2.1. Anillos totales de fracciones

Definición 2.1 Un anillo R es un anillo total de fracciones si sus elementos son invertibles o divisores de cero.

Ejemplo 2.2 Un cuerpo es un anillo total de fracciones y un dominio entero que no es un cuerpo no es anillo fofa/ de fracciones.

Ejemplo 2.3 ℤ_n[x]/⟨x²⟩ con n ≠ 0, es un anillo total de fracciones. En efecto, considere R = ℤ_n[x]/ ⟨x²⟩ = ℤ_n [ε], donde ε² = 0, con las operaciones suma y producto definidas por

para a + bε, c + dε Є R. Como ℤ_n es un anillo total de fracciones, tenemos dos afirmaciones:

1. (a + bε ) es divisor de cero si y so/o si a Є ℤ_n es divisor de cero. En efecto, para todo a + bε Є R divisor de cero, existe a'ε Є R tal que

(a + bε )(a'ε ) = 0

si y solo si para todo a Є ℤ_n, existe a' Є ℤ_n tal que aa^' = 0.

2. (a + bε) es invertible si y so/o si a Єℤ_n es invertible. En efecto, para todo a + bε G R invertible, existe a^-1 - ba^-2ε Є R tal que

si y solo si para todo a Єℤ_n, existe a ¹ Єℤ_n tal que aa-¹ = 1 .

2.2. Producto directo de cuerpos

Sean I un conjunto arbitrario y {R_i} _iЄ I una familia de cuerpos. Se llama R = al anillo producto con las operaciones suma y producto componente a componente. Sea П _iЄI : R→R _i la proyección i-ésima, es decir para f = (f (i))_iЄI Є R, ϖ _i(f)= f (i).

La siguiente proposition caracteriza los elementos de un producto de cuerpos.

Proposición 2.4 Sean R = П _iЄI R_i y f= (f (i)) _iЄI Є R. Entonces

1. f es invertible si y so/o si, para todo i Є I, П_i (f) = f (i) ≠ 0.

2. f es un divisor de cero si y so/o si existe i G1 tal que ϖ _i (f ) = 0.

Demostración 1. Si para todo i Є I, f (i) ≠ 0, entonces para cada i Є I, tenemos que ≠ 0. De esta forma, definimos el inverso de f como f ^-1 = ( ) _iЄI Є R. El recíproco es inmediato.

2. Si existe i Є I tal que f (i) = 0 entonces definimos g = (g(i)) _iЄI Є R como g(i) = 1 y g(j) = 0 para todo j ≠ i. Luego, g ≠ 0 y f∙g = 0. El recíproco es inmediato.

2.3. K-álgebras finitas

Se dice que R es un K-álgebra finita si R es un algebra conmutativa con unidad y de dimension finita como K-espacio vectorial. Existen, salvo isomorfismos, tres algebras de dimensión 2 sobre ℝ, ℂ=

Esto es debido a que en una extensión de grado 2 de ℝ,

se pueden dar tres casos según x² + bx + c tenga dos raíces imaginarias, dos raíces reales distintas o una raíz doble. Los conjuntos ℂ, ℙ, 𝔻 son, respectivamente, los números complejos, los números para complejos y los números duales. Observe que ℂ es un cuerpo, mientras que ℙ y 𝔻 no lo son pues ℙ tiene divisores de cero y 𝔻 tiene además elementos nilpotentes.

Por (Proposición 2.2, [⁵]), tenemos que un K-algebra finita se descompone en una suma directa de K-algebras finitas locales. Además, por (Proposición 4.2, [⁶]), un K-algebra finita es un anillo total de fracciones.

Lema 2.8 (Lema 2.3, [⁵]) Sea R = ⊕^r _i=₁ R _i un K-álgebra finita donde cada R _i es un K-algebra finita local. Para i = 1,..., r sean m_¡ el ideal maximal de R _i. Entonces:

1. Max(R) = {M ₁,...,M _r} donde M _i = П^r _j =1m _j con m _j = R _j, para todo j ≠ i y m _i; = m _i.

2. Para todo i = 1,..., r se tiene que R _Mi ≃ R _i.

Ejemplo 2.9 Considere el ℤ₂ -álgebra

R tiene un único ideal maximal m = ⟨x, y⟩ con orden de m igual a 2.

Ejemplo 2.10 Considere el ℤ₂-álgebra A = ℤ₂[x]/⟨x²⟩ y el producto

Los ideales maximales de R son

Puesto que M₁ y M₂ también son ideales primos de R, S₁ = R \ M₁ y S₂ = R \ M₂ son conjuntos multiplcativos de R. El anillo de fracciones de R por S₁ está dado por

Definimos φ₁: R_{S1 →} A, donde φ₁

Analogamente, el anillo de fracciones de R por S₂ esta dado por

De igual forma se define φ₂: R _S2 → A, donde φ₂

Por lo anterior R_M1 ≃ R_M2 ≃ ℤ₂ [x]/ ⟨x²⟩, como se menciona en el Lema 2.8.

3. Inmersión de un anillo no local en un producto de cuerpos

Sea R un anillo y consideremos el producto de cuerpos

Por la propiedad universal del producto existe un homomorfismo de anillos

En general φ es no inyectiva pues Ker(p ) = (R), donde (R) es el radical de Jacobson de R. En efecto,

Así, si (R) = 0 entonces φ es un homomorfismo inyectivo.

Proposición 3.1 Considere

Entonces,

1. φ (/(R)) = I(П_mЄMax(R) R/m) ∩ φ (R).

2. φ (a) Є O(П_mЄMax(R) R/m) ∩ φ (R), para todo a Є R, si y solo si existe m Є Max(R) tal que a Є m.

3. φ (O(R)) ⊂ (П_mЄMax(R) R/m) ∩ φ (R).

4. Si R es anillo total de facciones entonces φ (O(R)) = O (П_mЄMax(R) R/m) ∩ φ (R) Ademas, el recíproco se verifica si (R) = {0}.

Demostracioón 1. Si a Є R es invertible entonces a ∉ m para todo m Є Max(R), luego a + m ≠ 0 en R/m para todo m, por tanto p (a) es invertible en П_mЄMax(R) R/m. Recíprocamente, sea b G /( П_mЄMax(R) R/m) H p (R), existe a G R tal que b = φ (a) y φ (a) es invertible en П_mЄMax(R) R/m entonces a + m ≠ 0 en R/m para todo m Є Max(R), por tanto a ∉ m para todo m, luego a es invertible y b Є φ (/(R)).

2. Inmediato porque un elemento de un producto de cuerpos es cero o divisor de cero si y solo si tiene una componente nula.

3. Un elemento que es cero o divisor de cero está contenido en algún maximal y por tanto aplicamos el ítem (2).

4. Sea П_m R/m =П_mЄMax(R) R/m, por la Proposición 2.4, П_m R/m es un anillo total de fracciones, entonces:

y

Además, por el ítem (1), φ (I(R)) = I (П_m R/m)∩ φ (R) y por el ítem (3), φ(O(R)) ⊂ 0(П_mR/m)∩ φ(R). ⇒: Por hipótesis, R es un anillo total de fracciones, entonces R = O(R) U /(R) y O(R) ∩I(R) = 0. En consecuencia,

⇐: Sea a Є R. Vamos a ver que R es anillo total de fracciones, para esto ve_Uamos primero que si a ∉ /(R) entonces p(a) ∉ /(П_m R/m)∩ φ (R).

En efecto, si φ (a) Є I(П_m R/m)∩ φ (R) entonces, por el ítem (I), existe b Є R tal que φ (b) = φ (a) y b Є I(R), por tanto φ(b - a) = 0. Como φ es inyectiva ya que (R) = {0} entonces b = a y a Є I(R).

Ahora, si a ∉ I (R), entonces φ(a) ∉ I (П_mR/m) ∩ φ(R) pero φ (a) Є φ (R) luego, φ (a) ∉ I(П_m R/m). En consecuencia, φ (a) Є 0(П_m R/m) ∩ φ (R) = φ (0(R)). Luego, existe b Є O(R) tal que φ (a) = φ (b), esto es, φ (a - b) = 0. y como φ es inyectiva, a = b y a Є O(R). Así, R es un anillo total de fracciones.

Observación 3.2 El anillo de los enteros ℤ cumple que O(ℤ) = ∅ pues ℤ no tiene divisores de cero, además el conjunto O(П_mЄMax(R) R/m) ℤ/m) ∩ φ(ℤ) es infinito ya que los idea/es maximales de ℤ son de la forma m = ⟨ p⟩ con p numero primo.

Proposición 3.3 Sea R un anillo. Entonces, Max(R) = {m₁,..., m_r} y (R) = {0} si y solo si R = K₁ x ∙ x K_r, donde K_i es un cuerpo para todo i = 1, ...∙r.

Demostración. Sea

Como (R) = {0}, φ es inyectiva. Vamos a ver que φ es sobreyectiva para ello se debe probar que para todo (a₁,∙ ∙a_r) Є R ^r existe a Є R con a_i + m _i = a + m _i para todo i. En efecto, para todo i ≠ j, m _i + m _j = R, luego existe un residuo común, es decir, exite a Є R tal que a+ m _i = a_i + m _i, para todo i.

En consecuencia, φ es sobreyectiva y R es un producto de cuerpos.

Por otra parte, si R = K ₁ x ∙ ∙ x K _r entonces, por (Proposición 2.5, [⁷]), Max(R) = {m₁,..., m_r} con m _i = {a Є R : a(i)= 0}. Luego, (R) = {0}.

Ejemplo 3.4 Considere el anillo de las funciones continuas R = ([0,1],ℝ) y sea x Є [0,1]. En consecuencia, m_x = {f Є R : f (x) = 0} es un ideal maximal, ∩_xЄ[0,1] m_x = {0} y como (R) ⊆ ∩_xЄ[0,1]m_x, entonces (R) = {0}. Pero R no es producto de cuerpos pues su espectro maximal tiene cardinalidad no finita.

Ejemplo 3.5 Considere el ℝ-álgebra

Los ideales maximales de R son M ₁ =⟨x² + 1⟩ y M ₂ =⟨x² + 2⟩ Note que son cuerpos. Además, Tenemos un ejemplo de la Proposición 3.3, si se define el isomorfismo

4. Inmersión de un anillo en su producto de localizados

En esta sección se demuestra que dado R un anillo total de fracciones con un número finito de ideales maximales, existe una inmersión de este en su producto de localizados. Para esto inicialmente probamos el Lema 4.1.

Consideremos el anillo ℤ_n de los residuos módulo n donde n = p^r1 ₁...p_n ^rn. Los ideales maximales en Z corresponden a los ideales maximales en ℤ que contienen al ideal generado por n, ⟨n⟩. Esto es, ⟨n⟩ с ⟨p⟩ ⊂ ℤ. Esto significa que p|n, así que los ideales maximales en ℤ_n son precisamente m_i: = p_iℤ_n, donde i = 1,n. Ahora podemos enunciar el lema que nos lleva al objetivo de esta sección.

Lema 4.1 ([⁴], pag. 3) (ℤ_n)_pi ≃ ℤ_pi ^ri, con n ≠ 0 y p^ri _i |n, es decir, n = p^ri _i b, para algún entero b.

Demostracion. Considere el homormorfismo canónico

Queremos probar que (ℤ_n) _pi ≃ ℤ_pi ^ri, para esto, veamos que ψ satisface la propiedad universal de la localization. Es importante aclarar que estamos localizando respecto a S = ℤ_n/p _i que consiste de todos lo elementos x̅_n tales que pi no divide a x.

Si pi no divide a x, entonces x es invertible módulo p_i ^ri, y de esto se concluye que ψ(x̅ _n ) Є (ℤ p_i ^ri )* para todo x̅ _n G S.

Ahora supongamos que f : ℤ_n → T es un homorfismo de anillos tal que f (x̅ _n) es invertible en T para todo x̅ _n Є S. Por hipótesis, podemos considerar la identidad,

Aplicando f, se obtiene

Es decir, Є S para todo i ≠ j, así f ( ) son invertibles en T y al multiplicar la última identidad por los inversos, obtenemos

y por lo tanto,

Esto implica que f se factoriza de modo único porel cociente de ℤ_n por (ℤ _pi ^ri )/ℤ_n.

Por el Tercer teorema de isomorfismo, sabemos que

y se concluye que ψ satisface la propiedad universal de la localización (ℤ_n)_pi .

Proposicion 4.2 Sean R un anillo total de fracciones y m₁ , . . . , m_r sus ideal es maximales, entonces

es un homorfismo inyectivo.

Demostracion. Si Ф(a) =( ) = (0,...,0) entonces = 0 en cada R_mi. Luego existe b ∉ m _i para todo i = 1,..., r tal que ab = 0. Como R es un anillo total de fracciones, b no es divisor de cero. Luego a = 0, para todo i = 1, ,r.

Proposición 4.3 Sean R = ℤ_n con n ≠ 0 y Max(R) = {m₁,..., m_r}.

Entonces,

es un isomorfismo.

Demostración. Puesto que n = p₁ ^k1 p_r ^kr entonces por el Teorema chino del resto,

Además, por el Lema 4.1, sabemos que (ℤ_n) _pi ≃ ℤp_i ^k1 para i = 1, ,r. Así,

donde Max(R) = {m₁ = ⟨p ₁⟩,..., m _r = ⟨ p _r ⟩}.

Proposicion 4.4 Sean R un K-algebra finita y Max(R) = {m₁,...,m_r}. Entonces,

es un isomorfismo.

Demostración. Como R es un K-álgebra finita, por (Proposición 2.2, [⁵]), R = ⊕^r _i=₁ R_i donde cada R_i es un K-álgebra finita local y puesto que Max(R) = {m₁,..., m_r}, por el Lema 2.8, R_mi ≃ R', para todo i = 1,..., r. Así, Ф : R → R_m1 x ... x R_mr es un isomorfismo.

Ejemplo 4.5 Considere el ℤ₂-álgebra

Los ideales maximales de A son m₁ = ⟨x - 1⟩ y m₂ = ⟨x +1⟩.

Entonces, A = Note que A_m1 ≃ y A_m2 ≃ Así, tenemos el isomorfismo de la Proposición 4.4.