PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Dentro del contexto nacional los resultados que se han venido dando en el aprendizaje de las matemáticas no han sido lo suficientemente competitivos, inclusive los maestros observan frecuentemente la escasa de voluntad de los estudiantes para abordar los contenidos del área y apropiarse de los conocimientos inmersos en la disciplina (^{Jaramillo, 2014}).

Si bien es cierto que el problema de los bajos resultados en el área de matemáticas suele atribuirse a un problema de aprendizaje de los estudiantes, en realidad la situación remite a un problema de enseñanza que exige "una didáctica más centrada en el "enseñar a pensar" que en el repetir contenidos" (^{Jaramillo, 2014}, p. 78).

De acuerdo con Brihuega (2006), como se citó en Bonilla (2015), "lo importante en nuestras clases debe ser fomentar las estrategias del pensamiento abstracto (...)" (p. 2); sin embargo, para ^{Jaramillo (2014)} las clases de matemáticas continúan siendo magistrales, expositivas o tradicionales frente a lo cual a los estudiantes les resulta difícil comprender significados sin despejar previamente esa natural abstracción con que se les representa.

Para lograr una educación más orientada al desempeño que a los contenidos, el MEN (2006) definió hace poco más de diez años los Estándares básicos de competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas sentando las bases formativas en estas áreas a partir del enfoque pedagógico de la evaluación de competencias. Sin embargo, no se han observado mejoras en el rendimiento académico de los estudiantes respecto de su capacidad para comprender y aplicar el razonamiento matemático.

De hecho, ^{Jaramillo (2014)} insiste en que esto se debe a la tendencia a mantener formas de enseñanza basadas en la repetición, lo cual suprime la reflexión como oportunidad para el estudiante de comprender. De este modo, las propuestas de aula resultan ausentes frente a la necesidad de hacer más reflexivo y pertinente el razonamiento matemático.

Hace unos años el MEN (2016) presentó los Derechos básicos de aprendizaje (DBA), un conjunto de aprendizajes estructurantes para los niños y jóvenes en cada uno de los grados de los niveles de formación, que provocaron el análisis y reflexión por parte de la comunidad educativa en mesas de discusión en todo el país.

Consecuentemente, los DBA del área de matemáticas destacan que en el aspecto formativo de los estudiantes de noveno grado es fundamental el desarrollo del razonamiento espacial, lo que puede entenderse como "el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales las relaciones entre ellos y las transformaciones son construidos y manipulados" (Clements y Battista, 1992, como se citó en ^{Fernández, 2011}, pp. 12-13).

En este sentido, cuando los DBA del área de matemáticas de noveno grado hacen referencia al razonamiento espacial, están señalando que las propuestas de formación tienen como propósito conocer y ampliar la cognición geométrica y didáctica de los estudiantes desde la práctica.

Proponer la enseñanza del razonamiento espacial o geométrico, en tanto que es una forma de razonamiento matemático, significa desarrollar competencias para construir representaciones, propiedades y relaciones geométricas, así como la aplicación de teoremas para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes (MEN, 2016). Teniendo en cuenta lo anterior es necesario preguntarse:

¿En qué nivel de razonamiento matemático están en los estudiantes de noveno grado de la institución educativa AV-HSRL para el aprendizaje del teorema de Pitágoras?

¿Es viable una propuesta didáctica que permita el desarrollo de competencias de razonamiento matemático desde el aprendizaje del teorema de Pitágoras basada en el modelo de Van Hiele en los estudiantes de noveno grado de la institución educativa AV-HSRL?

¿Cómo desarrollar competencias de razonamiento matemático en estudiantes de noveno grado a través de una propuesta didáctica desde el aprendizaje del teorema de Pitágoras basada en el modelo de Van Hiele?

JUSTIFICACIÓN

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más usado en las matemáticas dada su aplicabilidad algebraica, el desarrollo conceptual de los números irracionales, el concepto de distancia entre dos puntos, las relaciones de los lados de un triángulo rectángulo, el cálculo de medidas indirectas y la definición de las razones trigonométricas.

Debido a su vinculación con el pensamiento geométrico, este teorema ocupa un lugar importante dentro de los grados de octavo y noveno grado según los estándares de competencias matemáticas establecidos por el MEN (2006), si se usa como fundamento para desarrollar aquellos temas correspondientes a las distancias entre dos puntos, cónicas y trigonometría; elementos teóricos con los que guarda estrecha relación.

Sin embargo, en primaria y secundaria usualmente los contenidos de geometría son presentados a los estudiantes como el producto acabado de la actividad matemática, es decir, la enseñanza tradicional de esta disciplina ha hecho hincapié en la memorización de fórmulas para calcular áreas, volúmenes, definiciones geométricas, teoremas y propiedades; mediante elaboraciones mecanicistas y descontextualizadas (^{Abrate, Delgado y Pochulu, 2006}).

Agregan los autores que algunos docentes priorizan la enseñanza de las matemáticas en otras áreas y van desplazando los contenidos de geometría hacia el final del curso, lo que les implica la exclusión de estos temas o su abordaje de forma superficial; por eso sus implicaciones resultan fundamentales en la instrucción de la geometría pitagórica de cara a organizar unidades de enseñanza y evaluar el progreso de los estudiantes (Clements y Battista, 1992, como se citó en ^{Fernández, 2011}).

Además, según Goncalves (2006) existen diversas investigaciones sobre la evolución del conocimiento y el aprendizaje en el área de geometría pero las diferentes situaciones que se presentan en las aulas evidencian la necesidad, por parte de docentes y estudiantes, de promover un aprendizaje más significativo sobre la base de un enfoque de competencias.

Por lo tanto, las transformaciones necesarias para alcanzar un mayor aprendizaje requieren una visión general del contexto de la enseñanza y aprendizaje de la geometría, lo cual permitirá tomar acciones tendientes a mejorar y corregir los posibles errores.

CONTEXTUALIZACIÓN DE LA INSTITUCIÓN

La institución educativa AV-HSRL es una institución de carácter oficial para la educación en los niveles de preescolar, básica primaria, secundaria y media técnica. Se halla localizada en un punto medio entre los municipios de Villa del Rosario y Los Patios, Norte de Santander, Colombia, zona fronteriza con la República de Venezuela y a su alrededor se encuentran asentamientos urbanos con estratos socioeconómicos bajos medios y bajos. La influencia de los migrantes venezolanos, producto de la crisis económica que azota al vecino país, y de aquellas personas desplazadas por la violencia en el territorio colombiano, ha contribuido enormemente a la pérdida de la solidaridad, sentido de pertenencia e identidad cultural dentro de la institución.

Tales condiciones genera, cada vez con mayor recurrencia, casos de maltrato, abuso, y abandono a los niños, pues la pérdida o ausencia de bases sólidas familiares, hacen propicio que este fenómeno se presente.

Las familias de los estudiantes pertenecen a estratos uno y dos, y están formadas en un alto porcentaje por familias incompletas con madres o padres cabezas de hogar o recompuestas, que en su mayoría poseen trabajos informales; algunos son empleados o comerciantes, poseen todos los servicios públicos, como agua, luz e incluso tienen acceso a internet.

El colegio cuenta con una única sede que atiende a 757 alumnos en total: 411 estudiantes en primaria y 346 en secundaria; de ellos 343 son hombres y 414 son mujeres. Es importante anotar que de esta población 60 niñas o jóvenes pertenecen al Hogar Santa Rosa de Lima, internado que se encuentra en el mismo terreno de la institución, pues son personas en situación de vulnerabilidad y no pueden estar con sus familias; el hogar las acoge y les garantiza protección y educación.

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar la competencia de razonamiento matemático con el aprendizaje del teorema de Pitágoras enmarcado en el modelo de Van Hiele para los estudiantes de noveno grado de la institución educativa AV-HSRL.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

MARCO TEÓRICO

A continuación se presentan los aspectos teóricos más relevantes, lo que hace necesaria una revisión del concepto de competencias que ha incursionado en la educación básica, media y superior en Colombia. Ello incluye, además de la revisión de la competencia matemática y el modelo de Van Hiele, aspectos fundamentales como el aprendizaje del razonamiento espacial o geométrico y su lugar en los estándares básicos de competencias.

LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN

En 1999 la Unesco definió las competencias como "el conjunto de comportamientos socioafectivos y habilidades cognoscitivas, psicológicas, sensoriales y motoras que permiten llevar a cabo adecuadamente un desempeño, una función, una actividad o una tarea" (Argudín, 2005, como se citó en ^{Ramírez y Medina, 2008}, p. 36); esto significó para la educación del siglo XXI UN COMPROMISO INTERNACIONAL EN TORNO A UNA FORMA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE QUE INVOLUCRARA VIVENCIALMENTE A LOS ESTUDIANTES CON EL CONOCIMIENTO.

El concepto de competencia, tal y como se entiende en la educación, resulta de las nuevas teorías de cognición y básicamente significa saberes de ejecución. Los saberes en ejecución se contemplan en su conjunto y se conforman por las habilidades generales y específicas que puede demostrar un ser humano. De este modo, la competencia de los individuos se deriva de su dominio de un conjunto de atributos (como conocimiento, valores, habilidades y actitudes) que se utilizan en combinaciones diferentes para desempeñar tareas ocupacionales (Gonczi, 1997, como se citó en ^{Ramírez y Medina, 2008}).

Sin embargo, uno de los aspectos más notorios que suele dificultar la formación basada en competencias es la enseñanza tradicional centrada en los contenidos, y que suele prevalecer en las aulas. Para ^{Orden Hoz (2011)}, la reflexión sobre la enseñanza tradicional llevó a la necesidad de incorporar las competencias en la educación:

En educación, la idea de competencia como objetivo surgió, en parte, como reacción frente a la posición preeminente del conocimiento en este campo, especialmente del conocimiento propositivo, saber qué. Por tanto, esta reacción pretende acentuar la acción, es decir, el saber vinculado a las habilidades y destrezas como manifestaciones del conocimiento procedimental, o saber cómo (p. 7).

Entonces, para transformar la educación promoviendo los saberes en ejecución, el Ministerio de Educación Nacional (2006) concibe las competencias como «conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí, para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores» (p. 49). Esta afirmación posee implicaciones didácticas, pues sugiere la necesidad de ofrecer contextos novedosos a las actividades que reten el desarrollo del pensamiento, pues un ambiente carente de recursos resta impacto a los procesos de aprendizaje.

COMPETENCIA MATEMÁTICA

Según el Ministerio de Educación Nacional (2006) "las matemáticas son una actividad humana inserta y condicionada por la cultura y por la historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas" (p. 50).

En consecuencia, el rol que juegan las matemáticas en la vida cotidiana involucra a las competencias para que desde allí se alcance una aplicación más pertinente; por tanto, es necesario tener en cuenta que "la competencia matemática contribuye a que los individuos sean conscientes del papel que [(...) aquellas] desempeñan en el mundo y les ayuda a emitir los juicios y las decisiones bien fundadas que se exigen a los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos" (Instituto Nacional de Evaluación Educativa, 2012, p. 11).

De este modo, la competencia matemática se define como: "La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos" (Instituto Nacional de Evaluación Educativa, 2012, p. 9).

Por otra parte, para alcanzar un mayor y mejor razonamiento matemático, la solución de problemas constituye la mejor manera de expresarse (^{Archer, 2010}); esto significa que el estudiante debe ser capaz de elaborar, desarrollar y consolidar los esquemas mentales adecuados, comprender el enunciado determinando las diferentes relaciones existentes entre las variables y datos, conseguir una movilización de la situación problémica propuesta, encontrar la situación final que explique y justifique la situación inicial propuesta y ser capaz de verificar que la situación final a la que ha llegado corresponde a la solución del problema planteado (Archer, 2010).

ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

^{García (2003)} expone en los Estándares básicos de competencias matemáticas que estas constituyen una clave indispensable para el desarrollo del pensamiento matemático:

Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares, que suelen ser sólo ejercicios de rutina, el estudio y análisis de situaciones problema suficientemente complejas y atractivas, en las que los estudiantes mismos inventen, formulen y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas (p. 52).

De hecho, los modelos basados en solución de problemas para el abordaje de las matemáticas son promovidos por el Icfes y el Ministerio de Educación Nacional; en el documento Pruebas Saber 3.°, 5.° y 9.°. Lineamientos para las aplicaciones muestral y censal 2014 las competencias que evalúa la prueba son: competencias matemáticas de comunicación, modelación, razonamiento, planteamiento y resolución de problemas, elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de la "matemática moderna". Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no solo en lo que se refiere a la geometría.

En consecuencia, en los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial como el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus variadas traducciones a representaciones materiales (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Además, la necesidad de aprender a mirar la realidad desde una dimensión geométrica implica manipulación de objetos y entornos, de allí la importancia de la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los resultados de manipulaciones mentales (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

De acuerdo con el Ministerio de Educación Nacional (1998), la investigación actual sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico señala que este sigue una evolución lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales, es decir, que los niveles finales corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que se dan en la escuela.

Desarrollar esta cualidad cognitiva capaz de representar dimensionalmente el espacio se encuentra determinada por características cognitivas individuales y el entorno físico, cultural, social e histórico. "Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y movimientos corporales" (Ministerio de Educación Nacional, 1998, p. 38).

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras es uno de los más antiguos teoremas de la historia, uno de los más importantes teoremas de las matemáticas; al respecto ^{González (2008)} sostiene: "el Teorema de Pitágo-ras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la Geometría Analítica y de la Trigonometría" (p. 104).

En el marco de las observaciones anteriores este teorema se convierte en uno de los principales recursos matemáticos dentro el contexto escolar, ya que a partir de su demostración se da inicio a la deducción y razonamiento de planteamientos geométricos en los estudiantes.

Además, es necesario destacar que no se pretende que los estudiantes realicen complicadas demostraciones con alto nivel matemático, sino centrarse en el reconocimiento e integración de los aprendizajes del teorema que estos adquieren por sí mismos al crear situaciones que proporcionen las experiencias necesarias a través del desarrollo de actividades guiadas por el docente y de procesos de razonamiento coherentes con el desarrollo del pensamiento geométrico.

EL MODELO DE VAN HIELE

El modelo de Van Hiele es la propuesta que parece describir con bastante exactitud esta evolución de la capacidad de razonar geométrica y espacialmente, pues está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional en lo que se refiere a geometría escolar (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Van Hiele propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría. Teniendo en cuenta las apreciaciones de ^{Jaime (1993)}, el modelo de Van Hiele incluye dos aspectos:

Descriptivo, en cuanto que intenta explicar cómo razonan los estudiantes. Esto se hace a través de la definición de cinco "niveles de razonamiento.

Prescriptivo, porque da unas pautas a seguir en la organización de la enseñanza para lograr que los estudiantes progresen en su forma de razonar (p. 27).

Básicamente este modelo concibe como eje central del aprendizaje de la geometría el proceso que los estudiantes deben transitar para desarrollar su razonamiento geométrico; de este modo, a través de cinco niveles el estudiante progresa en esta capacidad hasta la acumulación de experiencia necesaria para alcanzar un desarrollo cada vez más alto de razonamiento, el cual va ligado a la conceptualización implícita en el lenguaje utilizado, es decir, a la forma de expresarse matemática y geométricamente.

Desde este punto de vista se trata de un modelo constructivista, pues tanto el docente como los estudiantes son sujetos activos dentro de un proceso de aprendizaje orientado por la formación basada en competencias; de allí la importancia de la manipulación de objetos y entorno como factores determinantes para el descubrimiento y generalización de las propiedades, los cuales dan forma al razonamiento geométrico y matemático.

NIVELES DEL MODELO DE VAN HIELE

Teniendo como base el trabajo de Jaime y ^{Gutiérrez (1991)}, es posible hablar de una división o descripción del trabajo de Van Hiele, de tal manera que los niveles constituyen la aportación fundamental del modelo; es decir, se establece que la forma como se conciben los conceptos geométricos (matemáticos) no es siempre la misma y varía cuando se va progresando en la comprensión de la geometría (de las matemáticas).

De acuerdo con Jaime y ^{Gutiérrez (1991)} hay cinco formas distintas de entender los conceptos geométricos y para ello se proponen los "niveles de razonamiento" que se construyen o elaboran dentro de un proceso organizado que plantea cinco formas de aproximación de los conceptos, esto debido a que el progreso siempre se produce desde el primero, y de manera ordenada.

A este respecto, Fouz (2006), como se citó en ^{Vargas y Gamboa (2013)}, afirma que al subir de nivel se hacen explícitos en el estudiante los conocimientos que eran implícitos en el nivel anterior, lo cual indica que va aumentando de esta manera el grado de comprensión y dominio del conocimiento. Esto hace que los objetos de trabajo de este nivel superior sean extensiones de aquellos del nivel anterior

En el primer nivel de razonamiento la consideración de los conceptos es global, y no suelen tenerse en cuenta los elementos ni las propiedades, es decir, no se hace referencia a las características matemáticas tales como igualdad de lados, valor de los ángulos, paralelismo, etc. (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}). Se establece que el descubrimiento y la comprobación de propiedades se llevan a cabo mediante experimentación, pero su ausencia no permite apreciar, por ejemplo, que la igualdad de diagonales es consecuencia de la igualdad de ángulos.

En el segundo nivel de razonamiento geométrico la característica fundamental es que los conceptos se entienden y manejan a través de sus elementos lo que hace posible la identificación y generalización de propiedades como características del concepto en cuestión. Sin embargo, las propiedades se utilizan de manera independiente, sin establecer relaciones entre ellas (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}).

Este nivel implica el conocimiento de las componentes de las figuras, de sus propiedades básicas y reconocer la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general, pero suele pasar que el estudiante no ve el rectángulo como un paralelogramo particular.

El tercer nivel consiste en el establecimiento de relaciones entre propiedades (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}); cuando estas propiedades se comprenden y utilizan las definiciones con su sentido matemático, se da paso a la conceptualización. Por ejemplo, si el estudiante conocía la definición del triángulo isósceles como "triángulo con dos lados iguales y uno desigual" y se le introduce una variación de ese concepto como triángulo que posee "al menos dos lados iguales", será capaz de emplear esta nueva definición (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}).

Por lo tanto, se comprenden y utilizan clasificaciones no exclusivas, también se llegan a establecer relaciones entre los diversos conceptos a partir de sus definiciones. Por ejemplo, si se define rombo como cuadrilátero con todos sus lados iguales, los alumnos pueden comprender que todos los cuadrados son rombos, pero que no todos los rombos son cuadrados (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}).

El cuarto nivel de razonamiento efectúa demostraciones formales, encadenando diversas implicaciones simples desde la hipótesis hasta llegar a la tesis. El avance del cuarto nivel, respecto al tercero, en relación con las definiciones, consiste en la utilización de su equivalencia, esto es, los estudiantes de este nivel pueden admitir y demostrar si dos conjuntos de condiciones corresponden al mismo concepto.

Por ejemplo, decir "cuadrilátero con sus diagonales iguales, perpendiculares y que se cortan en el punto medio" es lo mismo que decir "cuadrilátero con los cuatro lados iguales", y los estudiantes saben que es preciso llevar a cabo la demostración de la doble implicación, para afirmar esa igualdad (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}). El cuarto nivel de razonamiento geométrico es propiamente el razonamiento deductivo que entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende suficientemente el significado del rigor de las demostraciones (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Finalmente, el quinto es un nivel que pocos desarrollan, por lo general solo se da en universitarios, con capacidad y preparación en geométrica. En este nivel avanzado los alumnos razonan formalmente sobre sistemas matemáticos, pueden estudiar geometría sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados de este corte tales como axiomas, definiciones y teoremas (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Es importante destacar que los niveles no están asignados a una edad particular de los estudiantes. Algunos no superan nunca el segundo nivel, mientras que otros alcanzan el cuarto a los 14 o 15 años. La enseñanza y la experiencia personal son un factor importante en el progreso del razonamiento (Jaime y ^{Gutiérrez, 1991}). Es por esta razón que, a través del modelo de Van Hiele, los estudiantes construyen su propio conocimiento durante cada una de las fases de aprendizaje, articulando el aprendizaje significativo.

ESTÁNDARES DE COMPETENCIAS Y DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

Recientemente, el Ministerio de Educación Nacional presentó los derechos básicos de aprendizaje (DBA) como un conjunto de aprendizajes estructurantes en áreas como matemáticas, lenguaje, ciencias naturales y sociales, que deben aprender los estudiantes en cada uno de los grados de educación escolar, desde transición hasta once. Tales aprendizajes se comprenden como una conjunción de conocimientos, habilidades y actitudes que se desarrollan en un contexto dado y al mismo tiempo son estructurantes, en tanto expresan las unidades básicas y fundamentales sobre las cuales se fundamenta el futuro del individuo (Ministerio de Educación Nacional, 2016).

El enunciado número cinco (5) de los DBA correspondientes al grado noveno (9°) establece que el estudiante es capaz de utilizar teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Pi-tágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes; en tanto que el aparte de aprendizaje plantea que el estudiante describe y justifica procesos de medición de longitudes; explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición; justifica procedimientos de medición a partir del teorema de Pitágoras, y hace relaciones intra e interfigurales (^{García, 2003}).

De este modo, al finalizar el curso los estudiantes de noveno grado deben ser capaces de expresar el pensamiento espacial y los sistemas geométricos; por consiguiente, lograron: conjeturar y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas; reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras); aplicar y justificar criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas y usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas (^{García, 2003}). En síntesis, los estándares básicos de competencias matemáticas reconocen el pensamiento geométrico como una forma de razonamiento matemático que deben desarrollar los estudiantes de noveno grado.

DISEÑO METODOLÓGICO

La mayor parte de los estudios cualitativos están preocupados por el contexto de los acontecimientos y centran su indagación en aquellos espacios en que los seres humanos se implican e interesan, evalúan y experimentan directamente (Taylor, 1998, como se citó en ^{Martínez, 2011}); en este caso, el contexto del aula expresa necesidades fundamentales de enseñanza, pero al mismo tiempo es el ambiente más adecuado para hacer más participativa la formación de competencias matemáticas y el razonamiento geométrico en estudiantes de noveno grado de educación secundaria.

Mertens (2005), como se citó en ^{Hernández, Fernández y Baptista (2004)}, al señalar las dos dimensiones referentes al contexto o entorno del aula: conveniencia y accesibilidad, sostiene que la investigación cualitativa aborda los contextos tomados tal y como se encuentran, puesto que no son reconstruidos o modificados por el investigador (^{Martínez, 2011}).

TIPO DE INVESTIGACIÓN

Según Martínez (2006), como se citó en ^{Miguélez (2008)}, la investigación- acción como tipo de investigación cualitativa se está usando cada vez más en los países en desarrollo para brindar solución a la extensa variedad de sus propios problemas, entre los que se destacan aquellos de índole educativa, de manera que el aula se ha convertido en un espacio propicio para la investigación.

Dicho en palabras de ^{Álvarez-Gayou (2003)}, la investigación-acción "es un procedimiento de investigación centrado en la búsqueda de mejores resultados, ayudado por la participación de los actores, quienes al mismo tiempo aprenden y se desarrollan como personas" (p. 161).

Teniendo en cuenta que el teorema de Pitágoras es requerido en el grado noveno de educación secundaria por los estándares y derechos básicos de aprendizaje, es adecuado y oportuno incursionar en la solución de triángulos rectángulos y el cálculo de distancias o alturas, además de definir las razones trigonométricas. En este sentido, la investigación acción orientaría un proceso para que los estudiantes del grado noveno incursionen y se apropien de este teorema, no de manera memorística, sino a través del despliegue de su razonamiento matemático.

Para ello desde el modelo de Van Hiele se plantea una serie de actividades de aprendizaje relacionadas con imágenes y experiencias cotidianas que despierten curiosidad mediante el uso de material concreto y estén dirigidas a desarrollar la competencia matemática; esto es, aprender a solucionar problemas afrontando situaciones que impliquen al razonamiento matemático y, de este modo, buscar soluciones.

De allí que concibe su aproximación como un medio para la solución de problemas permitiendo con ello mejoras en la enseñanza: "su propósito fundamental se centra en aportar información que guíe la toma de decisiones para programas, procesos y reformas estructurales" (Sandin, 2003, como se citó en ^{Hernández, Fernández y Baptista, 2004}, p. 707).

POBLACIÓN Y MUESTRA

La población es el conjunto de personas u objetos de los que se desea conocer algo en una investigación: «el universo o población puede estar constituido por personas, animales, registros médicos, los nacimientos, las muestras de laboratorio, los accidentes viales entre otros» (Pineda y otros, 1994, p. 108). En este caso, la población está conformada por los dos grupos de estudiantes que cursan el grado noveno de l. E. Anna Vitiello-Hogar Santa Rosa de Lima.

Ahora, según ^{Hernández et al. (2004)}, la muestra en el proceso cualitativo puede estar conformado por un grupo de personas, eventos, sucesos y/o comunidades, entre otros, sobre los cuales se habrán de recolectar los datos, sin que necesariamente sea representativo del universo a población que se estudia.

De este modo, la investigación aplicó la muestra heterogénea debido a que esta presenta un mismo perfil o comparten rasgos similares como pueden ser los jóvenes estudiantes de secundaria. En este caso, la muestra se conformó por veintiocho (28) estudiantes de uno de los dos grupos del grado noveno de l. E. AV-HSRL.

INSTRUMENTOS

Una vez definido el problema de investigación, el diseño de investigación y seleccionada la muestra correspondiente, el siguiente paso consiste en la planificación del proceso de recogida de datos y la selección de las técnicas más adecuadas para abordar el problema, las características de los datos y la metodología a utilizar, en este caso, la cuantitativa.

En la indagación cualitativa, el instrumento no es una prueba estandarizada ni un cuestionario ni un sistema de medición; es el mismo investigador, quien constituye también una fuente de datos. Él genera las respuestas de los participantes al utilizar una o varias herramientas, además recolecta datos de diferentes tipos: lenguaje escrito, verbal y no verbal, conductas observables e imágenes (^{Hernández et al., 2004}).

Se diseñó una prueba diagnóstica para caracterizar los niveles de razonamiento de los estudiantes de noveno grado, específicamente en lo referente a los pre-saberes necesarios para el aprendizaje del teorema de Pitágoras.

Posteriormente, se hizo aplicación de una prueba diagnóstica y a partir de esta se desarrollaron siete sesiones con guías orientadas por el Ministerio de Educación Nacional y textos escolares del grado noveno.

Así mismo, se implementó un diario pedagógico donde se registraron observaciones de lo acontecido en cada una de las sesiones.

Finalmente, para evidenciar el desarrollo del pensamiento matemático al término del proceso investigativo se realizó una prueba final a los estudiantes; esta prueba final también utilizó instrumentos liberados por el Ministerio de Educación Nacional. Según Hernández, Fernández y Baptista (1997): "Tal vez el instrumento más utilizado para recolectar datos es el cuestionario. Un cuestionario consiste en un conjunto de preguntas respecto a una o más variables a medir" (p.285).

La prueba diagnóstica está conformada por ocho (8) preguntas de elaboración propia y tres (3) preguntas, recursos o insumos liberados del Icfes (Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación) como el cuadernillo prueba saber 9-2013, el cuadernillo Prueba Saber 9-2015 y el cuadernillo Prueba Saber 9-2012 (^{Ávila Moreno, 2017}).

Las preguntas responden a los tres (3) niveles de razonamiento matemático establecidos en el modelo de Van Hiele, es decir, el reconocimiento (primer nivel) o visualización del objeto, el análisis (segundo nivel), que corresponde a la identificación de manera general de las propiedades del triángulo, y la clasificación (tercer nivel).

El cuestionario prueba final contiene siete (7) preguntas de elaboración propia, cinco (5) preguntas, recursos o insumos tomados del Proyecto Educativo XXI de ^{Sánchez (2016)} y tres (3) preguntas liberadas por el Icfes. Este cuestionario permitió contrastar si hubo mejoramiento en la adquisición de la competencia razonamiento matemático por parte del grupo de noveno grado seleccionado como muestra.

Como estrategias didácticas para el fortalecimiento de la respectiva competencia matemática se elaboraron siete guías o cuestionarios que permitieron a los estudiantes profundizar en cada uno de los niveles de razonamiento matemático planteados para el modelo de Van Hiele durante nueve semanas.

También se llevó registro en un Diario Pedagógico. En este diario de trabajo se anotaron las actividades realizadas en cada sesión donde los estudiantes del grado noveno resolvían la respectiva guía. Al utilizar el diario pedagógico como instrumento análogo al diario de campo en la investigación-acción, necesariamente se está incluyendo la observación participante en el contexto del aula.

PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN

De acuerdo a las tres fases esenciales de los diseños de investigación-acción, se hizo necesario hacer un acercamiento de la problemática mediante una revisión de la literatura relacionada con el área a evaluar, esto previo a la elaboración de una prueba diagnóstica de selección múltiple; posteriormente se implementó una prueba piloto con el objetivo de revisar las actividades, los tiempos, las preguntas, los ejemplos y los razonamientos realizados por los estudiantes durante siete (7) sesiones de trabajo y una prueba final.

La implementación del proceso investigativo fue llevado a cabo a partir del mes de agosto de 2016 con los estudiantes de noveno grado; el modelado por competencias orientó una prueba final de selección múltiple que permitió determinar el mejoramiento en la adquisición y desarrollo de la competencia razonamiento matemático-geométrico.

Teniendo en cuenta los resultados del pilotaje, la participación y evaluación de los actores educativos, se identificó un problema mediante un proceso valorativo, posteriormente, siguiendo las instrucciones de Katayama (2014), se propusieron alternativas de solución a la problemática con acciones concretas en las que participaron los propios miembros de la comunidad educativa involucrada por medio de guías para el fortalecimiento de la competencia matemática.

Es decir, una vez determinado el estado de la problemática, se plantea una solución o propuesta que requiere el planteamiento de planes operativos por medio de actividades que refuerzan el nivel de profundización respecto del desarrollo de la competencia.

Finalmente, según Katayama (2014), "se implementan y se evalúan los resultados. En cada una de estas etapas es necesario hacer continuas evaluaciones y retroalimentarse para ir mejorando los procesos o incluso ir realineando el plan operativo" (p. 61).

En tanto que como actividad de diagnóstico se aplicó un instrumento o prueba diagnóstica a los estudiantes del grado noveno que, como se mencionó, estaba compuesto por preguntas de selección múltiple con única respuesta liberadas por el Icfes (Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación) y otras de elaboración propia siguiendo el modelo de Van Hiele.

El instrumento permitió valorar el dominio que poseían los estudiantes respecto de los tres niveles del modelo de Van Hiele para determinar los aspectos a mejorar en la competencia razonamiento matemático en los estudiantes del grado noveno (9°) en la institución educativa AV-HSRL. Cabe anotar que los resultados de la prueba piloto realizada en agosto de 2016 y la desarrollada con los estudiantes de noveno grado de 2017 no mostraron cambios significativos en sus resultados ya que sus respuestas eran muy similares.

Una vez identificada la situación problemática, se adecuaron las actividades en siete intervenciones a través de las cuales se profundizó en el desarrollo del pensamiento matemático mediante guías con problemas relacionados con el teorema de Pitágoras y los niveles de Van Hiele.

Para el diseño definitivo de las sesiones de intervención, se tuvieron en cuenta los resultados obtenidos en la experimentación piloto del 2016. Es decir, los alumnos habían explorado sus razonamientos matemáticos por medio de siete (7) sesiones de trabajo y después, se registraron los correspondientes diarios de campo.

Lo anterior dio lugar a que se rediseñaran las sesiones de trabajo en siete (7) sesiones organizadas y planeadas para el estudio del teorema de Pitágoras teniendo en cuenta las fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele, e implementando el enfoque de competencias y el aprendizaje colaborativo para incentivar y promover la reflexión y análisis de los estudiantes.

En este orden de ideas, dentro de cada intervención se diseñaron experiencias con el objetivo de propiciar el avance de un nivel de razonamiento a otro, para cada uno de los elementos conceptuales necesarios en la comprensión del teorema de Pitágoras.

TRIANGULACIÓN DE MÉTODOS

Dada la complementariedad del enfoque de competencias en el campo educativo, la versatilidad de sus instrumentos constituye un insumo pedagógico valioso para el estudiante; sin embargo, para analizar la información, la complementariedad la aporta la triangulación de métodos. Esto ofrece diferentes perspectivas de aproximación a la valoración de la problemática; al decir de Todd, Nerlich y McKeown (2004), como se citó en ^{Hernández et al. (2004)}, estos autores sostienen que "la triangulación de métodos solamente se aplica cuando estos son complementarios" (p. 790).

La triangulación de métodos requiere una perspectiva conjunta que incluye, además de la prueba diagnóstica inicial y la prueba final, los cuestionarios o siete (7) guías orientadas por el Icfes conforme al enfoque de competencias promovido por el Ministerio de Educación Nacional; así como el registro del diario pedagógico que "contrasta los hallazgos, resultados y conclusiones que se hubiesen obtenido a través de la observación participante" (^{Sandoval, 1996}, p. 144).

CATEGORIZACIÓN

TABLA 1 Categorización y descriptores de aprendizaje 

Fuente: elaboración propia.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Diagrama de categorías 

VALIDACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS

Una investigación tiene un alto nivel de validez si al observar o apreciar una realidad, esta se observa o aprecia en sentido pleno y no solo considerando un aspecto o parte de la misma (Martínez ^{Miguélez, 2016}); es decir, una investigación tendrá un alto nivel de validez en la medida en que sus resultados reflejen una imagen amplia, clara y representativa de la realidad o situación estudiada.

Por su parte, en las aproximaciones cualitativas ha de desarrollar una actividad científica y sistemática. Luego, se siguió la ruta planteada por ^{Gómez y Roquet (2012)}, para dar cuenta de la validez de la investigación:

1) Asegurar el rigor de su investigación y ello implica garantizar la credibilidad del estudio desarrollado con el auspicio de la I. E. Por tanto, la vinculación del docente investigador a la institución educativa que le sirve de contexto ratifica la credibilidad de la misma.

2) Garantizar la veracidad del estudio, tanto como la fiabilidad y la validez de los resultados obtenidos. Para ello se dispuso de varias estrategias: a) triangulación: de datos y de fuentes; de técnicas de recogida de información y triangulación de metodologías y b) confirmación del estudio por parte de expertos o informantes secundarios (^{Gómez y Roquet, 2012}); en este caso, los instrumentos fueron aprobados por la Dirección de la investigación.