresión, E AsGa1-xAlx = 1.424 + 1.519x + x(1 - x)(0.127 - 1.310x), T1 = 0.2 ps, Ov = 5 x 1024 m-3, y m0 es la masa efectiva del punto cuántico estudiado y se encuentra determinada por la expresión m AsGa1-xAlx = m (0,0632 + 0.0856x + 0.0231x2).
A partir de la Ec. (20) se determinó que la energía en el eje ρ es Eρ = 62.6103 meV correspondiente a la región I del punto cuántico.
Como la asimetría se presenta en el eje Z, la energía en esta dirección depende de la concentración de aluminio. En la Tabla 1 se presentan los resultados para las tres energías mas bajas.
Tabla 1 Variación de la Energía en función de la concentración de Al en el eje Z.
| Concentración de Al en fracción molar | Barrera de potencial | Niveles Energías en Z | ||
|---|---|---|---|---|
| V1 [meV] | EZ1 [meV] | EZ2 [meV] | EZ3 [meV] | |
| 0.10 | 106 | 11.4691 | 45.0743 | 96.0103 |
| 0.30 | 280 | 13.4922 | 50.1389 | 111.651 |
| 0.50 | 439 | 14.9309 | 51.8929 | 129.626 |
| 0.70 | 628 | 16.2925 | 54.7335 | 140.761 |
| 0.90 | 891 | 17.6981 | 57.4152 | 152.294 |
Se observa que a medida que aumenta la concentración de Al en el CQD aumenta la energía en la dirección Z, cumpliéndose la ley Beer-Lambert, la cual establece que la concentración de cualquier sustancia es directamente proporcional a la señal expresada, en este caso en energía en la dirección Z [15].
Para el cálculo de la generación del segundo armónico se determinaron tres niveles de energías correspondiente a un electrón confinado en el CQD, para ello se usó la condición E = E ρ + E Z y los resultados presentados anterionemte.
La Figura 4, muestra la SHG
4 Conclusiones
En este trabajo, se calcularon las energías y las correspondientes funciones de onda para los estados cuánticos de un electrón confinado en un CQD de AsGa/AsG a1-x Al x para cinco valores diferentes de concentración de alumnio. También se presenta un estudio completo sobre el efecto de la concentración de aluminio sobre la generación del segundo armónico en este punto cuántico. Se encontró que el aumento de la concetración de alumnio produce una disminución de la intensidad de la SHG y un corrimiento al azul en los picos resonantes de la respuesta óptica objeto de estudio.
De esta manera, se espera que los resultados obtenidos en este trabajo puedan contribuir a la interpretación de los estudios experimentales y proporcionar un nuevo modelo para la aplicación práctica en el campo de la tecnología o las ciencias naturales.
