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1. INTRODUCCIÓN
El problema de calcular la evolución en el tiempo del nivel de agua dentro de un contenedor es quizá uno de los problemas modelo más comunes de aplicación que se presentan a los estudiantes de diversas ramas de ingenie ría. El problema es frecuentemente abordado durante los cursos de física universitaria, donde el enfoque se centra en obtener la ley de Torricelli a partir de la ecuación de Bernoullie [1]. Para la asignatura de ecuaciones diferenciales, el caso de estudio se aborda en la introducción al tema [2] y para el caso de los métodos numéricos en el tema de ecuaciones di ferenciales ordinarias [3]. Generalmente, durante la asignatura de métodos numéricos, el estudio de casos de aplicación se desarrolla de manera teórica, sin la posibilidad de contrastar resultados obtenidos numéricamente con resultados experi mentales. Esta situación se acentúa por la dificultad para re producir físicamente casos prácticos que en su mayoría impli can el uso de máquinas o instalaciones complejas, ya sea por sus dimensiones o por la necesidad de contar con sistemas de medición y adquisición de datos avanzados que son difíciles de adquirir y resultan costosos [4]. Para contrarrestar esta si tuación y abordar el tema introductorio de métodos numéri cos utilizados para aproximar ecuaciones diferenciales, la ley de Torricelli presenta distintas ventajas desde una perspectiva tecnológica. El experimento puede ser reproducido y monitoreado únicamente a través del monitoreo de la variable de nivel y su evolución en el tiempo. Además, en su estructura no implica el uso de elementos móviles o compuestos y reaccio nes químicas que añadan complejidad o peligrosidad al expe rimento. Además, al introducir el caso de estudio, este puede ser presentado como una analogía para distintos eventos y cir cunstancias que suceden en la vida cotidiana, por ejemplo, al llenar una cubeta a través de una válvula ubicada en el fondo de un tanque de almacenamiento.
Se han reportado referentes al estudio de este clásico problema con la finalidad de promover el uso de diversos ele mentos físicos accesibles para los estudiantes en sesiones de laboratorio, por ejemplo, utilizando contenedores plásticos [4], [6], [7]. En favor de automatizar los procesos de adquisición de datos, es decir, la medición del nivel del líquido durante el proceso de vaciado de un tanque a través de un orificio, se desarrolló un sensor de nivel con componentes electrónicos [8]. Recientemente se utilizó un sensor de presión diferencial [9], mostrando las bondades de digitalizar el experimento al utilizar dispositivos electrónicos. Con el crecimiento y expan sión de las tarjetas con microcontrolador y el software libre pueden adaptarse distintos sensores, dispositivos electrónicos y actuadores de bajo costo en distintas aplicaciones en inge niería [10], [11], [12], incluso en contextos educativos [13]. Esto brinda la oportunidad de utilizar hardware y software libre en la instrumentación y recreación de fenómenos físicos a fin de observar y estudiar su comportamiento en el tiempo, dotando así a los estudiantes de herramientas tecnológicas a su alcan ce que les permitan generar una discusión sobre los distintos resultados obtenidos. El curso de métodos numéricos forma parte de las asignaturas iniciales de las distintas carreras de ingeniería, es común que algunos alumnos no cuenten con experiencia previa en el armado de circuitos electrónicos, si tuación que podría distraer el enfoque de su atención hacia el método numérico. El uso de un sensor ultrasónico como elemento de medición de nivel, ha mostrado ser una alter nativa eficaz frente a otro tipo de tecnologías. Por ejemplo, es posible la obtención de mediciones precisas en un rango de hasta 3 metros, sin que el sensor tenga contacto alguno con el líquido [14], [15], [16]. Además, para la conexión entre la tarjeta con microcontrolador y la tarjeta con sensor ultrasónico únicamente se requieren 4 cables conductores, sin tener que realizar ninguna conexión adicional, lo que permite contar rápidamente con un sistema compacto para desarrollar el ex perimento caracterizado por su simpleza de conexión, confia bilidad y un bajo costo.
En este trabajo se utilizó, como núcleo del sistema infor mático, una tarjeta con microcontrolador de diseño com pacto, fácil y económica adquisición, así como amigable en su manipulación y programación, características presentes en la tarjeta basada en Arduino Nano. Al comunicar el microcontrolador con una computadora personal, se creó un sistema de adquisición de datos flexible para monitorear la distancia entre el ultrasónico HC-SR04 y la superficie del agua. El monitor serial con el que cuenta el programa Arduino permitió tanto el despliegue de datos provenientes del sensor ultrasónico, como el despliegue del tiempo en el que se realiza cada una de las mediciones. Se obtuvo así la rela ción que existe entre cada fracción de tiempo y la medición de la altura para el contenedor, una vez que ha comenzado a drenarse el agua. La información apareció encapsulada en forma de columnas a través de la interfaz del monitor serial, permitiendo el traslado de los datos hacia una hoja de cál culo, donde se realizó una comparativa, entre los distintos resultados obtenidos. El procesamiento de los datos prove nientes del sistema informático creado a partir de la tarjeta con microcontrolador permitió verificar de manera gráfica y visual la continuidad y tendencia de los datos.
La ley de Torricelli permite el cálculo de la velocidad de un líquido que sale por el orificio de un tanque abierto, bajo la influencia de la gravedad, tal y como lo expresa la Ecuación (1).
Donde h(t) es la altura en el tiempo t y g es la constante de gravedad. Considerando el área del orificio de escape y el área del contenedor, es posible utilizar la Ecuación (2) para cal cular la altura del líquido en cualquier instante de tiempo [17].
Donde Ah representa el área de la perforación por don de escapa el agua del contenedor y Aw representa el área de la sección transversal de dicho contenedor. De la Ecuación 2 se puede observar la relación que existe entre el área de la sección transversal del contenedor y el área de la perfo ración. Se consideró un factor de contracción de 0.6 debido a que el área del orificio por donde escapa el líquido es mu cho menor que área del contenedor. En este trabajo se com plementó el estudio teórico con desarrollo experimental, in tegrando elementos de software y hardware de bajo costo.
2. METODOLOGÍA
Para el desarrollo de este trabajo se utilizó una geome tría cilíndrica, la cual se generó a través de un tubo de aluminio con una tapa de nylon a fin de crear un contenedor abierto. La tapa contó con una perforación roscada donde se aloja un tornillo de 0.76 centímetros de diámetro a ma nera de tapón removible. El contenedor de agua utilizado tiene un diámetro interno de 12.75 cm. La altura interna medida desde la superficie de la tapa de nylon con la perfo ración hasta el borde superior del cilindro de aluminio fue de 15.9 centímetros. El montaje físico del experimento con el sensor ultrasónico HC-SR04 y la conexión hacia la tarjeta basada en Arduino Nano se puede observar en la Fig. 1.
Fuente: Los autores.
Fig. 1 MONTAJE FÍSICO DEL CONTENEDOR DE AGUA INSTRUMENTADO CON UN SENSOR DE DISTANCIA ULTRASÓNICO
La conexión física entre los pines de la tarjeta con microcontrolador y el sensor ultrasónico de distancia se rea lizó de forma sencilla y solo requiere de 4 conductores de cobre para su implementación. Para el desarrollo de este sistema informático, se utilizó la fuente de alimentación de 5 volts propia de la tarjeta basada en Arduino Nano. A tra vés del pin 4 de la tarjeta con microcontrolador se conectó la terminal del envío de pulsos del sensor. Por su parte, el pin 3 de la tarjeta con microcontrolador se conecta al pin que recibe la señal de eco. De esta manera con un reducido conjunto de conexiones físicas, fue posible obtener un sis tema informático de medición de altura para el contenedor, tal y como se muestra en la Fig. 2.
Fuente: Los autores.
Fig. 2 DIAGRAMA DE CONEXIÓN FÍSICO ENTRE EL SENSOR ULTRASÓNICO Y LA TARJETA CON MICROCONTROLADOR
Una vez establecida la conexión física, fue necesario pro gramar el dispositivo, a fin de generar una rutina automati zada de adquisición de datos con el sistema informático pro puesto. Se utilizó el lenguaje Arduino propio de la tarjeta con microcontrolador. A través del código fuente del programa se definieron los pines físicos que fueron utilizados, tanto el pin de entrada, que recibió la señal de eco, como también el pin de salida que envió un pulso ultrasónico con una duración de 10 µs. Se habilitó la comunicación serial para permitir el des pliegue de información en la interfaz de comunicación del mismo programa, a través del monitor serial.
Resultó de gran utilidad la función del monitor serial para recuperar las mediciones de altura en cada instante de tiem po. El monitor serial cuenta con una casilla de habilitación para desplegar el tiempo en que ocurre cada uno de los eventos, con lo cual se puede recuperar la variable de tiempo para cada uno de los datos del sensor en forma tabulada. Para el cálculo de la altura se consideró que la velocidad del sonido es de 343 m/s, además que la duración del pulso se dividió entre dos, considerando el tiempo que tarda la señal en viajar y regresar al chocar con la superficie [18]. Cada una de las mediciones se realizó aproximadamente cada 0.1 segundo, tal y como se observa en el código fuente utilizado para la aplicación y que se muestra en la Fig. 3.
3. RESULTADOS
Al obtener los datos experimentales se alcanzaron los valores de tiempo y altura correspondientes a cada una de las mediciones que se realizaron durante el drenado de agua a través de la perforación con la que cuenta en el fon do del contenedor. La altura registrada entre la superficie de la tapa del contenedor vacío y el sensor ultrasónico fue de 16.19 centímetros, lo que implicó que el sensor se ubica ra a 0.29 centímetros por encima del límite del borde supe rior del contenedor. Dicha altura se tomó como referencia para conocer la evolución de la altura en el tiempo. Dado que el sensor ultrasónico hizo la medición entre el emisor de la onda ultrasónica y la superficie del agua, fue necesa rio restar la altura máxima del contenedor de la medición obtenida con el sensor. De esta manera fue posible obtener la altura del nivel del agua para cada instante de tiempo. El contenedor de aluminio fue llenado con agua hasta una al tura de 13 centímetros, momento en el cual, con el registro activo de los datos de la tarjeta basada en Arduino Nano, se procedió a remover el tapón de forma manual. La opera ción de remover el tapón inicialmente generó movimiento en el contenedor, lo cual produjo oscilaciones en la super ficie que se vieron reflejadas en las mediciones obtenidas con el sensor. El sistema se estabilizó a una altura registrada de 9.6 centímetros, punto que fue considerado como la al tura inicial del experimento. La obtención de datos experi mentales de altura durante el primer segundo de la prueba se puede observar en la Tabla I.
TABLA I RESULTADOS OBTENIDOS EN LA MEDICIÓN DE ALTURA DURANTE EL PRIMER SEGUNDO DE DESCARGA
Fuente: Los autores.
Una vez que el contenedor comenzó a vaciarse total mente, el goteo y la interrupción del flujo constante generó oscilaciones en la superficie, por lo cual se consideró que el final de las mediciones confiables se produjo a una altura registrada de 1.44 centímetros. El proceso de vaciado entre los límites definidos de 9.6 centímetros y 1.44 centímetros de altura se produjo experimentalmente a los 42.8 segundos.
Con los datos de tiempo obtenidos a partir de la adqui sición de datos con el sensor y la tarjeta basada en Arduino Nano, se procedió al cálculo mediante la solución analítica [17]. sustituyendo los datos físicos del experimento y la con dición inicial de 9.6 cm, con lo que se obtuvo la Ecuación (3):
El cálculo y tabulación, tanto de los datos experimen tales como de los obtenidos mediante la solución analíti ca del problema, se realizó utilizando la hoja de cálculo de OpenOffice Calc que se puede adquirir y utilizar de manera libre. Se manejaron los mismos datos de tiempo experi mental del sistema informático creado con la tarjeta basada en Arduino Nano, para calcular la altura en cada instante de tiempo utilizando la Ecuación (3); este proceso representó la solución analítica del problema. Para implementar el mé todo de Euler y obtener de manera aproximada la evolu ción de la altura respecto al tiempo, fue necesario sustituir los valores físicos del contenedor en la Ecuación (2), con lo que se obtuvo la Ecuación (4) de vaciado del contenedor:
El método de Euler es uno de los primeros métodos que se analizan en el contenido temático de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para la materia de métodos numé ricos. Se considera como un primer punto de partida hacia la obtención de soluciones más exactas a través del uso de los diferentes métodos de Runge-Kutta. De esta manera, se ha seleccionó el método de Euler como herramienta de cálculo aproximado para un primer acercamiento hacia la obtención de una solución aproximada de la Ley de Torrice lli. Al tratarse de un método simple, pero efectivo, pudo ser implementado con relativa facilidad en una hoja de cálculo, sin el uso de programas matemáticos adicionales.
La integración numérica de la Ecuación (4) se llevó a cabo desde el tiempo t=0 segundos hasta t=42 segundos, considerando un tamaño de paso h=3 para la implementación del método de Euler. El cálculo se puede refinar uti lizando un tamaño de paso menor, pero también implica incrementar el número de iteraciones que deben realizarse. En este caso, con solo 14 iteraciones fue posible alcanzar re sultados muy cercanos a los obtenidos experimentalmente y a los resultados de la solución analítica. Una mayor des cripción del algoritmo de implementación del método de Euler puede consultarse en literatura clásica [3]. Con los da tos experimentales, analíticos y numéricos se creó un gráfi co de datos que permite visualizar los resultados a manera de comparación, tal y como se muestra en la Fig. 4.
Puede observarse en la Fig. 4 que, tanto la solución ana lítica como la numérica se aproximan en gran medida a los datos que se obtuvieron de manera experimental, utilizan do un sensor ultrasónico de bajo costo.
4. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN
Las variaciones que se observan durante la obtención de datos experimentales en la Fig. 4, se debieron principalmente a disturbios en el entorno del contenedor. Ondas sonoras y vi braciones mecánicas se transmitieron hasta la superficie del agua, generando pequeñas oscilaciones durante la captura de datos. Se debe tener cuidado de asilar en la mayor medida posible el contenedor durante la prueba, a fin de evitar que los disturbios externos afecten la medición, utilizando el sistema informático presentado. De manera general, se observa que el sensor de bajo costo y la tarjeta con microcontrolador, logra ron capturar y registrar eficientemente el comportamiento de la altura en el tiempo. El reducido número de componentes electrónicos, así como la simpleza para conectarlos, permitió integrar en conjunto un sistema informático de bajo costo y de alta disponibilidad. El desarrollo electrónico educativo pre sentado permitió englobar comparativamente el uso del mé todo de Euler, para aproximar un experimento simple descrito a través de la ley de Torricelli y su solución analítica. Esta situa ción ha permitido ganar en entendimiento sobre el estudio de la dinámica de un sistema real, a través de modelos matemá ticos y sistemas físicos de captura de datos en el marco de una asignatura tan importante, como son los métodos numéricos.
